a) Với giả thiết là các biểu thức đều có nghĩa. Biến đổi mỗi biểu thức sau thành một phân thức đại số:

i) $1+\frac{1}{\mathrm{x}};$                ii) $1+\frac{1}{1+\frac{1}{\mathrm{x}}};$              iii) $1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{\mathrm{x}}}};$

b) Em hãy dự đoán kết quả của phép biến đổi biểu thức $1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{\mathrm{x}}}}}}$ thành phân thức đại số và kiểm tra lại đoán đó.

Cho phân thức $\mathrm{T}=\frac{{\mathrm{t}}^2+8\mathrm{t}+16}{{\mathrm{t}}^2-16}.$ 

a) Với giá trị nào của t thì giá trị của phân thức được xác định ?

b) Chứng tỏ phân thức rút gọn của phân thức đã cho là $\frac{\mathrm{t}+4}{\mathrm{t}-4}$

Chứng tỏ mỗi cặp phân thức sau bằng nhau

a) $\frac{2}{2\mathrm{p}-5}$ và $\frac{2\mathrm{p}+4}{2{\mathrm{p}}^2-\mathrm{p}-10},$ với $\mathrm{p}\ne -2$ và $\mathrm{p}\ne \frac{5}{2};$ 

b) $\frac{3}{\mathrm{q}+2}$ và $\frac{3{\mathrm{q}}^2+9\mathrm{p}}{{\mathrm{q}}^3+5{\mathrm{q}}^2+6\mathrm{q}}$, với $\mathrm{q}\ne -3$ và $\mathrm{q}\ne -2$

Tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức được xác định:

a) $\frac{3{\mathrm{x}}^3}{(\mathrm{x}-1)({\mathrm{x}}^2+2)};$             b) $\frac{-4{\mathrm{x}}^2}{25-20\mathrm{x}+4{\mathrm{x}}^2};$ 

c) $\frac{{\mathrm{x}}^2-9}{\frac{{\mathrm{x}}^2-6\mathrm{x}+9}{2\mathrm{x}}};$                   d) $\frac{{\mathrm{x}}^2-9}{\frac{{\mathrm{x}}^2+6\mathrm{x}+9}{\mathrm{x}-3}}.$

Tìm a, biết:

a) $\frac{\mathrm{a}}{{\mathrm{a}}^2-9}+\frac{\mathrm{a}}{{(\mathrm{a}+3)}^2}=0$ với $\mathrm{a}\ne \pm 3;$ 

b) $\frac{8}{{\mathrm{a}}^2+2\mathrm{a}+4}+\mathrm{a}-2=0$ với $\mathrm{a}\ne -2.$

Tìm giá trị của y để giá trị của phân thức $\mathrm{Y}=\frac{9{\mathrm{y}}^2-9{\mathrm{y}}^3+{\mathrm{y}}^4}{{\mathrm{y}}^3-3{\mathrm{y}}^2}$ bằng:

a) -3;              b) 5.

Tìm b nguyên để tại đó giá trị của mỗi biểu thức sau là một số nguyên:

a) $\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{b}+3}$ với $\mathrm{b}\ne -3;$

b) $\frac{2{\mathrm{b}}^3-4{\mathrm{b}}^2+11\mathrm{b}-7}{\mathrm{b}-4}$ với $\mathrm{b}\ne 4$

Thực hiện các phép tính sau:

a) $\left(\frac{2}{\mathrm{x}-1}-\frac{2}{\mathrm{x}+1}\right).\frac{{\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x}+1}{8}$ với $\mathrm{x}\ne \pm 1;$ 

b) $\left(\frac{4}{{\mathrm{y}}^3-4\mathrm{y}}+\frac{1}{\mathrm{y}+2}\right):\left(\frac{\mathrm{y}-2}{{\mathrm{y}}^2+2\mathrm{y}}-\frac{\mathrm{y}}{2\mathrm{y}+4}\right)$ với $\mathrm{y}\ne 0$ và $\mathrm{y}\ne \pm 2.$

Chứng minh đẳng thức:

a) $\left(\frac{{\mathrm{a}}^2-3\mathrm{a}}{{\mathrm{a}}^2+9}-\frac{6{\mathrm{a}}^2}{27-9\mathrm{a}+3{\mathrm{a}}^2-{\mathrm{a}}^3}\right)$$.\left(1-\frac{2}{\mathrm{a}}-\frac{3}{{\mathrm{a}}^2}\right)=\frac{\mathrm{a}+1}{\mathrm{a}}$ với $\mathrm{a}\ne 0;3;$ 

b) $\left[\frac{2}{5\mathrm{b}}-\frac{2}{\mathrm{b}+1}.\left(\frac{\mathrm{b}+1}{5\mathrm{b}}-\frac{3}{5}\mathrm{b}-\frac{3}{5}\right)\right]:\frac{\mathrm{b}-1}{\mathrm{b}}=\frac{6\mathrm{b}}{5(\mathrm{b}-1)}$ với $\mathrm{b}\ne 0;\pm 1.$

Cho biểu thức $\mathrm{M}=\left(\frac{\mathrm{x}+1}{2\mathrm{x}-2}+\frac{3}{{\mathrm{x}}^2-1}-\frac{\mathrm{x}+3}{2\mathrm{x}+2}\right).\frac{{\mathrm{x}}^2-1}{15}.$ 

a) Hãy tìm điều kiện của x để giá trị biểu thức được xác định;

b) Chứng minh rằng biểu thức được xác định thì giá trị của nó không phụ thuộc vào giá trị của biến x.

Tìm điều kiện của y để giá trị của biểu thức được xác định:

a) $\frac{\mathrm{y}-3}{\frac{2\mathrm{y}-1}{\mathrm{y}+5}};$                b) $\frac{\frac{3{\mathrm{y}}^2+1}{4\mathrm{y}}}{\mathrm{y}-5}.$

a) Thay phân thức $\mathrm{P}=\frac{\mathrm{uv}}{\mathrm{u}-\mathrm{v}}$ vào biểu thức $\mathrm{A}=\frac{\mathrm{uP}}{\mathrm{u}+\mathrm{P}}-\frac{\mathrm{vP}}{\mathrm{v}-\mathrm{P}}$ rồi rút gọn;

b) Thay hai phân thức $\mathrm{P}=\frac{2\mathrm{mn}}{{\mathrm{m}}^2+{\mathrm{n}}^2}$ và $\mathrm{Q}=\frac{2\mathrm{mn}}{{\mathrm{m}}^2+{\mathrm{n}}^2}$ vào biểu thức $\mathrm{B}=\frac{{\mathrm{P}}^2{\mathrm{Q}}^2}{{\mathrm{P}}^2-{\mathrm{Q}}^2}$rồi rút gọn;

Chứng minh các biểu thức sau có giá trị không phụ thuộc vào biến:

a) $\mathrm{A}=\frac{\mathrm{a}-\frac{3}{\mathrm{a}}}{\frac{{\mathrm{a}}^2+2\mathrm{a}+1}{\mathrm{a}}-\frac{2\mathrm{a}+4}{\mathrm{a}}}$ với $\mathrm{a}\ne 0$ và ${\mathrm{a}}^2-3\ne 0;$ 

b) $\mathrm{B}=\frac{2}{\mathrm{a}-1}-\frac{2{\mathrm{a}}^3-2\mathrm{a}}{{\mathrm{a}}^2+1}.\left(\frac{\mathrm{a}}{{\mathrm{a}}^2-2\mathrm{a}+1}-\frac{1}{{\mathrm{a}}^2-1}\right)$ với $\mathrm{a}\ne \pm 1.$

Tìm b nguyên để các biểu thức sau nhận giá trị nguyên:

a) $\mathrm{M}=\frac{3{\mathrm{b}}^2-4\mathrm{b}-15}{\mathrm{b}+2}$ với $\mathrm{b}\ne -2;$ 

b) $\mathrm{N}=\frac{{\mathrm{b}}^2-\mathrm{b}}{\mathrm{b}-3}$ với $\mathrm{b}\ne 3.$

Chứng minh:

a) ${\left(\frac{\mathrm{r}+2}{\mathrm{r}}\right)}^2:\left[\frac{{\mathrm{r}}^2+4}{{\mathrm{r}}^2}+\frac{4}{\mathrm{r}+2}\left(\frac{2}{\mathrm{r}}+1\right)\right]=1$ với mọi $\mathrm{r}\ne 0$ và $\mathrm{r}\ne -2$ 

b) $\frac{\mathrm{r}+2}{\mathrm{r}-1}.\left(\frac{{\mathrm{r}}^3}{\mathrm{r}+1}+2\right)-\frac{8\mathrm{r}+7}{{\mathrm{r}}^2-1}>0$ với mọi $\mathrm{r}\ne \pm 1.$

Tìm giá trị nhỏ nhất của $\mathrm{P}=\frac{{\mathrm{t}}^2}{\mathrm{t}-8}.\left(\frac{{\mathrm{t}}^2+64}{\mathrm{t}}-16\right)+17,$ với $\mathrm{t}\ne 0$ và $\mathrm{t}\ne 8$

Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\frac{3}{\mathrm{u}-1}-\frac{{\mathrm{u}}^3-\mathrm{u}}{{\mathrm{u}}^2+1}.\left(\frac{4}{{\mathrm{u}}^2-2\mathrm{u}+1}+\frac{4}{1-{\mathrm{u}}^2}\right)$ với $\mathrm{u}\ne \pm 1;$ 

b) $\left(\frac{3\mathrm{u}}{1-4\mathrm{u}}+\frac{2\mathrm{u}}{4\mathrm{u}+1}\right):\frac{16{\mathrm{u}}^2+20\mathrm{u}}{1-16\mathrm{u}+16{\mathrm{u}}^2}$ với $\mathrm{u}\ne \pm \frac{1}{4}.$

Chứng minh đẳng thức sau với $\mathrm{v}\ne 0;\pm 1:$

$\left[\frac{2}{{(\mathrm{v}+1)}^3}.\left(\frac{1}{\mathrm{v}}+1\right)+\frac{1}{{\mathrm{v}}^2+2\mathrm{v}+1}.\left(\frac{1}{{\mathrm{v}}^2}+1\right)\right]$$:\frac{1-\mathrm{v}}{{\mathrm{v}}^3}=\frac{\mathrm{v}}{1-\mathrm{v}}.$

Biến đổi các biểu thức tỉ sau thành phân thức:

a) $\frac{\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{m}-2}-\frac{\mathrm{m}+2}{\mathrm{m}}}{\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{m}+2}-\frac{\mathrm{m}-2}{\mathrm{m}}}$ với $\mathrm{m}\ne 0$ và $\mathrm{m}\ne \pm 2;$

b) $\frac{\frac{3}{5}-\frac{3}{\mathrm{m}+1}}{\frac{16-{\mathrm{m}}^2}{{\mathrm{m}}^2+2\mathrm{m}+1}}$ với $\mathrm{m}\ne -1$ và $\mathrm{m}\ne \pm 4$

Cho biểu thức: $\mathrm{B}=\left(\frac{\mathrm{x}+2}{2-\mathrm{x}}-\frac{2-\mathrm{x}}{\mathrm{x}+2}-\frac{4{\mathrm{x}}^2}{{\mathrm{x}}^2-4}\right)$$:\left(\frac{2}{2-\mathrm{x}}-\frac{\mathrm{x}+3}{2\mathrm{x}-{\mathrm{x}}^2}\right).$ 

a) Rút gọn biểu thức và tìm các giá trị của x để biểu thức xác định.

b) Tìm các giá trị của x để B < 0.

Chứng minh giá trị của các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến:

a) $\mathrm{P}=\frac{\frac{4\mathrm{p}}{\mathrm{p}+1}+\frac{4}{\mathrm{p}-1}}{\frac{2\mathrm{p}+2}{\mathrm{p}-1}-\frac{4\mathrm{p}}{{\mathrm{p}}^2-1}}$ với $\mathrm{p}\ne \pm 1;$ 

b) $\mathrm{Q}=\left(\frac{\mathrm{p}}{{\mathrm{p}}^2-49}-\frac{\mathrm{p}-7}{{\mathrm{p}}^2+7\mathrm{p}}\right):\frac{2\mathrm{p}-7}{{\mathrm{p}}^2+7\mathrm{p}}+\frac{\mathrm{p}}{7-\mathrm{p}}$ với $\mathrm{p}\ne 0;\pm 7;\frac{7}{2}.$

Chứng tỏ:

a) $\frac{3\mathrm{q}}{\mathrm{q}-3}-\frac{{\mathrm{q}}^2+3\mathrm{q}}{2\mathrm{q}+3}.\left(\frac{3\mathrm{q}+9}{{\mathrm{q}}^2-3\mathrm{q}}-\frac{3\mathrm{q}}{{\mathrm{q}}^2-9}\right)=3$ với mọi $\mathrm{q}\ne 0;-\frac{3}{2};\pm 3;$ 

b) $\frac{1-{\mathrm{q}}^2}{2\mathrm{q}}.\left(\frac{{\mathrm{q}}^2}{\mathrm{q}+3}-1\right)+\frac{3{\mathrm{q}}^2-14\mathrm{q}+3}{2{\mathrm{q}}^2+6\mathrm{q}}<0$ với mọi $\mathrm{q}\ne 0$ và $\mathrm{q}\ne -3$

Tìm giá trị lớn nhất của $\mathrm{Q}=\frac{{(\mathrm{r}+2)}^2}{\mathrm{r}}.\left(1-\frac{{\mathrm{r}}^2}{\mathrm{r}+2}\right)-\frac{{\mathrm{r}}^2+10\mathrm{r}+4}{\mathrm{r}},$ với $\mathrm{r}\ne -2$ và $\mathrm{r}\ne 0$