Thực hiện phép tính: $A = \frac{1}{(a-b)(a-c)} + \frac{1}{(b-a)(b-c)} + \frac{1}{(c-a)(c-b)}$

Thực hiện phép tính: $B = \frac{1}{a(a-b)(a-c)} + \frac{1}{b(b-a)(b-c)} + \frac{1}{c(c-a)(c-b)}$

Thực hiện phép tính: $C = \frac{bc}{(a-b)(a-c)} + \frac{ac}{(b-a)(b-c)} + \frac{ab}{(c-a)(c-b)}$

Thực hiện phép tính: $D = \frac{a^2}{(a-b)(a-c)} + \frac{b^2}{(b-a)(b-c)} + \frac{c^2}{(c-a)(c-b)}$

Cho a, b, c là các số nguyên khác nhau đôi một. Chứng minh rằng biểu thức sau có giá trị là một số nguyên $P=\frac{a^3}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}+\frac{b^3}{\left(b-a\right)\left(b-c\right)}+\frac{c^3}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}$

Cho $3y-x=6$. Tính giá trị biểu thức $A = \frac{x}{y-2} +\frac{2x-3y}{x-6}$

Tìm x, y, z biết rằng: $\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{3}+\frac{z^2}{4}=\frac{x^2+y^2+z^2}{5}$

Tìm x, y biết rằng $x^2+y^2+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=4$

Cho biết: 

$$\begin{gathered} \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=2\left(1\right) \\ \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=2\left(2\right) \end{gathered}$$

Chứng minh rằng $a+b+c=abc$

Cho $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=0 \left(1\right)$ và $\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=2 \left(2\right)$

Tính giá trị biểu thức $\frac{a^2}{x^2}+\frac{b^2}{y^2}+\frac{c^2}{z^2}$

Cho $(a+b+c{)}^2=a^2+b^2+c^2$ và a, b, c khác 0. Chứng minh rằng $\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}=\frac{3}{abc}$

Cho $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=\frac{b}{a}+\frac{a}{c}+\frac{c}{b}$. Chứng minh rằng trong ba số a, b, c tồn tại hai số bằng nhau.

Tìm các giá trị nguyên của x để phân thức sau có giá trị là số nguyên: $A=\frac{2x^3-6x^2+x-8}{x-3}$

Tìm các giá trị nguyên của x để phân thức sau có giá trị là số nguyên: $B=\frac{x^4-2x^3-3x^2+8x-1}{x^2-2x+1}$

Tìm các giá trị nguyên của x để phân thức sau có giá trị là số nguyên: $C=\frac{x^4+3x^3+2x^2+6x-2}{x^2+2}$

Rút gọn biểu thức sau với $x = \frac{a}{3a+2}$

$A=\frac{x+3a}{2-x}=+\frac{x-3a}{2+x}-\frac{2a}{4-x^2}+a$

Rút gọn biểu thức: $A=\frac{2}{a-b}+\frac{2}{b-c}+\frac{2}{c-a}+\frac{(a-b{)}^2+(b-c{)}^2+(c-a{)}^2}{(a-b)(b-c)(c-a)}$

Cho biết $\frac{a+b-c}{ab} - \frac{b+c-a}{bc} - \frac{c+a-b }{ca}= 0$. Chứng minh rằng trong ba phân thức ở vế trái, có ít nhất một phân thức bằng 0.

Xác định các số a, b, c sao cho: $\frac{1}{x(x^2+1)}=\frac{a}{x}+\frac{bx+x}{x^2+1}$

Xác định các số a, b, c sao cho: $\frac{1}{x^2-4}=\frac{a}{x-2}+\frac{b}{x+2}$

Xác định các số a, b, c sao cho: $\frac{1}{(x+1{)}^2(x+2)}=\frac{a}{x+1}+\frac{b}{(x+1{)}^2}+\frac{c}{x+2}$

Rút gọn biểu thức $B = (ab+bc+ca)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)-abc\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)$

Cho a, b, c khác nhau đồi một và $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0$. Rút gọn biểu thức: $M=\frac{1}{a^2+2bc}+\frac{1}{b^2+2ac}+\frac{1}{c^2+2ab}$

Cho a, b, c khác nhau đồi một và $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0$. Rút gọn biểu thức: $N=\frac{bc}{a^2+2bc}+\frac{ac}{b^2+2ac}+\frac{ab}{c^2+2ab}$

Cho a, b, c khác nhau đồi một và $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0$. Rút gọn biểu thức: $P=\frac{a^2}{a^2+2bc}+\frac{b^2}{b^2+2ac}+\frac{c^2}{c^2+2ab}$

Cho các số a, b, c khác nhau đôi một và $\frac{a+b}{c} = \frac{b+c}{a} = \frac{c+a}{b}$. Tính giá trị biểu thức $M=\left(1+\frac{a}{b}\right)\left(1+\frac{b}{c}\right)\left(1+\frac{c}{a}\right)$

Cho $a^3+b^3+c^3=3abc$ và $a+b+c\ne 0.$ Tính giá trị của biểu thức: $N=\frac{a^2+b^2+c^2}{{\left(a+b+c\right)}^2}$

Rút gọn biểu thức $A=\left(1-\frac{1}{2^2}\right)\left(1-\frac{1}{3^2}\right)\left(1-\frac{1}{4^2}\right)...\left(1-\frac{1}{n^2}\right)$

Rút gọn biểu thức $B=\frac{1^2}{2^2-1}.\frac{3^2}{4^2-1}.\frac{5^2}{6^2-1}...\frac{(2n+1{)}^2}{(2n+2{)}^2-1}$

Rút gọn biểu thức $\frac{1}{1.2} +\frac{1}{2.3} +\frac{1}{3.4} +...+ \frac{1}{(n-1)n}$

Rút gọn biểu thức $\frac{1}{2.5} +\frac{1}{5.8} +\frac{1}{8.11} +...+ \frac{1}{(3n+2)(3n+5)}$

Rút gọn biểu thức $\frac{1}{1.2.3} +\frac{1}{2.3.4} +\frac{1}{3.4.5} +...+ \frac{1}{(n-1)n(n+1)}$

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n\ge 1$, ta luôn có: $\frac{1}{2^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{6^2}+...+\frac{1}{{\left(2n\right)}^2}<\frac{1}{2}$

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n\ge 1$, ta luôn có: $\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{7^2}+...+\frac{1}{{\left(2n+1\right)}^2}<\frac{1}{4}$

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n\ge 2$, ta luôn có: $A=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{n^2}<\frac{2}{3}$

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n\ge 3$, ta luôn có: $A=\frac{1}{3^3}+\frac{1}{4^3}+\frac{1}{5^3}+...+\frac{1}{n^3}<\frac{1}{12}$

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n\ge 1$, ta luôn có $A= \left(1+\frac{1}{1.3}\right)\left(1+\frac{1}{2.4}\right)\left(1+\frac{1}{3.5}\right)...\left(1+\frac{1}{n\left(n+2\right)}\right)<2$

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n\ge 2$, ta luôn có $B= \left(1-\frac{2}{6}\right)\left(1-\frac{2}{12}\right)\left(1-\frac{2}{20}\right)...\left(1-\frac{2}{n\left(n+1\right)}\right)>\frac{1}{3}$

Rút gọn biểu thức $A=\frac{3^2-1}{5^2-1}.\frac{7^2-1}{9^2-1}.\frac{{11}^2-1}{{13}^2-1}...\frac{{43}^2-1}{{45}^2-1}$

Chứng minh rằng $A=\frac{2^3+1}{2^3-1}.\frac{3^3+1}{3^2-1}.\frac{4^3+1}{4^3-1}...\frac{9^3+1}{9^3-1}<\frac{3}{2}$

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n\ge 2$, luôn có: $B=\frac{2^3-1}{2^3+1}.\frac{3^3-1}{3^2+1}.\frac{4^3-1}{4^3+1}...\frac{n^3-1}{n^3+1}>\frac{2}{3}$

Rút gọn biểu thức $P=\frac{(1^4+4)(5^4+4)(9^4+4)...({21}^4+4)}{(3^4+4)(7^4+4)({11}^4+4)...({23}^4+4)}$

Rút gọn biểu thức $M=\frac{1}{a^2-5a+6}+\frac{1}{a^2-7a+12}+\frac{1}{a^2-9a+20}+\frac{1}{a^2-11a+30}$

Rút gọn biểu thức $\left(\frac{n-1}{1} +\frac{n-2 }{2}+\frac{n-3 }{3}+...+\frac{2}{n-2 }+\frac{1}{n-1}\right):\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{n}\right)$

Rút gọn biểu thức $\frac{A}{B}=\frac{ {\displaystyle \frac{1}{1.(2n-1)}} + {\displaystyle \frac{1}{3.(2n-3)}} + {\displaystyle \frac{1}{5.(2n-5)}}+...+ {\displaystyle \frac{1}{(2n-3).3}}+{\displaystyle \frac{1}{(2n-1).1}}}{1+{\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{5}}+...+{\displaystyle \frac{1}{2n-1}}}$

Cho abc = 1 và $a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$. Chứng minh rằng trong ba số a, b, c tồn tại một số bằng 1

Chứng minh rằng nếu $a+y+z=a$ và $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{a}$ thì tồn tại một trong ba số x, y, z bằng a

Các biểu thức x+y+z và $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$ có thể cùng có giá trị bằng 0 được hay không?

Tính giá trị của biểu thức $M = \frac{1}{x+2 }+ \frac{1}{y+2} + \frac{1}{z+2}$ biết rằng $2a=by+cz; 2b=ax+cz;$$2c=ax+by; a+b+c\ne 0$

Cho $abc=2$. Rút gọn biểu thức $M = \frac{a}{ab+a+2} +\frac{b}{bc+b+1} +\frac{2c}{ac+2c+2}$

Cho $abc=1$. Rút gọn biểu thức $N = \frac{a}{ab+a+2} +\frac{b}{bc+b+1} +\frac{c}{ac+2c+2}$

Cho $\frac{a}{c} = \frac{a-b}{b-c}, a \ne 0,$$c \ne 0, a-b\ne 0, b-c\ne 0$. Chứng minh rằng: $\frac{1}{c}+\frac{1}{a-b}=\frac{1}{b-c}-\frac{1}{a}$

Cho $a+b+c=0 (a \ne 0, b \ne 0, c \ne 0)$. Rút gọn biểu thức $A=\frac{a^2}{bc}+\frac{b^2}{ca}+\frac{c^2}{ab}$

Cho $a+b+c=0 (a \ne 0, b \ne 0, c \ne 0)$. Rút gọn biểu thức $B=\frac{a^2}{a^2-b^2-c^2}+\frac{b^2}{b^2-c^2-a^2}+\frac{c^2}{c^2-a^2-b^2}$

Cho biết $a+b+c=0$, hãy tính giá trị của biểu thức $A = \left(\frac{a-b}{c} +\frac{b-c}{a} +\frac{c-a}{b}\right)\left(\frac{c}{a-b}+\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}\right)$

Chứng minh rằng nếu $(a^2-bc)(b-abc)=(b^2-ac)(a-abc)$ và các số a, b, c, a – b khác 0 thì $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=a+b+c$

Cho $a+b+c=0, x+y+z=0, \frac{a}{x} +\frac{b}{y} +\frac{c}{z} =0$. Chứng minh rằng: $a{x}^2+b{y}^2+c{z}^2=0$

Cho $\frac{xy+1}{y} = \frac{yz+1}{z} = \frac{zx+1}{x}$. Chứng minh rằng $x=y=z$ hoặc $x^2{y}^2{z}^2=1$

Cho $\frac{a}{b+c }+\frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b} =1$. Chứng minh rằng $\frac{a^2}{b+c }+\frac{b^2}{c+a} + \frac{c^2}{a+b} =0$

Cho $\frac{a}{b-c }+\frac{b}{c-a} + \frac{c}{a-b} =0$. Chứng minh rằng $\frac{a}{{\left(b-c\right)}^2 }+\frac{b}{{\left(c-a\right)}^2} + \frac{c^2}{{\left(a-b\right)}^2} =0$

Cho $x+\frac{1}{x}= a$. Tính biểu thức sau theo a: $x^2+\frac{1}{x^2}$

Cho $x+\frac{1}{x}= a$. Tính biểu thức sau theo a: $x^3+\frac{1}{x^3}$

Cho $x+\frac{1}{x}= a$. Tính biểu thức sau theo a: $x^4+\frac{1}{x^4}$

Cho $x+\frac{1}{x}= a$. Tính biểu thức sau theo a: $x^5+\frac{1}{x^5}$

Cho $\left(x^2-\frac{1}{x^2}\right):\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)=a$. Tính giá trị của biểu thức $M=\left(x^4-\frac{1}{x^4}\right):\left(x^4+\frac{1}{x^4}\right)$theo a

Cho $x^2-4x+1=0$. Tính giá trị của biểu thức: $A=\frac{x^4+x^2+1}{x^2}$

Cho $\frac{x}{x^2-x+1}=a$. Tính $M=\frac{x^2}{x^4+x^2+1}$ theo a.

Cho $x=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc},y=\frac{a^2-(b-c{)}^2}{(b+c{)}^2-a^2}$. Tính giá trị của biểu thức x+y+xy

Tìm hai số tự nhiên a và b sao cho $a-b=\frac{a}{b}$

Tìm hai số tự nhiên a và b sao cho $a-b=\frac{a}{2b}$

Cho hai số nguyên dương a và b, trong đó a>b. Tìm số nguyên dương c khác b sao cho: c=a-b

Cho dãy số $a_1, a_2, a_3,...$ sao cho: $a_2=\frac{a_1-1}{a_1+1}; a_3=\frac{a_2-1}{a_2+1};...; a_n=\frac{a_{n-1}-1}{a_{n-1}+1}$

1. Chứng minh rằng $a_1=a_5$

2. Xác định năm số đầu của dãy, biết rằng $a_{101}=3$

Tìm phân số $\frac{m}{n}$ khác 0 và số tự nhiên k, biết rằng $\frac{m}{n} =\frac{m+k}{nk}$

Cho hai số tự nhiên a và b (a < b). Tìm tổng các phân số tối giản có mẫu bằng 7, mỗi phân số lớn hơn a nhưng nhỏ hơn b

Mức sản xuất của một xí nghiệp năm 2001 tăng a% so với năm 2000, năm 2002 tăng b% so với năm 2001. Mức sản xuất của xí nghiệp đó năm 2002 tăng bao nhiêu phần trăm so với năm 2000?

Một số a tăng m%, sau đó lại giảm đi n% (a, m, n là các số dương) thì được số b. Tìm liên hệ giữa m và n để b>a

Chứng minh rằng tổng sau không là số nguyên với mọi số tự nhiên $n\ge 2$

$A=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{n}$

Chứng minh tổng sau không là số nguyên với mọi số tự nhiên $n\ge 1$

$B=\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+...+\frac{1}{2n+1}$