Bài tập Tính giá trị của lôgarit và giá trị của biểu thức số có chứa lôgarit lớp 11 (có lời giải)

Đáp án đúng là: A

Ta có: $I=\ln \frac{1}{2}+\ln \frac{2}{3}+\mathrm{...}+\ln \frac{98}{99}+\ln \frac{99}{100}$

              = ln1 – ln2 + ln2 – ln3 + … + ln98 – ln99 + ln99 – ln100

              = ln1 – ln100 = 0 – ln10² = –2ln10

              = –2ln(2.5) = –2(ln2 + ln5)

              = –2(a + b).

Vậy I = –2(a + b), với a = ln2 và b = ln5.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

A = log₂16 = log₂(2⁴) = 4.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

log₃27 = log₃(3³) = 3;      log₅\(\left( {\frac{1}{{25}}} \right)\) = log₅5^–2 = –2.

⇒ M = 3 + (–2) = 1.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

log₂9 – log₂36 = log₂\(\frac{9}{{36}}\) = log₂\(\frac{1}{4}\) = log₂(2^–2) = –2.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Áp dụng công thức đổi cơ số, ta có:

\({\log _{{2^{2024}}}}4\) = \({\log _{{2^{2024}}}}\)2² = \(\frac{1}{{2024}}\)log₂2² = \(\frac{2}{{2024}}\)log₂2 = \(\frac{1}{{1012}}\)

ln e²⁰²⁴ = 2024

⇒ L = \(\frac{1}{{1012}}\) – \(\frac{1}{{1012}}\) + 2024 = 2024.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

log₃9 = log₃3² = 2;           log₉27 = \({\log _{{3^2}}}\)3³ = \(\frac{3}{2}\)log₃3 = \(\frac{3}{2}\);

log₂₇81 = \({\log _{{3^3}}}\)3⁴ = \(\frac{4}{3}\)log₃3 = \(\frac{4}{3}\)

⇒ D = 2 ⋅ \(\frac{3}{2}\)⋅ \(\frac{4}{3}\) = 4 ⇒ a = 4 ⇒ a² = 4² = 16.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.          b) Sai.                  c) Đúng.               d) Đúng.

a) Đúng. Với 0 < a ≠ 1 và α là số thực tùy ý, ta có: log_a1 = 0. Do đó log₃1 = 0.

b) Sai. Ta có: log_aM xác định ⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}a > 0\\a \ne 1\\M > 0\end{array} \right.\)

Mà M = 0 ≯ 0, do đó log₂0 không xác định.

c) Đúng. Ta có:  ln M = log_eM ⇒ M > 0

Mà – e < 0 nên ln(–e) không xác định.

d) Đúng. Theo tính chất lôgarit cơ bản, log_aa = 1. Do đó log₅5 = 1.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.          b) Sai.                  c) Đúng.               d) Đúng.

a) Đúng. log₂16 = log₂2⁴ = 4.

b) Sai. \({\log _{\frac{1}{3}}}9\) = \({\log _{{3^{ - 1}}}}{3^2}\) = \(\frac{1}{{( - 1)}}\)log₃3² = (–1)log₃3² = (–2)log₃3 = –2.

Vậy \({\log _{\frac{1}{3}}}9\) = –2 ≠ 2.

c) Đúng. Theo câu a), log₂16 = 4; \({\log _{\frac{1}{3}}}9\) = –2

⇒ A = log₂16 + \({\log _{\frac{1}{3}}}9\) = 4 + (–2) = 2.

d) Đúng. Ta có A = 2 là số nguyên tố nhỏ nhất.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.          b) Đúng.              c) Đúng.               d) Sai.

a) Đúng. Áp dụng công thức hệ quả đổi cơ số: log_ab ⋅ log_bc = log_ac

⇒ log₅2 ⋅ log₂25 = log₅25.

b) Đúng. ln e³ = log_ee³ = 3.

c) Đúng. Theo câu a) log₅2 ⋅ log₂25 = log₅25 = log₅5² = 2

Theo câu b), ln e³ = 3

⇒ B = 2 + 3 = 5.

d) Sai. Giá trị của biểu thức B = 5 là một số lẻ.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai.              b) Đúng.              c) Đúng.               d) Đúng.

a) Sai.

Ta có: P = log₂8 + log₃27 – log₅5³ = log₂2³ + log₃3² + log₅5³ = 3 + 3 – 3 = 3.

Ta có: Q = ln(2e) – log100 = ln2 + ln e – log₁₀2 = ln2 + 1 – 2 = ln2 – 1.

⇒ P + Q = 3 + (ln2 – 1) = 2 + ln 2 ≠ 2ln2.

b) Đúng. Q – P = ln2 – 1 – 3 = ln2 – 4.

c) Đúng. 3Q + P = 3(ln2 – 1) + 3 = 3ln2 – 3 + 3 = 3ln2.

d) Đúng. 2Q + P = 2(ln2 – 1) + 3 = 2ln2 – 2 + 3 = 2ln2 + 1.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.          b) Sai.                  c) Đúng.               d) Đúng.

a) Đúng. Ta có: A = \({\log _{{2^{2030}}}}4\) – \(\frac{1}{{1015}}\) + ln e²⁰³⁵ = \({\log _{{2^{2030}}}}{2^2}\) – \(\frac{1}{{1015}}\) + 2035

= \(\frac{2}{{2030}}\) –  \(\frac{1}{{1015}}\) + 2035 = 2035

Mà 2035 : 5 = 407 ⇒ 2035 ⋮ 5 ⇒ A ⋮ 5.

b) Sai. Ta có: B = log₅3 ⋅ log₂5 – \(\frac{{\ln 9}}{{\ln 4}}\) = log₂5 ⋅ log₅3 – log₄9

= log₂3 – \({\log _{{2^2}}}{3^2}\) = log₂3 – log₂3 = 0.

⇒ A – B = 2035 – 0 = 2035 ≠ 2036.

c) Đúng. A + 2026B = 2035 + 2026 ⋅ 0 = 2035.

d) Đúng. A – 2026B = 2035 – 2026 ⋅ 0 = 2035.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 3

Áp dụng quy tắc tính lôgarit của một thương log_aM – log_aN = log_a\(\left( {\frac{M}{N}} \right)\), ta có:

S = log₃54 – log₃2 = log₃\(\left( {\frac{{54}}{2}} \right)\) = log₃27 = log₃3³ = 3.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 3

Áp dụng công thức đổi cơ số: log_ab ⋅ log_bc = log_ac, ta có:

P = log₂3 ⋅ log₃4 ⋅ log₄5 ⋅ log₅6 ⋅ log₆7 ⋅ log₇8 = log₂8.

P = log₂8 = log₂2³ = 3.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 10

Áp dụng công thức đổi cơ số: \(\frac{1}{{{{\log }_a}b}}\) = log_ba và tính chất \({a^{{{\log }_a}b}}\) = b, ta có:

\({25^{\frac{1}{{{{\log }_6}5}}}}\) = \({\left( {{5^2}} \right)^{{{\log }_5}6}}\) = \({5^{2{{\log }_5}6}}\) = \({5^{{{\log }_5}36}}\) = 36

\({49^{\frac{1}{{{{\log }_8}7}}}}\) = \({({7^2})^{{{\log }_7}8}}\) = \({7^{2{{\log }_7}8}}\) = \({7^{{{\log }_7}64}}\) = 64

⇒ A = \(\sqrt {36 + 64} \) = \(\sqrt {100} \) = 10

Vậy A = 10.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 10

Ta có: P = 1 + \({\log _2}\left( {1 + \frac{1}{2}} \right)\) + \({\log _2}\left( {1 + \frac{1}{3}} \right)\) + … + \({\log _2}\left( {1 + \frac{1}{{1023}}} \right)\)

P = \({\log _2}\left( {1 + \frac{1}{1}} \right)\) + \({\log _2}\left( {1 + \frac{1}{2}} \right)\) + \({\log _2}\left( {1 + \frac{1}{3}} \right)\) + … + \({\log _2}\left( {1 + \frac{1}{{1023}}} \right)\)

P = \({\log _2}\left( {\frac{2}{1}} \right)\) + \({\log _2}\left( {\frac{3}{2}} \right)\) + … + \({\log _2}\left( {\frac{{1024}}{{1023}}} \right)\)

P = \({\log _2}\left( {\frac{2}{1} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3}...\frac{{1024}}{{1023}}} \right)\) = \({\log _2}\left( {\frac{{1024}}{1}} \right)\) = log₂1024 = log₂(2¹⁰) = 10

Vậy P = 10.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 7

Áp dụng công thức \({a^{{{\log }_a}M}}\) = M, ta có: e^{ln 7} = \({e^{{{\log }_e}7}}\)= 7.

Với 0 < a ≠ 1 ⇒ log_a1 = 0 ⇒ log₄1 = 0.

⇒ H = 7 + 0 = 7.