Bài tập Bài toán thực tiễn gắn với phép tính lôgarit lớp 11 (có lời giải)

Đáp án đúng là: A

Ta có đỉnh Everest có độ cao 8 850 m so với mực nước biển nên a = 8 850.

Khi đó: 15 500(5 – log p) = 8 850  $\iff \log p=\frac{1373}{310}\iff p={10}^{\frac{1373}{310}}\approx 26855,44.$

Vậy áp suất không khí ở đỉnh Everest xấp xỉ 26 855,44 pascal.

Đáp án đúng là: C

Ta có: A = 100.(1 + 0,06)ⁿ = 100.1,06ⁿ.

Với A = 150, ta có: 100.1,06ⁿ = 150 hay 1,06ⁿ = 1,5, tức là n = log_1,06 1,5 ≈ 6,96.

Vì gửi tiết kiệm kì hạn 12 tháng (tức là 1 năm) nên n phải là số nguyên.

Do đó ta chọn n = 7.

Vậy sau ít nhất 7 năm thì bác An nhận được số tiền ít nhất là 150 triệu đồng.

Đáp án đúng là: B

Ta có: S = 93logd + 65, trong đó d (dặm) là quãng đường cơn lốc xoáy đó di chuyển được.

Với S = 140 (dặm/giờ) suy ra: 93logd + 65 = 140

 $\Rightarrow \log d=\frac{75}{93}\Rightarrow d={10}^{\frac{75}{93}}\approx 6,4$ (dặm).

Vậy khi tốc độ của gió ở gần tâm bằng 140 dặm/giờ thì cơn lốc xoáy di chuyển được quãng đường gần bằng 6,4 dặm.

Đáp án đúng là: C

Ta có: pH_A = – log x_A; pH_B = – log x_B 

Khi đó pH_A – pH_B = –logx_A + logx_B =  $\log \frac{x_B}{x_A}$

Do đó  $\log \frac{x_B}{x_A}=0,7\iff \frac{x_B}{x_A}={10}^{0,7}\approx 5$ (lần).

Vậy dung dịch B có nồng độ ion H⁺ gấp 5 lần nồng độ ion H⁺ của dung dịch A.

Đáp án đúng là: A

Do vùng biển khơi mặt ở một khu vực có nồng độ muối 30% và nhiệt độ là8^oC nên ta có T = 8. Suy ra: 7,9ln(1,0245 – d) + 61,84 = 8

Vậy khối lượng riêng của nước biển ở vùng biển đó là d ≈ 1,0234 (g/cm³).

Đáp án đúng là: B

Vì lãi suất 8% một năm nên lãi suất kì hạn 6 tháng sẽ là r = 4% = 0,04.

Thay P = 100; r = 0,04 và A = 120 vào công thức A = P(1 + r)^N , ta được:

120 = 100(1 + 0,04)^N ⇔ 1,2 = 1,04^N ⇔ N = log_1,04 1,2 ≈ 4,65.

Vì gửi tiết kiệm kì hạn 6 tháng nên N phải là số nguyên.

Do đó ta chọn N = 5.

Vậy sau 5 kì gửi tiết kiệm kì hạn 6 tháng, tức là sau 30 tháng, người đó sẽ nhận được ít nhất 120 triệu đồng.

Đáp án đúng là: D

Hướng dẫn giải

Đổi 13 giờ = 780 phút.

Gọi T (phút) là thời gian để vi khuẩn Bacillus subtilis tự nhân đôi một lần.

Gọi M₀ là số tế bào/1 ml dịch nuôi của vi khuẩn Bacillus subtilis tại thời điểm ban đầu (t = 0). Theo bài ra ta có: M₀ = 2.10².

Gọi M_t là số tế bào/1 ml dịch nuôi của vi khuẩn Bacillus subtilis tại thời điểm t.

Sau 13 giờ, số tế bào/1 ml dịch nuôi là 3,33.10⁹ nên ta có: M₇₈₀ = 3,33 . 10⁹.

Do vi khuẩn Bacillus subtilis sinh trưởng trong điều kiện tối ưu và sinh sản theo hình thức tự nhân đôi nên ta có:  $M_t=M_0{.2}^{\frac{t}{T}}.$

Suy ra:  $M_{780}=M_0{.2}^{\frac{780}{T}}\Rightarrow 3,{33.10}^9={2.10}^2{.2}^{\frac{780}{T}}$

 $\Rightarrow 2^{\frac{780}{T}}=1,{665.10}^7.$

 $\Rightarrow \frac{780}{T}={\log }_2(1,{665.10}^7)\Rightarrow T\approx 33.$

Vậy sau gần 33 phút vi khuẩn Bacillus subtilis tự nhân đôi một lần.

Đáp án đúng là: C

Gọi A₁, M₁, A₇, M₇ lần lượt là biên độ rung chấn tối đa và độ Richter của trận động đất thứ nhất và trận động đất thứ bảy.

Ta có: M₁ = logA₁ – logA₀ = 5,3 và M₇ = logA₇ – logA₀ = 4.

Do đóM₁–M₇= logA₁ – logA₀–logA₇ + logA₀

⇒ 5,3 – 4 = logA₁–logA₇

Vậy biên độ rung chấn tối đa của trận động đất thứ nhất gấp khoảng 20 biên độ rung chấn tối đa của trận động đất thứ bảy.

Đáp án đúng là: A

Lượng Uranium – 235 còn lại bằng 90% so với ban đầu là 90 g.

Khi đó M = 90 g, ta có phương trình:

 $90=100{\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{t}{T}}\iff {\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{t}{T}}=0,9\iff \frac{t}{T}={\log }_{\frac{1}{2}}0,9$

 $\iff t=T.{\log }_{\frac{1}{2}}0,9=703800000.{\log }_{\frac{1}{2}}0,9\approx 106979777$ (năm).

Vậy sau khoảng 106 979 777 năm thì lượng Uranium-235 còn lại bằng 90% so với ban đầu.

Đáp án đúng là: B

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Thay độ cao a = 6200 m vào công thức đã cho, ta có: 6200 = 15500(5 – log p)

⇒ 5 – log p = \(\frac{{6200}}{{15500}}\) ⇔ 5 – log p = 0,4 ⇔ log p = 5 – 0,4 = 4,6

⇔ p = 10^4,6  (pascal).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có: A = 200(1 + 0,07)ⁿ = 200⋅1,07ⁿ

Với A = 300, ta có: 200⋅1,07ⁿ = 300 hay 1,07ⁿ = 1,5; tức là n = log_1,071,5 ≈ 5,99.

Vì gửi tiết kiệm kì hạn 12 tháng (tức 1 năm) nên n phải là số nguyên.

Do đó ta chọn n = 6.

Vây sau ít nhất 6 năm thì bác An nhận được số tiền ít nhất là 300 triệu đồng.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có công thức tính độ pH dựa vào nồng độ ion H⁺ là: pH = –log[H⁺] ⇒ [H⁺] = 10^–pH

Gọi nồng độ ion H⁺ của nước chanh là [H⁺]_chanh. Vì nước chanh có pH = 2,4 nên:

[H⁺]_chanh = 10^–2,4

Gọi nồng độ ion H⁺ của giấm là [H⁺]_giấm. Vì giấm có pH = 3 nên: [H⁺]_giấm = 10^–3

Tỉ số nồng độ H⁺ của nước chanh so với giấm là:

\(\frac{{{{\left[ {{H^ + }} \right]}_{chanh}}}}{{{{\left[ {{H^ + }} \right]}_{gi\^a m}}}}\) = \(\frac{{{{10}^{ - 2,4}}}}{{{{10}^{ - 3}}}}\) = 10^{–2,4–(–3)} = 10^0,6 ≈ 3,98.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Thay số lượng vi khuẩn ban đầu S₀ = 40 và số lượng vi khuẩn sau đó S = 671088640 vào công thức S = S₀ ⋅ 2ⁿ, ta có: 671088640 = 40 ⋅ 2ⁿ

⇒ Số lần nhân đôi n là: 2ⁿ = \(\frac{{671088640}}{{40}}\) = 16777216

⇒ n = log₂(16777216) = log₂2²⁴ = 24

Vì cứ sau 20 phút vi khuẩn lại nhân đôi một lần, nên tổng thời gian để vi khuẩn đạt số lượng trên là: t = 24 ⋅ 20 = 480 (phút) = \(\frac{{480}}{{60}}\) = 8 (giờ).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Theo đề bài, lượng Uranium –235 ban đầu là 100 g. Để lượng còn lại bằng 90% so với ban đầu thì khối lượng lúc sau là: M = 100 ⋅ 90% = 90 (g)

Thay M = 90 và T = 703 800 000 vào công thức đề bài cho, ta có:

90 = 100 ⋅ \({\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{t}{{703800000}}}}\) ⇔ \({\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{t}{{703800000}}}}\) = \(\frac{{90}}{{100}}\) = 0,9

Lấy lôgarit cơ số \(\frac{1}{2}\) cả hai vế, ta được: \(\frac{t}{{703800000}}\) = \({\log _{\frac{1}{2}}}(0,9)\)

⇔ t = 703 800 000 ⋅ \({\log _{\frac{1}{2}}}(0,9)\) ≈ 106 979 777,2 (năm) ≈ 106 979 777 (năm).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.          b) Sai.                  c) Đúng.                        d) Đúng.

a) Đúng. Thay I₀ = 10^–12 W/m², I₁ = 10^–7 W/m² vào công thức, ta được:

L₁ = 10log\(\frac{{{{10}^{ - 7}}}}{{{{10}^{ - 12}}}}\) = 10log(10⁵) = 10 ⋅ 5 = 50 dB.

b) Sai. Thay I₀ = 10^–12 W/m², I₂ = 10^–4 W/m² vào công thức, ta được:

L₂ = 10log\(\frac{{{{10}^{ - 4}}}}{{{{10}^{ - 12}}}}\) = 10log(10⁸) = 10 ⋅ 8 = 80 dB ≠ 40 dB.

c) Đúng. Theo câu a), L₁ = 50 dB, L₂ = 80 dB

⇒Mức cường độ âm của tiếng xe máy chạy trên đường so với mức cường độ âm của cuộc trò chuyện bình thường là: 80 – 50 = 30 dB.

d) Đúng. Thay I = 10^–2 W/m² vào công thức, ta được:

L = 10log\(\frac{{{{10}^{ - 2}}}}{{{{10}^{ - 12}}}}\) = 10log(10¹⁰) = 10 ⋅ 10 = 100 dB

Vậy mức cường độ âm tại xưởng cơ khí là 100 dB.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.          b) Sai.                  c) Đúng.               d) Sai.

a) Đúng. Thay [H⁺] = 10^–7 vào công thức, ta có: pH = –log(10^–7) = 7.

b) Sai. Dung dịch có:

pH < 7: có tính axit.

pH = 7: trung tính.

pH > 7: có tính bazơ.

Nước cất có pH = 7 nên là dung dịch trung tính, không phải dung dịch có tính axit.

c) Đúng. Giả sử pH₂ = pH₁ – 1 ⇒ –log[H⁺]₂ = –log[H⁺]₁ – 1

⇒ log[H⁺]₂ = log[H⁺]₁ + 1 = log(10 ⋅ [H⁺]₁) ⇒ [H⁺]₂ = 10[H⁺]₁.

d) Sai. Ta có:

Với dung dịch A, thay pH = 3 vào công thức:

⇒ −log[H⁺]_A​ = 3 ⇔ log[H⁺]_A​ = −3 ⇔ [H⁺]_A​ = 10⁻³ (mol/lít).

Với dung dịch B, thay pH = 5 vào công thức:

⇒ −log[H⁺]_B​ = 5 ⇔ log[H⁺]_B ​= −5 ⇔ [H⁺]_B​ = 10⁻⁵ (mol/lít).

Do đó, \(\frac{{{{[{H^ + }]}_A}}}{{{{[{H^ + }]}_B}}}\) = \(\frac{{{{10}^{ - 3}}}}{{{{10}^{ - 5}}}}\) = 10^{−3−(−5)} = 10² = 100

⇒ [H⁺]_A​ = 100[H⁺]_B​.

Vậy nồng độ ion [H⁺] của dung dịch A gấp 100 lần nồng độ ion [H⁺] của dung dịch B, không phải gấp 2 lần.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.          b) Đúng.              c) Sai.                            d) Đúng.

a) Đúng. Thay a = 0 vào công thức a = 15500(5 – log p) ⇒ 15500(5 – log p) = 0

⇒ log p = 5 ⇒ p = 10⁵ = 100000 (pascal).

b) Đúng. Thay a = 15500 vào công thức a = 15500(5 – log p):

⇒ 15500(5 – log p) = 15500 ⇒ 5 – log p = 1 ⇒ log p = 4

⇒ p = 10⁴ = 10000 (pascal).

c) Sai. Thay p = 25000 vào công thức a = 15500(5 – log p):

⇒ a = 15500(5 – log 25000) ≈ 15500(5 – 4,398) = 15500 ⋅ 0,602 = 9331 m > 7000 m.

d) Đúng. Ta có a₂ – a₁ = 15500 ⇒ 15500(5 – log p₂) – 15500(5 – log p₁) = 15500

⇒ (5 – log p₂) – (5 – log p₁) = 1 ⇒ 5 – log p₂ – 5 + log p₁ = 1

⇒ log p₁ – log p₂ = 1 ⇒ log\(\left( {\frac{{{p_1}}}{{{p_2}}}} \right)\) = 1 ⇒ p₁ = 10p₂, tức là áp suất mới còn bằng \(\frac{1}{{10}}\) so với ban đầu.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai.              b) Đúng.              c) Sai.                   d) Đúng.

a) Sai. Thay M = 2 vào công thức, ta có:

log x = 11,8 + 1,5⋅2 = 14,8 ⇒ x = 10^14,8 = 10^0,8⋅10¹⁴ ≈ 6,3⋅10¹⁴ erg.

Vậy khẳng định trên sai.

b) Đúng. Thay M = 3 vào công thức, ta có:

log x = 11,8 + 1,5 ⋅ 3 = 16,3

⇒ x = 10^16,3 = 10^0,3⋅10¹⁶ ≈ 2⋅10¹⁶ erg.

Vì 1 erg = 10⁻⁷ J ⇒ x = 2 ⋅ 10¹⁶ ⋅ 10⁻⁷ = 2 ⋅ 10⁹ (J).

c) Sai. Gọi x₃ và x₅ lần lượt là năng lượng tạo ra bởi trận động đất 3 độ Richter và 5 độ Richter. Ta có:

Với M = 5: log x₅ = 11,8 + 1,5 ⋅ 5 (1)

Với M = 3: log x₃ = 11,8 + 1,5 ⋅ 3 (2)

Lấy (1) trừ (2), ta được:

log x₅ – log x₃ = (11,8 + 1,5 ⋅ 5) – (11,8 + 1,5 ⋅ 3)

⇔ log\(\left( {\frac{{{x_5}}}{{{x_3}}}} \right)\) = 1,5(5 – 3) = 1,5 ⋅ 2 = 3

⇒ \(\frac{{{x_5}}}{{{x_3}}}\) = 10³ = 1000

Như vậy, trận động đất có độ lớn 5 độ Richter tạo ra năng lượng gấp 1000 lần chứ không phải 100 lần so với trận động đất có độ lớn 3 độ Richter.

d) Đúng. Gọi x₇, x₅ lần lượt là năng lượng của trận động đất có độ lớn 7 độ Richter và 5 độ Richter. Ta có:

Với M = 7: log x₇ = 11,8 + 1,5 ⋅ 7 (3)

Với M = 5: log x₅ = 11,8 + 1,5 ⋅ 5 (4)

Lấy (3) trừ (4), ta được: log x₇ – log x₅ = (11,8 + 1,5 ⋅ 7) – (11,8 + 1,5 ⋅ 5)

⇔ log\(\left( {\frac{{{x_7}}}{{{x_5}}}} \right)\) = 1,5(7 – 5) ⇔ log\(\left( {\frac{{{x_7}}}{{{x_5}}}} \right)\) = 1,5 ⋅ 2 ⇔ log\(\left( {\frac{{{x_7}}}{{{x_5}}}} \right)\) = 3

⇔ \(\frac{{{x_7}}}{{{x_5}}}\) = 103 = 1000

Vậy trận động đất 7 độ Richter tạo ra năng lượng gấp 1000 lần trận động đất 5 độ Richter.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.          b) Đúng.              c) Sai.                   d) Đúng.

a) Đúng. Thay h = 19,4 km vào công thức ta được:

19,4 = 19,4log\(\frac{{760}}{P}\) ⇔ log\(\frac{{760}}{P}\) = 1 ⇔ \(\frac{{760}}{P}\) = 10¹ = 10 ⇔ P = 76 (mmHg).

b) Đúng. Thay P = 380 mmHg vào công thức, ta được

h = 19,4log\(\frac{{760}}{{380}}\) = 19,4log2 ≈ 19,4 ⋅ 0,3 ≈ 5,84 (km).

c) Sai. Thay h = 9,7 km vào công thức, ta được:

9,7 = 19,4log\(\frac{{760}}{P}\) ⇔ log\(\frac{{760}}{P}\) = \(\frac{{9,7}}{{19,4}}\) = 0,5

⇔ \(\frac{{760}}{P}\) = 10^0,5  ⇔ \(\frac{{760}}{P}\) = \(\sqrt {10} \) ⇔ P = \(\frac{{360}}{{\sqrt {10} }}\) = 36\(\sqrt {10} \)≈ 113,8 (mmHg) ≠ 380 mmHg.

d) Đúng. Ta có: h = 19,4log\(\frac{{760}}{P}\). Chia cả 2 vế cho 19,4, ta được:

log\(\frac{{760}}{P}\) = \(\frac{h}{{19,4}}\) ⇔ \(\frac{{760}}{P}\) = \({10^{\frac{h}{{19,4}}}}\) ⇔ P = \(\frac{{760}}{{{{10}^{\frac{h}{{19,4}}}}}}\) = 760⋅\({10^{ - \frac{h}{{19,4}}}}\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 1,87

Thay khoảng cách d = 1,52 AU vào công thức ta được:

log T = 1,5log1,52 ⇔ log T ≈ 1,5 ⋅ 0,18184 ⇔ log T ≈ 0,27276

⇔ T = 10^0,27276 ≈ 1,87 (năm Trái Đất)

Vậy chu kì quay quanh Mặt Trời của Sao Hỏa là 1,87 năm Trái Đất.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 5,3

Ta có: pH = –log[H⁺].

Thay [H⁺] = 4,5 ⋅ 10^–6: pH = –log(4,5 ⋅ 10^–6) = –(log 4,5 + log 10^–6) = –[log 4,5 + (–6)]

= 6 – log 4,5 ≈ 6 – 0,65 ≈ 5,3.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 5,4

Theo đề bài, ta có: \(\frac{A}{{{A_0}}}\) = 250000

Thay vào công thức tính độ Richter ta được: M = log 250000 ≈ 5,4.

Vậy độ Richter của trận động đất đó là khoảng 5,4 độ Richter.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 84

Thay I = 2,5 ⋅ 10^–4 W/m², I₀ = 10^–12 W/m² vào công thức, ta có:

L = 10log\(\left( {\frac{{2,5 \cdot {{10}^{ - 4}}}}{{{{10}^{ - 12}}}}} \right)\) = 10log(2,5 ⋅ 10⁸) = 10(log 2,5 + log10⁸)

L = 10(log 2,5 + 8) ≈ 10(8 + 0,3979) ≈ 83,979 ≈ 84 dB.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 13

Ta có: Thay P = 100 (triệu đồng), r = 5,5% = 0,055 vào công thức, ta được:

A = 100⋅(1 + 0,055)^t.

Để số tiền ông C nhận được (gồm cả gốc và lãi) gấp đôi số tiền ban đầu ⇒ A = 200 (triệu đồng)

⇒ 100⋅(1 + 0,055)^t = 200 hay 100(1,055)^t = 200

⇔ (1,055)^t = \(\frac{{200}}{{100}}\) = 2. Lấy lôgarit hai vế:

⇒ log1,055^t = log2 ⇔ t⋅log1,055 = log2 ⇔ t = \(\frac{{\log 2}}{{\log 1,055}}\) ≈ \(\frac{{0,3010}}{{0,0233}}\) ≈ 12,95

Vì tiền được tính theo kì hạn 1 năm, nên t phải là số nguyên

Do đó, t = 13

Vậy sau 13 năm thì ông C nhận được số tiền (gồm cả gốc và lãi) gấp đôi ban đầu.