Bài tập Toán 9 Bài 1 (có đáp án): Sự xác định đường tròn. Tính chất đối xứng của đường tròn
20 câu hỏi
Cho tam giác ABC và điểm M là trung điểm của BC. Hạ MD, ME theo thứ tự vuông góc với AB và AC. Trên tia BD và CE lần lượt lấy các điểm I, K sao cho D là trung điểm của BI, E là trung điểm của CK. Chứng minh rằng bốn điểm B, I, K, C cùng nằm trên một đường tròn.
Ta có thể lựa chọn một trong hai cách trình bày sau
Cách 1: Sử dụng định nghĩa ta có:
M là trung điểm BC nên MB=MC=12BC (1)
MD là trung trực của BI nên MI=MB (2)
ME là trung trực của CK nên MK=MC (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra MB=MC=MI=MK=12BC
Vậy bốn điểm B, I, K, C cùng nằm trên đường tròn tâm M, bán kính 12BC.
Cách 2: Ta có
MD là trung trực của BI nên:
MI=MB=12BC ⇔ΔBCIvuông tại I
<=> I thuộc đường tròn đường kính BC. (4)
ME là trung trực của CK nên:
MK=MC=12BC ⇔ΔBCKvuông tại K
<=> K thuộc đường tròn đường kính BC. (5)
Vậy bốn điểm B, I, K, C cùng nằm trên đường tròn tâm M, đường kính BC.
Chứng minh rằng qua ba điểm thẳng hàng không thể có một đường tròn.
Ta chứng minh bằng phản chứng
Giả sử tồn tại đường tròn (O) đi qua ba điểm thẳng hàng A, B, C
Ta có
A,B∈(O)⇒OA=OB⇒O thuộc trung trực Ex của AB
B,C∈(O)⇒OB=OC⇒O thuộc trung trực Fy của BC
Suy ra O=Ex∩Fy (*)
Mặt khác, vì A, B, C thẳng hàng nên:
Ex∥Fy, điều này mâu thuẫn với (*)
Vậy qua ba điểm thẳng hàng không thể có một đường tròn.
Cho đoạn thẳng AB, tìm tập hợp các điểm M sao cho AMB^=900
Cho đường tròn (O) đường kính AB=R. C là một điểm chạy trên đường tròn đó. Trên tia BC lấy một điểm M sao cho C là trung điểm của BM. Tìm quỹ tích của điểm M.
Trên đường tròn (O) lấy hai điểm B, C cố định. Điểm A di chuyển trên đường tròn, D là trung điểm của BC. Gọi M là hình chiếu của B trên đường thẳng AD.
1. Tìm tập hợp điểm M khi A di chuyển trên (O)
2. Tìm vị trí của điểm A trên (O) để BM có độ dài ngắn nhất.
1. Hãy dựng một đoạn thẳng AB=6cm và ba đường tròn phân biệt nhận AB làm một dây cung.
2. Trong tất cả các đường tròn nhận AB làm dây cung thì đường tròn nào có đường kính nhỏ nhất? Giải thích tại sao?
Dựng một đường tròn O có bán kính R cho trước và đi qua hai điểm A và B cho trước
Cho tam giác ABC đều. Gọi M, N, P theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, CA. Chứng minh rằng các điểm B, M, P, C thuộc một đường tròn
Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH=1cm, BC=4cm. Đường vuông góc với AC tại C cắt đường thẳng AH ở D.
a) Chứng minh rằng các điểm B, C thuộc đường tròn đường kính AD
b) Tính độ dài AD
Cho tứ giác ABCD có C^+D^=900. Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm của AB, BD, DC, CA. Chứng minh rằng bốn điểm M, N, P, Q cùng nằm trên một đường tròn.
Cho tứ diện ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau. Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng bốn điểm M, N, P, Q cùng nằm trên một đường tròn.
Cho tứ diện ABCD có B^=D^=900
a) Chứng minh rằng bốn đỉnh của tứ giác cùng thuộc một đường tròn
b) Chứng minh rằng BD≤AC. Tứ giác ABCD có thêm điều kiện gì để BD = AC
Cho đường tròn (O;R) điểm A cố định trên đường tròn, điểm B di chuyển trên đường tròn. Tìm quỹ tích trung điểm M của AB.
Cho đường tròn (O; R). Hai điểm A, B di chuyển trên đường tròn sao cho độ dài AB = 2l không đổi (l<R). Tìm quỹ tích trung điểm M của đoạn AB.
Cho hình bình hành ABCD có cạnh AB cố định, đường chéo AC = 2 cm. Tìm quỹ tích điểm D.
Cho đường tròn (O;R) đường kính BC. Điểm A di động trên (O), gọi P, Q theo thứ tự là trung điểm của AB và AC
a) Chứng minh rằng PQ có độ dài không đổi khi A di động trên (O)
b) Tìm quỹ tích trung điểm M của PQ
Cho ta giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AD. Dựng điểm M thuộc đường thẳng AD sao cho BMC^=900
Cho đường thẳng d và một điểm A cách đường thẳng d là 1cm. Dựng đường tròn (O) có bán kính 1,5 cm đi qua điểm A và có tâm nằm trên d.
Phân tích: Giả sử tác dụng được đường tròn (O) thỏa mãn điều kiện đề bài
Ta có OA = 1,5 cm ⇒O∈(A;1,5cm)
Vậy, tâm O là giao điểm của đường thẳng d với đường tròn (A; 1,5cm)
Cách dựng: Ta lần lượt
Dựng đường tròn (A; 1,5cm)
d cắt đường tròn (A; 1,5cm) tại O
Dựng đường tròn (O; 1,5cm)
Chứng minh: Ta thấy ngay (O; 1,5cm) thỏa mãn điều kiện đề bài
Biện luận: Vì đường thẳng d cắt đường tròn (A; 1,5cm) tại 2 điểm O1 và O2 nên bài toán có hai nghiệm hình, đó là hai đường tròn (O1;1,5cm) và (O2;1,5cm)
Dựng một đường tròn (O) đi qua hai điểm A và B cho trước và có tâm ở trên đường thẳng d cho trước (A, B không thuộc d).
Phân tích: Giả sử đã dựng được đường tròn (O) thỏa mãn điều kiện đề bài.
Ta có A, B ∈(O)⇒O nằm trên đường trung trực a của AB.
Vậy tâm O là giao điểm của a và d.
Cách dựng: Ta lần lượt
Dựng đường trung trực a của AB
D cắt a tại O
Dựng đường tròn (O, OA)
Chứng minh: Ta thấy ngay (O, OA) thỏa mãn điều kiện đề bài
Biện luận: Vì hai đường thẳng d và a ta có 3 trường hợp về vị trí tương đối nên:
Nếu a≡d⇔d là trung trực của AB thì bài toán có vô số nghiệm hình
Nếu a∥d⇔AB⊥d (d không là trung trực của AB) thì bài toán vô nghiệm
Nếu a cắt d thì bài toán có nghiệm hình duy nhất.
Cho năm điểm A, B, C, D, E. Biết rằng qua bốn điểm A, B, C, D có thể vẽ được một đường tròn, qua bốn điểm B, C, D, E cũng vẽ được một đường tròn. Hỏi qua cả năm điểm A, B, C, D, E có thể vẽ được một đường tròn không?
