Bài tập Sử dụng tính chất của lôgarit để biển đổi, rút gọn các biểu thức chứa biến lớp 11 (có lời giải)

Đáp án đúng là: B

Với a > 0, a ≠ 2 ta có: ${\log }_{\frac{a}{2}}\left(\frac{a^2}{4}\right)={\log }_{\frac{a}{2}}\left(\frac{a^2}{2^2}\right)={\log }_{\frac{a}{2}}{\left(\frac{a}{2}\right)}^2=2.$

Đáp án đúng là: A

Với a > 0 ta có:  ${\log }_{4}a={\log }_4{\left(\sqrt{a}\right)}^2=2{\log }_4\sqrt{a}=2.16=32.$

Đáp án đúng là: D

Ta có: log_{a $\frac{a}{b}$} = log_a a – log_a b = 1 – log_a b.

Đáp án đúng là: B

Với a > 0, b > 0, c > 0, a ≠ 1 ta có:

log_a (b²c³) = log_a b² + log_a c³ = 2log_a b + 3log_a c = 2.2 + 3.3 = 13.

Đáp án đúng là: A

Với a > 0, b > 0 ta có:

log₂  $\left(\frac{2a^3}{b}\right)$= log₂ 2a³ – log₂ b

                    = log₂ 2 + log₂ a³ – log₂ b

                    = 1 + 3log₂ a – log₂ b.

Đáp án đúng là: A

Với a > 0, b > 0, a ≠ 1 và log_ab = 5 thì

                  $$\begin{gathered} {\log }_{a^{2}b}\left(a{b}^2\right)=\frac{{\log }_a\left(a{b}^2\right)}{{\log }_a\left(a^{2}b\right)}=\frac{{\log }_{a}a+{\log }_a{b}^2}{{\log }_a{a}^2+{\log }_{a}b} \\ =\frac{1+2{\log }_{a}b}{2+lo{g}_{a}b}=\frac{1+2.5}{2+5}=\frac{11}{7}. \end{gathered}$$

Đáp án đúng là: D

Với a, b, c là các số thực dương, ta có:

    $$\begin{gathered} P=\log \frac{a}{b}+\log \frac{b}{c}+\log \frac{c}{d}-\log \frac{a}{d} \\ =\log \left(\frac{a}{b}.\frac{b}{c}.\frac{c}{d}\right)-\log \frac{a}{d}=\log \left(\frac{a}{d}:\frac{a}{d}\right)=\log 1=0. \end{gathered}$$

Đáp án đúng là: D

Với a > 0, b > 0 ta có:

a² + b² = 7ab hay a² + 2ab + b² = 9ab ⇒ (a + b)² = 9ab.

 $\Rightarrow a+b=\sqrt{9ab}\Rightarrow a+b=3{\left(ab\right)}^{\frac{1}{2}}$(do a > 0, b > 0).

Xét: $\log \left(a+b\right)=\log \left[3{\left(ab\right)}^{\frac{1}{2}}\right]$

$$\begin{gathered} =\log 3+\log {\left(ab\right)}^{\frac{1}{2}} \\ =\log 3+\frac{1}{2}\left(\log a+\log b\right). \end{gathered}$$

Đáp án đúng là: A

Với a > 0, a ≠ 1, $a^{\frac{1}{2}}=b$ ta có:

                   ${\log }_{ab}\left(a\sqrt{b}\right)={\log }_{a\cdot a^{\frac{1}{2}}}\left(a\sqrt{a^{\frac{1}{2}}}\right)={\log }_{a^{\frac{3}{2}}}\left(a.a^{\frac{1}{4}}\right)=\frac{2}{3}{\log }_a\left(a^{1+\frac{1}{4}}\right)$

$=\frac{2}{3}{\log }_a{a}^{\frac{5}{4}}=\frac{2}{3}.\frac{5}{4}=\frac{5}{6}.$

Đáp án đúng là: B

   ${\log }_{a\sqrt[3]{b}}\left(\sqrt[4]{a\sqrt{b}}\right)=\frac{{\log }_a\sqrt[4]{a\sqrt{b}}}{{\log }_{a}a\sqrt[3]{b}}=\frac{{\log }_a\sqrt[4]{a{b}^{\frac{1}{2}}}}{{\log }_a\left(a{b}^{\frac{1}{3}}\right)}=\frac{{\log }_a{\left(a{b}^{\frac{1}{2}}\right)}^{\frac{1}{4}}}{{\log }_a\left(a{b}^{\frac{1}{3}}\right)}$

$=\frac{{\log }_a\left(a^{\frac{1}{4}}.b^{\frac{1}{2}.\frac{1}{4}}\right)}{{\log }_a\left(a{b}^{\frac{1}{3}}\right)}=\frac{{\log }_a\left(a^{\frac{1}{4}}{b}^{\frac{1}{8}}\right)}{{\log }_a\left(a{b}^{\frac{1}{3}}\right)}=\frac{{\log }_a{a}^{\frac{1}{4}}+{\log }_a{b}^{\frac{1}{8}}}{{\log }_{a}a+{\log }_a{b}^{\frac{1}{3}}}$

$=\frac{\frac{1}{4}+\frac{1}{8}{\log }_{a}b}{1+\frac{1}{3}{\log }_{a}b}=\frac{\frac{1}{4}+\frac{1}{8}.4}{1+\frac{1}{3}.4}=\frac{9}{28}.$

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có: P = log_a(a³b) = log_aa³ + log_ab = 3log_aa + log_ab = 3 + log_ab.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có: \({\log _{{a^2}}}(ab)\) = \({\log _{{a^2}}}a\) + \({\log _{{a^2}}}b\) = \(\frac{1}{2}\)log_aa + \(\frac{1}{2}\)log_ab = \(\frac{1}{2}\) + \(\frac{1}{2}\)log_ab.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có: P = log_ab³ + \({\log _{{a^2}}}{b^6}\) = 3log_ab + \(\frac{1}{2}\)⋅ 6log_ab

= (3 + \(\frac{1}{2}\)⋅ 6)log_ab = (3 + 3)log_ab = 6log_ab.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Ta có: M = log_a\(\left( {\frac{{{a^2}}}{{\sqrt b }}} \right)\) = log_a(a²) – log_a(\(\sqrt b \)) = 2log_aa – log_a\(\left( {{b^{\frac{1}{2}}}} \right)\) = 2 – \(\frac{1}{2}\)log_ab.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Do x, y là các số thực dương nên ta có:

\({\log _{\frac{1}{{27}}}}\left( {\frac{x}{{{y^3}}}} \right)\) = log₃^–3\(\left( {\frac{x}{{{y^3}}}} \right)\) = \( - \frac{1}{3}\)log₃\(\left( {\frac{x}{{{y^3}}}} \right)\) = \( - \frac{1}{3}\)(log₃x – log₃y³)

= \( - \frac{1}{3}\)(log₃x – 3log₃y) = \( - \frac{1}{3}\)log₃x + \(\frac{1}{3}\)⋅ 3log₃y = \( - \frac{1}{3}\)log₃x + log₃y.

Mà log₃x = a; log₃y = b ⇒ \( - \frac{1}{3}\)log₃x + log₃y = \( - \frac{1}{3}\)a + b.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.          b) Đúng.              c) Sai.                   d) Đúng.

a) Đúng. Ta có: ln(x²y) = ln(x²) + lny = 2lnx + lny.

b) Đúng. Ta có: ln\(\left( {\frac{e}{x}} \right)\) = ln e – lnx = 1 – lnx.

c) Sai. Ta có: lnx + lny = ln(xy) ≠ ln(x + y).

d) Đúng. Ta có: ln(x²y⁴) = ln(x²) + ln(y⁴) = 2lnx + 4lny = 2(lnx + 2lny).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai.              b) Sai.                  c) Đúng.               d) Sai.

a) Sai. Ta có: A = \({\left( {{a^3}\sqrt a } \right)^{{{\log }_a}b}}\) + \({\left( {\sqrt[3]{{{b^2}}}} \right)^{{{\log }_b}a}}\) = \({\left( {{a^3} \cdot {a^{\frac{1}{2}}}} \right)^{{{\log }_a}b}}\) + \({\left( {{b^{\frac{2}{3}}}} \right)^{{{\log }_b}a}}\)

= \({\left( {{a^{\frac{7}{2}}}} \right)^{{{\log }_a}b}} + {\left( {{b^{\frac{3}{2}}}} \right)^{{{\log }_b}a}}\) = \({\left( {{a^{{{\log }_a}b}}} \right)^{\frac{7}{2}}} + {\left( {{b^{{{\log }_b}a}}} \right)^{\frac{2}{3}}}\) = \({b^{\frac{7}{2}}} + {a^{\frac{2}{3}}}\) = \(\sqrt[3]{{{a^2}}} + \sqrt {{b^7}} \).

b) Sai. Ta có: B = log\(\frac{a}{b}\) + log\(\frac{b}{c}\) + log\(\frac{c}{d}\) – log\(\frac{a}{d}\) = log\(\left( {\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{c} \cdot \frac{c}{d}} \right)\) – log\(\frac{a}{d}\)

= log\(\frac{a}{d}\) – log\(\frac{a}{d}\) = log\(\left( {\frac{a}{d}:\frac{a}{d}} \right)\) = log1 = 0.

c) Đúng. A + B\(\sqrt a \) = \(\sqrt[3]{{{a^2}}} + \sqrt {{b^7}} \)+ 0 ⋅\(\sqrt a \) = \(\sqrt[3]{{{a^2}}} + \sqrt {{b^7}} \).

d) Sai. A – B\(\sqrt b \) = \(\sqrt[3]{{{a^2}}} + \sqrt {{b^7}} \)– 0 ⋅ \(\sqrt b \) = \(\sqrt[3]{{{a^2}}} + \sqrt {{b^7}} \) ≠ 2\(\sqrt[3]{{{a^2}}}\) + \(\sqrt {{b^7}} \).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.          b) Đúng.              c) Sai.                   d) Đúng.

a) Đúng. Ta có: a² + b² = 9ab. Cộng 2 vế của phương trình với 2ab:

⇔ a² + 2ab + b² = 11ab ⇔ (a + b)² = 11ab.

b) Đúng. Theo câu a), ta có: (a + b)² = 11ab

Lấy ln hai vế, ta được:

ln(a + b)² = ln(11ab) ⇔ 2ln(a + b) = ln11 + lna + lnb

c) Sai. Theo câu b), ta có: 2ln(a + b) = ln11 + lna + lnb

⇔ 2ln(a + b) – ln11 = lna + lnb ⇔ ln(a + b)² – ln11 = lna + lnb

⇔ \(\ln \frac{{{{(a + b)}^2}}}{{11}}\) = lna + lnb ⇔ \(\ln {\left( {\frac{{a + b}}{{\sqrt {11} }}} \right)^2}\) = lna + lnb

⇔ 2\(\ln \frac{{a + b}}{{\sqrt {11} }}\) = lna + lnb ⇔ \(\ln \frac{{a + b}}{{\sqrt {11} }}\) = \(\frac{{\ln a + \ln b}}{2}\) ≠ lna + lnb.

d) Đúng. Theo câu a), ta có: (a + b)² = 11ab ⇔ \(\frac{{{{(a + b)}^2}}}{{ab}}\) = 11

⇔ \(\frac{{a + b}}{{\sqrt {ab} }}\) = \(\sqrt {11} \)

Lấy logarit cơ số 3 hai vế, ta được:

\({\log _3}\frac{{a + b}}{{\sqrt {ab} }}\) = \({\log _3}\sqrt {11} \) ⇔ log₃(a + b) – \({\log _3}\sqrt {ab} \) = \({\log _3}{11^{\frac{1}{2}}}\)

⇔ log₃(a + b) – \({\log _3}\sqrt {ab} \) = \(\frac{1}{2}\)log₃11.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.          b) Đúng.              c) Sai.                   d) Đúng

a) Đúng. Ta có: log(ab) = log a + log b.

b) Đúng. Ta có: \({\log _{{a^{\frac{1}{4}}}}}\left( {ab} \right)\) = \(\frac{1}{{\frac{1}{4}}}\)log_a(ab) = 4log_aa + 4log_ab = 4 + 4log_ab.

c) Sai. Vì \({\log _a}\left( {\frac{a}{b}} \right)\) = log_aa – log_ab = 1 – log_ab ≠ 1 + log_ab.

d) Đúng. Ta có: 2ln a – ln b = ln 4.

⇔ ln a² – ln b = ln 4 ⇔ ln\(\left( {\frac{{{a^2}}}{b}} \right)\) = ln 4 ⇔ \(\frac{{{a^2}}}{b}\) = 4 ⇔ a² = 4b.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.          b) Sai.                  c) Đúng.               d) Sai.

a) Đúng. Ta có: a² + 9b² = 10ab. Cộng cả hai vế của phương trình với 6ab, ta được:

a² + 6ab + 9b² = 16ab ⇔ (a + 3b)² = 16ab.

b) Sai. Theo câu a), ta có: (a + 3b)² = 16ab. Lấy loogarit cơ số 3 hai vế (với a, b > 0), ta được:

⇒ log₃(a + 3b)² = log₃(16ab) ⇔ 2log₃(a + 3b) = log₃2⁴ + log₃a + log₃b

⇔ 2log₃(a + 3b) = 4log₃2 + log₃a + log₃b ⇔ log₃(a + 3b) = 2log₃2 + \(\frac{1}{2}\)log₃a + \(\frac{1}{2}\)log₃b

⇔ log₃(a + 3b) = 2log₃2 + \(\frac{1}{2}\)(log₃a + log₃b) ≠ 4log₃2 + \(\frac{1}{2}\)(log₃a + log₃b).

c) Đúng. Theo câu b) ta có: log₃(a + 3b) = 2log₃2 + \(\frac{1}{2}\)(log₃a + log₃b)

⇔ P = 2log₃2 + \(\frac{1}{2}\)(log₃a + log₃b) – log₃4 = log₃2² + \(\frac{1}{2}\)(log₃a + log₃b) – log₃4

P = log₃4 + \(\frac{1}{2}\)(log₃a + log₃b) – log₃4 = \(\frac{1}{2}\)(log₃a + log₃b)

P = \(\frac{1}{2}\)log₃(ab).

d) Sai. Thay a = 3, b = 9 vào P, ta có: P = \(\frac{1}{2}\)log₃(3 ⋅ 9) = \(\frac{1}{2}\)log₃27 = \(\frac{1}{2}\) ⋅ 3 = \(\frac{3}{2}\)

Vậy với a = 3, b = 9, P = \(\frac{3}{2}\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 16

Ta có: \({\log _a}\sqrt[5]{{{a^{11}}}}\) = \({\log _a}{a^{\frac{{11}}{5}}}\) = \(\frac{{11}}{5}\)log_aa = \(\frac{{11}}{5}\).

⇒ \(\frac{m}{n}\) = \(\frac{{11}}{5}\) ⇒ m + n = 11 + 5 = 16.

Vậy m + n = 16.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 25

Ta có: \({\log _{\sqrt a }}5\) = \({\log _{{a^{\frac{1}{2}}}}}5\) = 2log_a5 = log_a5² = log_a25

⇒ \({a^{{{\log }_{\sqrt a }}5}}\) = \({a^{{{\log }_a}25}}\).

Áp dụng tính chất lôgarit: \({a^{{{\log }_a}M}}\)= M với 0 < a ≠ 1, M > 0 ⇒ \({a^{{{\log }_{\sqrt a }}5}}\) = \({a^{{{\log }_a}25}}\) = 25.

Vậy giá trị của biểu thức trên là 25.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 13

Ta có: Q = log_a(b²c³) = log_ab² + log_ac³ = 2log_ab + 3log_ac

Mà log_ab = 2, log_ac = 3

⇒ Q = 2 ⋅ 2 + 3 ⋅ 3 = 4 + 9 = 13.

Vậy Q = 13.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 2

Với a, b là các số thực dương khác 1, ta có:

ln a + ln(8b) = 2ln(a + 2b)

⇔ ln(8ab) = ln(a + 2b)² ⇔ 8ab = (a + 2b)²

⇔ 8ab – (a + 2b)² = 0 ⇔ 8ab – (a² + 4ab + 4b²) = 0

⇔ 8ab – a² – 4ab – 4b² = 0 ⇔ – a² + 4ab – 4b² = 0

⇔ a² – 4ab + 4b² = 0 ⇔ (a – 2b)² = 0 ⇔ a – 2b = 0 ⇔ a = 2b.

Thay a = 2b vào P, khi đó:

P = log_b(2a) + \({\log _{\frac{a}{2}}}(2b)\) – \(\frac{1}{{{{\log }_8}b}}\) = log_b(4b) + log_b(2b) – log_b8 = \({\log _b}\left( {\frac{{4b \cdot 2b}}{8}} \right)\)

= \({\log _b}\frac{{8{b^2}}}{8}\) = log_bb² = 2log_bb = 2.

Vậy P = 2.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 2

Ta có: x² + y² = 14xy. Cộng cả 2 vế với 2xy:

⇒ x² + 2xy + y² = 14xy + 2xy ⇔ (x + y)² = 16xy

Vì x, y > 0 nên x + y > 0. Lấy logarit cơ số 2 hai vế của đẳng thức trên, ta được:

log₂\({(x + y)^2}\) = log₂(16xy) ⇔ 2log₂(x + y) = log₂16 + log₂(xy)

⇔ 2log₂(x + y) = log₂2⁴ + log₂(xy) ⇔ 2log₂(x + y) = 4 + log₂(xy)

⇔ log₂(x + y) = 2 + \(\frac{1}{2}\)log₂(xy)

⇒ a = 2

Vậy a = 2.