Bài tập Bài toán thực tiễn gắn với phép tính lôgarit lớp 11 (có lời giải)

Đáp án đúng là: B

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Thay độ cao a = 6200 m vào công thức đã cho, ta có: 6200 = 15500(5 – log p)

⇒ 5 – log p = \(\frac{{6200}}{{15500}}\) ⇔ 5 – log p = 0,4 ⇔ log p = 5 – 0,4 = 4,6

⇔ p = 10^4,6  (pascal).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có: A = 200(1 + 0,07)ⁿ = 200⋅1,07ⁿ

Với A = 300, ta có: 200⋅1,07ⁿ = 300 hay 1,07ⁿ = 1,5; tức là n = log_1,071,5 ≈ 5,99.

Vì gửi tiết kiệm kì hạn 12 tháng (tức 1 năm) nên n phải là số nguyên.

Do đó ta chọn n = 6.

Vây sau ít nhất 6 năm thì bác An nhận được số tiền ít nhất là 300 triệu đồng.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có công thức tính độ pH dựa vào nồng độ ion H⁺ là: pH = –log[H⁺] ⇒ [H⁺] = 10^–pH

Gọi nồng độ ion H⁺ của nước chanh là [H⁺]_chanh. Vì nước chanh có pH = 2,4 nên:

[H⁺]_chanh = 10^–2,4

Gọi nồng độ ion H⁺ của giấm là [H⁺]_giấm. Vì giấm có pH = 3 nên: [H⁺]_giấm = 10^–3

Tỉ số nồng độ H⁺ của nước chanh so với giấm là:

\(\frac{{{{\left[ {{H^ + }} \right]}_{chanh}}}}{{{{\left[ {{H^ + }} \right]}_{gi\^a m}}}}\) = \(\frac{{{{10}^{ - 2,4}}}}{{{{10}^{ - 3}}}}\) = 10^{–2,4–(–3)} = 10^0,6 ≈ 3,98.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Thay số lượng vi khuẩn ban đầu S₀ = 40 và số lượng vi khuẩn sau đó S = 671088640 vào công thức S = S₀ ⋅ 2ⁿ, ta có: 671088640 = 40 ⋅ 2ⁿ

⇒ Số lần nhân đôi n là: 2ⁿ = \(\frac{{671088640}}{{40}}\) = 16777216

⇒ n = log₂(16777216) = log₂2²⁴ = 24

Vì cứ sau 20 phút vi khuẩn lại nhân đôi một lần, nên tổng thời gian để vi khuẩn đạt số lượng trên là: t = 24 ⋅ 20 = 480 (phút) = \(\frac{{480}}{{60}}\) = 8 (giờ).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Theo đề bài, lượng Uranium –235 ban đầu là 100 g. Để lượng còn lại bằng 90% so với ban đầu thì khối lượng lúc sau là: M = 100 ⋅ 90% = 90 (g)

Thay M = 90 và T = 703 800 000 vào công thức đề bài cho, ta có:

90 = 100 ⋅ \({\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{t}{{703800000}}}}\) ⇔ \({\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{t}{{703800000}}}}\) = \(\frac{{90}}{{100}}\) = 0,9

Lấy lôgarit cơ số \(\frac{1}{2}\) cả hai vế, ta được: \(\frac{t}{{703800000}}\) = \({\log _{\frac{1}{2}}}(0,9)\)

⇔ t = 703 800 000 ⋅ \({\log _{\frac{1}{2}}}(0,9)\) ≈ 106 979 777,2 (năm) ≈ 106 979 777 (năm).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.          b) Sai.                  c) Đúng.                        d) Đúng.

a) Đúng. Thay I₀ = 10^–12 W/m², I₁ = 10^–7 W/m² vào công thức, ta được:

L₁ = 10log\(\frac{{{{10}^{ - 7}}}}{{{{10}^{ - 12}}}}\) = 10log(10⁵) = 10 ⋅ 5 = 50 dB.

b) Sai. Thay I₀ = 10^–12 W/m², I₂ = 10^–4 W/m² vào công thức, ta được:

L₂ = 10log\(\frac{{{{10}^{ - 4}}}}{{{{10}^{ - 12}}}}\) = 10log(10⁸) = 10 ⋅ 8 = 80 dB ≠ 40 dB.

c) Đúng. Theo câu a), L₁ = 50 dB, L₂ = 80 dB

⇒ Mức cường độ âm của tiếng xe máy chạy trên đường so với mức cường độ âm của cuộc trò chuyện bình thường là: 80 – 50 = 30 dB.

d) Đúng. Thay I = 10^–2 W/m² vào công thức, ta được:

L = 10log\(\frac{{{{10}^{ - 2}}}}{{{{10}^{ - 12}}}}\) = 10log(10¹⁰) = 10 ⋅ 10 = 100 dB

Vậy mức cường độ âm tại xưởng cơ khí là 100 dB.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.          b) Sai.                  c) Đúng.               d) Sai.

a) Đúng. Thay [H⁺] = 10^–7 vào công thức, ta có: pH = –log(10^–7) = 7.

b) Sai. Dung dịch có:

pH < 7: có tính axit.

pH = 7: trung tính.

pH > 7: có tính bazơ.

Nước cất có pH = 7 nên là dung dịch trung tính, không phải dung dịch có tính axit.

c) Đúng. Giả sử pH₂ = pH₁ – 1 ⇒ –log[H⁺]₂ = –log[H⁺]₁ – 1

⇒ log[H⁺]₂ = log[H⁺]₁ + 1 = log(10 ⋅ [H⁺]₁) ⇒ [H⁺]₂ = 10[H⁺]₁.

d) Sai. Ta có:

Với dung dịch A, thay pH = 3 vào công thức:

⇒ −log[H⁺]_A​ = 3 ⇔ log[H⁺]_A​ = −3 ⇔ [H⁺]_A​ = 10⁻³ (mol/lít).

Với dung dịch B, thay pH = 5 vào công thức:

⇒ −log[H⁺]_B​ = 5 ⇔ log[H⁺]_B ​= −5 ⇔ [H⁺]_B​ = 10⁻⁵ (mol/lít).

Do đó, \(\frac{{{{[{H^ + }]}_A}}}{{{{[{H^ + }]}_B}}}\) = \(\frac{{{{10}^{ - 3}}}}{{{{10}^{ - 5}}}}\) = 10^{−3−(−5)} = 10² = 100

⇒ [H⁺]_A​ = 100[H⁺]_B​.

Vậy nồng độ ion [H⁺] của dung dịch A gấp 100 lần nồng độ ion [H⁺] của dung dịch B, không phải gấp 2 lần.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.          b) Đúng.              c) Sai.                            d) Đúng.

a) Đúng. Thay a = 0 vào công thức a = 15500(5 – log p) ⇒ 15500(5 – log p) = 0

⇒ log p = 5 ⇒ p = 10⁵ = 100000 (pascal).

b) Đúng. Thay a = 15500 vào công thức a = 15500(5 – log p):

⇒ 15500(5 – log p) = 15500 ⇒ 5 – log p = 1 ⇒ log p = 4

⇒ p = 10⁴ = 10000 (pascal).

c) Sai. Thay p = 25000 vào công thức a = 15500(5 – log p):

⇒ a = 15500(5 – log 25000) ≈ 15500(5 – 4,398) = 15500 ⋅ 0,602 = 9331 m > 7000 m.

d) Đúng. Ta có a₂ – a₁ = 15500 ⇒ 15500(5 – log p₂) – 15500(5 – log p₁) = 15500

⇒ (5 – log p₂) – (5 – log p₁) = 1 ⇒ 5 – log p₂ – 5 + log p₁ = 1

⇒ log p₁ – log p₂ = 1 ⇒ log\(\left( {\frac{{{p_1}}}{{{p_2}}}} \right)\) = 1 ⇒ p₁ = 10p₂, tức là áp suất mới còn bằng \(\frac{1}{{10}}\) so với ban đầu.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai.              b) Đúng.              c) Sai.                   d) Đúng.

a) Sai. Thay M = 2 vào công thức, ta có:

log x = 11,8 + 1,5⋅2 = 14,8 ⇒ x = 10^14,8 = 10^0,8⋅10¹⁴ ≈ 6,3⋅10¹⁴ erg.

Vậy khẳng định trên sai.

b) Đúng. Thay M = 3 vào công thức, ta có:

log x = 11,8 + 1,5 ⋅ 3 = 16,3

⇒ x = 10^16,3 = 10^0,3⋅10¹⁶ ≈ 2⋅10¹⁶ erg.

Vì 1 erg = 10⁻⁷ J ⇒ x = 2 ⋅ 10¹⁶ ⋅ 10⁻⁷ = 2 ⋅ 10⁹ (J).

c) Sai. Gọi x₃ và x₅ lần lượt là năng lượng tạo ra bởi trận động đất 3 độ Richter và 5 độ Richter. Ta có:

Với M = 5: log x₅ = 11,8 + 1,5 ⋅ 5 (1)

Với M = 3: log x₃ = 11,8 + 1,5 ⋅ 3 (2)

Lấy (1) trừ (2), ta được:

log x₅ – log x₃ = (11,8 + 1,5 ⋅ 5) – (11,8 + 1,5 ⋅ 3)

⇔ log\(\left( {\frac{{{x_5}}}{{{x_3}}}} \right)\) = 1,5(5 – 3) = 1,5 ⋅ 2 = 3

⇒ \(\frac{{{x_5}}}{{{x_3}}}\) = 10³ = 1000

Như vậy, trận động đất có độ lớn 5 độ Richter tạo ra năng lượng gấp 1000 lần chứ không phải 100 lần so với trận động đất có độ lớn 3 độ Richter.

d) Đúng. Gọi x₇, x₅ lần lượt là năng lượng của trận động đất có độ lớn 7 độ Richter và 5 độ Richter. Ta có:

Với M = 7: log x₇ = 11,8 + 1,5 ⋅ 7 (3)

Với M = 5: log x₅ = 11,8 + 1,5 ⋅ 5 (4)

Lấy (3) trừ (4), ta được: log x₇ – log x₅ = (11,8 + 1,5 ⋅ 7) – (11,8 + 1,5 ⋅ 5)

⇔ log\(\left( {\frac{{{x_7}}}{{{x_5}}}} \right)\) = 1,5(7 – 5) ⇔ log\(\left( {\frac{{{x_7}}}{{{x_5}}}} \right)\) = 1,5 ⋅ 2 ⇔ log\(\left( {\frac{{{x_7}}}{{{x_5}}}} \right)\) = 3

⇔ \(\frac{{{x_7}}}{{{x_5}}}\) = 103 = 1000

Vậy trận động đất 7 độ Richter tạo ra năng lượng gấp 1000 lần trận động đất 5 độ Richter.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.          b) Đúng.              c) Sai.                   d) Đúng.

a) Đúng. Thay h = 19,4 km vào công thức ta được:

19,4 = 19,4log\(\frac{{760}}{P}\) ⇔ log\(\frac{{760}}{P}\) = 1 ⇔ \(\frac{{760}}{P}\) = 10¹ = 10 ⇔ P = 76 (mmHg).

b) Đúng. Thay P = 380 mmHg vào công thức, ta được

h = 19,4log\(\frac{{760}}{{380}}\) = 19,4log2 ≈ 19,4 ⋅ 0,3 ≈ 5,84 (km).

c) Sai. Thay h = 9,7 km vào công thức, ta được:

9,7 = 19,4log\(\frac{{760}}{P}\) ⇔ log\(\frac{{760}}{P}\) = \(\frac{{9,7}}{{19,4}}\) = 0,5

⇔ \(\frac{{760}}{P}\) = 10^0,5  ⇔ \(\frac{{760}}{P}\) = \(\sqrt {10} \) ⇔ P = \(\frac{{360}}{{\sqrt {10} }}\) = 36\(\sqrt {10} \)≈ 113,8 (mmHg) ≠ 380 mmHg.

d) Đúng. Ta có: h = 19,4log\(\frac{{760}}{P}\). Chia cả 2 vế cho 19,4, ta được:

log\(\frac{{760}}{P}\) = \(\frac{h}{{19,4}}\) ⇔ \(\frac{{760}}{P}\) = \({10^{\frac{h}{{19,4}}}}\) ⇔ P = \(\frac{{760}}{{{{10}^{\frac{h}{{19,4}}}}}}\) = 760⋅\({10^{ - \frac{h}{{19,4}}}}\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 1,87

Thay khoảng cách d = 1,52 AU vào công thức ta được:

log T = 1,5log1,52 ⇔ log T ≈ 1,5 ⋅ 0,18184 ⇔ log T ≈ 0,27276

⇔ T = 10^0,27276 ≈ 1,87 (năm Trái Đất)

Vậy chu kì quay quanh Mặt Trời của Sao Hỏa là 1,87 năm Trái Đất.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 5,3

Ta có: pH = –log[H⁺].

Thay [H⁺] = 4,5 ⋅ 10^–6: pH = –log(4,5 ⋅ 10^–6) = –(log 4,5 + log 10^–6) = –[log 4,5 + (–6)]

= 6 – log 4,5 ≈ 6 – 0,65 ≈ 5,3.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 5,4

Theo đề bài, ta có: \(\frac{A}{{{A_0}}}\) = 250000

Thay vào công thức tính độ Richter ta được: M = log 250000 ≈ 5,4.

Vậy độ Richter của trận động đất đó là khoảng 5,4 độ Richter.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 84

Thay I = 2,5 ⋅ 10^–4 W/m², I₀ = 10^–12 W/m² vào công thức, ta có:

L = 10log\(\left( {\frac{{2,5 \cdot {{10}^{ - 4}}}}{{{{10}^{ - 12}}}}} \right)\) = 10log(2,5 ⋅ 10⁸) = 10(log 2,5 + log10⁸)

L = 10(log 2,5 + 8) ≈ 10(8 + 0,3979) ≈ 83,979 ≈ 84 dB.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 13

Ta có: Thay P = 100 (triệu đồng), r = 5,5% = 0,055 vào công thức, ta được:

A = 100⋅(1 + 0,055)^t.

Để số tiền ông C nhận được (gồm cả gốc và lãi) gấp đôi số tiền ban đầu ⇒ A = 200 (triệu đồng)

⇒ 100⋅(1 + 0,055)^t = 200 hay 100(1,055)^t = 200

⇔ (1,055)^t = \(\frac{{200}}{{100}}\) = 2. Lấy lôgarit hai vế:

⇒ log1,055^t = log2 ⇔ t⋅log1,055 = log2 ⇔ t = \(\frac{{\log 2}}{{\log 1,055}}\) ≈ \(\frac{{0,3010}}{{0,0233}}\) ≈ 12,95

Vì tiền được tính theo kì hạn 1 năm, nên t phải là số nguyên

Do đó, t = 13

Vậy sau 13 năm thì ông C nhận được số tiền (gồm cả gốc và lãi) gấp đôi ban đầu.