Bài tập Tìm tập xác định của hàm số lượng giác lớp 11 (có lời giải)
26 câu hỏi
Tập xác định của hàm số y = 2023tan2024 2x là
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}\);
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{{k\pi }}{2}|k \in \mathbb{Z}} \right\}\);
\(D = \mathbb{R}\);
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}|k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Đáp án đúng là: D
Biểu thức 2023tan20242x có nghĩa khi cos2x ≠ 0, tức là \(2x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Hay \(x \ne \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Vậy tập xác định của hàm số đã cho là: \[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}|k \in \mathbb{Z}} \right\}\].
Hàm số y = cot2a + 2cosa + 3 có tập xác định là
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{{k\pi }}{4}|k \in \mathbb{Z}} \right\}\);
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{{k\pi }}{8}|k \in \mathbb{Z}} \right\}\);
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{{k\pi }}{2}|k \in \mathbb{Z}} \right\}\);
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Đáp án đúng là: C
Biểu thức cot2a + 2cosa + 3 có nghĩa khi sin2a ≠ 0, tức là \(2a \ne k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Hay \(a \ne \frac{{k\pi }}{2}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Vậy tập xác định của hàm số đã cho là \[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{{k\pi }}{2}|k \in \mathbb{Z}} \right\}\].
Tập xác định của hàm số y = 2cotx + sin3x là
\[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}\];
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}\);
\(D = \mathbb{R}\);
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{{k\pi }}{2}| \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Đáp án đúng là: B
Biểu thức y = 2cotx + sin3x có nghĩa khi sinx ≠ 0, tức là \(x \ne k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Vậy tập xác định của hàm số đã cho là \[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}\].
Tập xác định của hàm số \(y = \tan \left( {x + \frac{{2\pi }}{3}} \right)\) là
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{{2\pi }}{3} + k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}\);
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}\);
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{\pi }{6} + k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}\);
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Đáp án đúng là: C
Biểu thức \(\tan \left( {x + \frac{{2\pi }}{3}} \right)\) có nghĩa khi \(\cos \left( {x + \frac{{2\pi }}{3}} \right) \ne 0\), tức là \(x + \frac{{2\pi }}{3} \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
hay \(x \ne - \frac{\pi }{6} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Vậy tập xác định của hàm số đã cho là \[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{\pi }{6} + k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}\].
Tập xác định của hàm số \(y = \frac{1}{{{{\sin }^2}x - {{\cos }^2}x}}\) là
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}\);
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{{k\pi }}{2}|k \in \mathbb{Z}} \right\}\);
\(D = \mathbb{R}\);
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}|k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Đáp án đúng là: D
Ta có: \(y = \frac{1}{{{{\sin }^2}x - {{\cos }^2}x}} = - \frac{1}{{\cos 2x}}\) (công thức góc nhân đôi)
Do đó, biểu thức \(\frac{1}{{{{\sin }^2}x - {{\cos }^2}x}}\) có nghĩa khi cos2x ≠ 0, tức là \(2x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
Hay \(x \ne \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Vậy tập xác định của hàm số đã cho là \[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}|k \in \mathbb{Z}} \right\}\].
Tập nào sau đây là tập xác định của hàm số \(y = \frac{{\cot x}}{{\sin x - 1}}\)?
\[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k2\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}\];
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{{k\pi }}{2}|k \in \mathbb{Z}} \right\}\);
\[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi ;\frac{\pi }{2} + k2\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}\];
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + \frac{{k\pi }}{2}|k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Đáp án đúng là: C
Ta có: \(y = \frac{{\cot x}}{{\sin x - 1}} = \frac{{\frac{{\cos x}}{{\sin x}}}}{{\sin x - 1}} = \frac{{\cos x}}{{\sin x\left( {\sin x - 1} \right)}}\).
Biểu thức \(y = \frac{{\cot x}}{{\sin x - 1}}\) có nghĩa khi \(\left\{ \begin{array}{l}\sin x \ne 0\\\sin x \ne 1\end{array} \right.\), tức là \(\left\{ \begin{array}{l}x \ne k\pi \\x \ne \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Vậy tập xác định của hàm số đã cho là \[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi ;\frac{\pi }{2} + k2\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}\].
Xét bốn mệnh đề sau:
(1) Hàm số y = sin x có tập xác định là ℝ.
(2) Hàm số y = cos x có tập xác định là ℝ.
(3) Hàm số y = tan x có tập xác định là ℝ\{kπ}.
(4) Hàm số y = cot x có tập xác định là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {k\frac{\pi }{2}} \right\}\).
Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là
1;
2;
3;
4.
Đáp án đúng là: B
Các hàm số y = sin x, y = cos x có tập xác định là ℝ. Vậy (1) và (2) đúng.
Hàm số y = tan x có tập xác định là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\). Vậy (3) sai.
Hàm số y = cot x có tập xác định là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\). Vậy (4) sai.
Hàm số \(y = \frac{{\sqrt {2 + \cos x} }}{{\sin 3x}}\) có tập xác định là
\[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{{k\pi }}{3}|k \in \mathbb{Z}} \right\}\];
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}\);
\[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{{k\pi }}{4}|k \in \mathbb{Z}} \right\}\];
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{{k\pi }}{2}|k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Đáp án đúng là: A
Biểu thức \(\frac{{\sqrt {2 + \cos x} }}{{\sin 3x}}\) có nghĩa khi \(\left\{ \begin{array}{l}2 + \cos x \ge 0\\\sin 3x \ne 0\end{array} \right.\). (1)
Mặt khác ∀ x ∈ ℝ: –1 ≤ cosx ≤ 1 ⇔ 1 ≤ cosx + 2 ≤ 3.
Lúc đó, (1) ⇔ sin3x ≠ 0, hay \(x \ne \frac{{k\pi }}{3}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Vậy tập xác định của hàm số đã cho là \[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{{k\pi }}{3}|k \in \mathbb{Z}} \right\}\].
Hàm số nào sau đây có tập xác định là ℝ?
\(y = 2\cos \sqrt x \);
\(y = \frac{{\tan 2x}}{{{{\sin }^2}x + 1}}\);
\(y = \cos \frac{1}{x}\);
\(y = \sqrt {\frac{{\sin 2x + 3}}{{\cos 4x + 5}}} \).
Đáp án đúng là: D
Xét hàm số \(y = \sqrt {\frac{{\sin 2x + 3}}{{\cos 4x + 5}}} \).
Ta có \(\forall x \in \mathbb{R}:\left\{ \begin{array}{l} - 1 \le \sin 2x \le 1\\ - 1 \le \cos 4x \le 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 \le \sin 2x + 3 \le 4\\4 \le \cos 4x + 5 \le 6\end{array} \right. \Rightarrow \frac{{\sin 2x + 3}}{{\cos 4x + 5}} > 0\).
Vậy hàm số \(y = \sqrt {\frac{{\sin 2x + 3}}{{\cos 4x + 5}}} \) có tập xác định là ℝ.
Giá trị của m để hàm số \(y = \frac{{2 - \sin 2x}}{{\sqrt {m\cos x + 1} }}\) xác định trên ℝ là
–1 ≤ m ≤ 1;
–1 < m < 1;
m > 0;
0 < m < 1.
Đáp án đúng là: B
Hàm số \(y = \frac{{2 - \sin 2x}}{{\sqrt {m\cos x + 1} }}\) có nghĩa khi mcosx + 1 > 0, ∀ x ∈ ℝ. (1)
– Khi m = 0 thì (1) luôn đúng nên nhận giá trị m = 0.
– Khi m > 0 thì mcosx + 1 có tập giá trị là đoạn [–m + 1 ; m + 1]. Do đó để (1) đúng khi và chỉ khi –m + 1 > 0 ⇔ m < 1. Do đó, 0 < m < 1.
– Khi m < 0 thì mcosx + 1 có tập giá trị là đoạn [m + 1 ; –m + 1]. Do đó để (1) đúng khi và chỉ khi m + 1 > 0 ⇔ m > – 1. Do đó –1 < m < 0.
Kết hợp ba trường hợp ta được –1 < m < 1.
Tập hợp tất cả giá trị của m để hàm số \(y = \frac{1}{{\sin 2x - m}}\) có tập xác định là ℝ là
[–1; 1];
(– ∞; –1) ∪ (1; + ∞);
(–1; 1);
(– ∞; –1] ∪ [1; + ∞).
Đáp án đúng là: B
Để hàm số \(y = \frac{1}{{\sin 2x - m}}\) có tập xác định là ℝ thì sin2x – m ≠ 0, hay m ≠ sin2x ∀ x ∈ ℝ.
Mặt khác ∀ x ∈ ℝ, ta có sin 2x ∈ [– 1; 1].
Do đó m ∉ [– 1; 1], tức là m ∈ (– ∞; –1) ∪ (1; + ∞).
Tập xác định của hàm số y = cot 2x – tan x là:
D = \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
D = \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
D = \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2},k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
D = \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {k\frac{\pi }{2},k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Đáp án đúng là: D
Hàm số xác định khi \(\left\{ \begin{array}{l}\sin 2x \ne 0\\\cos x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne k\frac{\pi }{2}\\x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow x \ne k\frac{\pi }{2}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Tập xác định của hàm số \(y = \frac{{\sin x + 1}}{{\sin x - 2}}\) là:
D = (-2; +∞).
D = (-2; +∞).
D = \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\).
D = \(\mathbb{R}\).
Đáp án đúng là: D
Ta có -1 ≤ sin x ≤ 1, ∀x ∈ ℝ. Do đó sinx – 2 ≠ 0, ∀x ∈ ℝ. Vậy tập xác định D = ℝ.
Tìm tập xác định của hàm số y = \(\frac{1}{{\sin x - \cos x}}\).
D = \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
D = \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
D = \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{4} + k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
D = \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {k2\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Đáp án đúng là: C
Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi sinx – cos x ≠ 0 ⇔ \(\sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right)\) ≠ 0 ⇔ x ≠ \(\frac{\pi }{4} + k\pi \), (k ∈ ℤ).
Tập xác định của hàm số y = \(\frac{{\tan 2x}}{{\cos x}}\) là:
D = \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2};\,\,\frac{\pi }{2} + k\pi } \right\},k \in \mathbb{Z}\).
D = \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi } \right\},k \in \mathbb{Z}\).
D = \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2}\pi } \right\},k \in \mathbb{Z}\).
D = \(\mathbb{R}\).
Đáp án đúng là: A
Hàm số xác định khi \(\left\{ \begin{array}{l}\cos 2x \ne 0\\\cos x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \\x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2}\\x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\).
Tìm tập xác định D của hàm số y = \(\sqrt {5 + 2{{\cot }^2}x - \sin x} + \cot \left( {\frac{\pi }{2} + x} \right)\).
D = \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}} \right\}.\)
D = \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}.\)
D = \(\mathbb{R}\).
D = \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}.\)
Đáp án đúng là: A
Hàm số xác định khi và chỉ khi các điều kiện sau thỏa mãn đồng thời 5 + 2cot2x – sin x ≥ 0, \(\cot \left( {\frac{\pi }{2} + x} \right)\) xác định và cot x xác định.
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}2{\cot ^2}x \ge 0\\ - 1 \le \sin x \le 1 \Rightarrow 5 - \sin x \ge 0\end{array} \right. \Rightarrow 5 + 2{\cot ^2}x - \sin x \ge 0,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\)
\(\cot \left( {\frac{\pi }{2} + x} \right)\) xác định ⇔ \(\sin \left( {\frac{\pi }{2} + x} \right) \ne 0 \Leftrightarrow \frac{\pi }{2} + x \ne k\pi \Leftrightarrow x \ne - \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\)
cot x xác định ⇔ sin x ≠ 0 ⇔ x ≠ kπ, k ∈ ℤ.
Do đó hàm số xác định ⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}x \ne - \frac{\pi }{2} + k\pi \\x \ne k\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{2},\,\,k \in \mathbb{Z}\).
Cho hàm số f(x) = tan 2x – 1. Khi đó:.
Giá trị của hàm số tại x = \(\frac{\pi }{8}\) bằng 0.
Giá trị của hàm số tại x = \(\frac{\pi }{3}\) bằng \( - \sqrt 3 - 1\).
Tập giá trị của hàm số là ℝ.
Tập xác định của hàm số là D = \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng. Ta có: \(f\left( {\frac{\pi }{8}} \right) = \tan \left( {2 \cdot \frac{\pi }{8}} \right) - 1 = 1 - 1 = 0\).
b) Đúng. Ta có: \(f\left( {\frac{\pi }{3}} \right) = \tan \left( {2 \cdot \frac{\pi }{3}} \right) - 1 = - \sqrt 3 - 1\)
c) Đúng. Tập giá trị của hàm số là ℝ.
d) Sai. Hàm số xác định khi và chỉ khi cos2x ≠ 0 ⇔ 2x = \(\frac{\pi }{2} + k\pi \)
⇔ \(\frac{\pi }{4} + \frac{\pi }{2}k\), k ∈ ℤ .
Tập xác định của hàm số là: D = \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{4} + \frac{\pi }{2}k|k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
Hàm số y = tan x + cot 2x xác định khi \(\left\{ \begin{array}{l}\cos x \ne 0\\\sin 2x \ne 0\end{array} \right.\).
Hàm số y = \(\sqrt {\pi - \cos x} \) có tập xác định là D = ℝ.
Hàm số y = \(\sqrt {4 - {{\sin }^2}x} \) có tập xác định là D = ℝ.
Hàm số y = \(\sqrt {\sin x - 1} + \sqrt {\cos x - 1} \) có tập xác định là D = ℝ.
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng. Hàm số xác định khi:
\(\left\{ \begin{array}{l}\cos x \ne 0\\\sin 2x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \\2x \ne k\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \\x \ne k\frac{\pi }{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ne k\frac{\pi }{2}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Vậy tập xác định của hàm số là D = \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {k\frac{\pi }{2}|k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
b) Đúng. Hàm số xác định khi π - cos x ≥ 0 ⇔ cos x ≤ π ⇔ x ∈ℝ.
Vậy tập xác định D = ℝ.
c) Đúng. Hàm số xác định khi 4 – sin2x ≥ 0 ⇔ sin2x ≤ 4 ⇔ x ∈ ℝ (vì ta có 0 ≤ sin2x ≤ 1 < 4, ∀x ∈ ℝ).
Vậy tập xác định D = ℝ.
d) Sai. Hàm số xác định khi \(\left\{ \begin{array}{l}\sin x - 1 \ge 0\\\cos x - 1 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin x \ge 1\\\cos x \ge 1\end{array} \right.\) (1)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} - 1 \le \sin x \le 1\\ - 1 \le \cos x \le 1\end{array} \right.\) (2)
Từ (1) và (2), ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\sin x = 1\\\cos x = 1\end{array} \right.\) vô lý (vì sin2x + cos2x = 1 nên sinx, cos x không thể đồng thời bằng (1).
Vậy tập xác định của hàm số là D = ∅.
Cho hàm số \(y = \sqrt {\frac{{1 + \cos x}}{{1 - \cos x}}} \). Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
Điều kiện xác định của hàm số là 1 – cos x > 0.
\[\frac{{1 + \cos x}}{{1 - \cos x}} = {\tan ^2}\left( {\frac{x}{2}} \right)\].
Tập xác định của hàm số là: D = ℝ \ {kπ, k ∈ ℤ}.
Số π thuộc tập xác định.
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng. Điều kiện xác định của hàm số là 1 – cos x > 0.
b) Sai. Ta có: \(\frac{{1 + \cos x}}{{1 - \cos x}} = \frac{{2{{\cos }^2}\frac{x}{2}}}{{2{{\sin }^2}\frac{x}{2}}} = {\left( {\frac{{\cos \frac{x}{2}}}{{\sin \frac{x}{2}}}} \right)^2} = {\cot ^2}\left( {\frac{x}{2}} \right)\).
c) Sai. Hàm số xác định khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{1 + \cos x}}{{1 - \cos x}} \ge 0\\1 - \cos x \ne 0\end{array} \right.\) (1)
Vì -1 ≤ cos x ≤ 1, ∀x ∈ ℝ
=> \(\left\{ \begin{array}{l}1 + \cos x \ge 0\\1 - \cos x \ge 0\end{array} \right. \Rightarrow \frac{{1 + \cos x}}{{1 - \cos x}} \ge 0,\,\,\forall \,1 - \cos x \ne 0\).
Do đó (1) ⇔ 1 – cos x ≠ 0 ⇔ cos x ≠ 1 ⇔ x ≠ k2π.
Vậy tập xác định của hàm số là D = ℝ \ {k2π, k ∈ ℤ}.
d) Đúng. Thay π vào hàm số ta được: \(\frac{{1 + \cos \pi }}{{1 - \cos \pi }} = \frac{0}{2} = 0\). Do đó π thuộc hàm số.
Cho hàm số y = \(\cot 2x + \tan \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)\). Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
Tập xác định của hàm số là D = \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{{k\pi }}{2};\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
\(\tan \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) = \cot x\).
Tập xác định của hàm số có dạng D = ℝ\{a + bk; k ∈ ℤ}. Khi đó a + b = \(\frac{\pi }{2}\).
Giá trị hàm số tại x = \(\frac{\pi }{4}\) bằng 2.
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng. Hàm số xác định khi và chỉ khi
\(\left\{ \begin{array}{l}\sin 2x \ne 0\\\cos \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x \ne k\pi \\\sin x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \frac{{k\pi }}{2}\\x \ne k\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{2}\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
b) Đúng. Ta có: \(\tan \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) = \frac{{\sin \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)}}{{\cos \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)}} = \frac{{\cos x}}{{\sin x}} = \cot x\)
c) Đúng. Tập xác định của hàm số là D = \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{{k\pi }}{2};\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Do đó, a = 0, b = \(\frac{\pi }{2}\)=> a + b = 0 + \(\frac{\pi }{2}\) = \(\frac{\pi }{2}\).
d) Sai. Thay x = \(\frac{\pi }{4}\) vào hàm số ta được:
\(\cot \left( {2 \cdot \frac{\pi }{4}} \right) + \tan \left( {\frac{\pi }{2} - \frac{\pi }{4}} \right) = \cot \frac{\pi }{2} + \tan \frac{\pi }{4} = 0 + 1 = 1\).
Cho hàm số \(y = \frac{{\sin 2x}}{{1 + \cos 2x}} + \cot x\). Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
\(\frac{{\sin 2x}}{{1 + \cos 2x}} = \cot x\).
Tập xác định của hàm số là D = ℝ\{kπ; k ∈ ℤ}.
Giá trị hàm số tại x = \(\frac{\pi }{3}\) bằng \(\frac{8}{3}\).
Giá trị của T = a + 3b = \(\frac{{3\pi }}{2}\) . Biết tập xác định của hàm số có dạng D = ℝ\{a + bk; k ∈ ℤ}.
Đáp án: a) Sai. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.
a) Sai. Ta có: \(\frac{{\sin 2x}}{{1 + \cos 2x}} = \frac{{2\sin x\cos x}}{{1 + 2{{\cos }^2}x - 1}} = \frac{{2\sin x\cos x}}{{2{{\cos }^2}x}} = \frac{{\sin x}}{{\cos x}} = \tan x\)
b) Sai. Hàm số xác định khi và chỉ khi
\(\left\{ \begin{array}{l}1 + \cos 2x \ne 0\\\sin x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\cos 2x \ne - 1\\\sin x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x \ne \pi + 2k\pi \\\sin x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \\x \ne k\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow x \ne \left\{ {\frac{{k\pi }}{2};k \in \mathbb{Z}} \right\}\)Vậy tập xác định của hàm số D = \[\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{{k\pi }}{2};k \in \mathbb{Z}} \right\}\].
c) Sai. Thay x = \(\frac{\pi }{3}\) vào hàm số ta được: \(\frac{{\sin \left( {2 \cdot \frac{\pi }{3}} \right)}}{{1 + \cos \left( {2 \cdot \frac{\pi }{3}} \right)}} + \frac{{\cos \frac{\pi }{3}}}{{\sin \frac{\pi }{3}}} = \frac{{4\sqrt 3 }}{3}\).
d) Đúng. Tập xác định của hàm số D = \[\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{{k\pi }}{2};k \in \mathbb{Z}} \right\}\].
Do đó, a = 0, b = \(\frac{\pi }{2}\) => T = a + 3b = 0 + 3\(\frac{\pi }{2}\)=\(\frac{{3\pi }}{2}\).
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = \(\sqrt {\frac{{m - 1}}{m} - 2\cos 4x} \) xác định trên ℝ.
Đáp án: 1.
Ta có: -1 ≤ cos4x ≤ 1
Để hàm số y = \(\sqrt {\frac{{m - 1}}{m} - 2\cos 4x} \) xác định trên ℝ
⇔ \(\frac{{m - 1}}{m} - 2\cos 4x \ge 0,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \frac{{m - 1}}{{2m}} \ge \cos 4x\), ∀x ∈ ℝ
Vì cos4x ≤ 1 nên \(\frac{{m - 1}}{{2m}} \ge 1 \Leftrightarrow \frac{{m - 1}}{m} \ge 2 \Leftrightarrow \frac{{m - 1 - 2m}}{m} \ge 0 \Leftrightarrow \frac{{ - m - 1}}{m} \ge 0\)
\( \Leftrightarrow \frac{{m + 1}}{m} \le 0 \Leftrightarrow - 1 \le m < 0\).
Do m ∈ ℤ nên m = -1
Do đó, có 1 giá trị nguyên của m để hàm số xác định trên ℝ.
Cho hàm số y = \(\frac{{\sin x}}{{{{\sin }^2}x - {{\cos }^2}x}}\). Tập xác định của hàm số có dạng D = ℝ\{a + bk; k ∈ ℤ}. Tính giá trị T = a + b (đơn vị độ)
Đáp án: 135.
Điều kiện: sin2x – cos2x ≠ 0 ⇔ -cos2x ≠ 0 ⇔ cos2x ≠ 0 ⇔ 2x ≠ \(\frac{\pi }{2}\) + kπ
⇔ x ≠ \(\frac{\pi }{4} + \frac{\pi }{2}k\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Vậy tập xác định của hàm số là D = \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{4} + \frac{\pi }{2}k;k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Do đó, a = \(\frac{\pi }{4}\); b = \(\frac{\pi }{2}\) => T = a + b = \(\frac{\pi }{4}\) + \(\frac{\pi }{2}\) = \(\frac{{3\pi }}{4}\)= 135°.
Biết rằng tập giá trị của hàm số y = sinx + \(\sqrt 3 \)cosx + 3 là T = [a; b]. Tính giá trị biểu thức P = 5a + 2b?
Đáp án: 15.
Hàm số có tập xác định D = ℝ
Ta có: y = sinx + \(\sqrt 3 \)cosx + 3 = \(2\left( {\frac{1}{2}\sin x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x} \right) + 3 = 2\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) + 3\)
Do -1 ≤ \(\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)\) ≤ 1 ⇔ -2 ≤ \(2\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)\) ≤ 2 ⇔ 1 ≤ \(2\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)\) + 3 ≤ 5
⇔ 1 ≤ y ≤ 5.
Vậy tập giá trị của hàm số là T = [1; 5] nên a = 1, b = 5 => P = 5a + 2b = 51 + 25 = 15.
Tổng các giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = \(\frac{{\cos x}}{{\left( {m + 1} \right)\cos x - 2}}\) xác định với mọi x ∈ ℝ.
Đáp án: -3.
Để hàm số xác định với mọi x ∈ ℝ thì (m + 1)cosx – 2 ≠ 0, ∀x∈ ℝ (*)
Nếu m = -1, (*) trở thành -2 ≠ 0 đúng với ∀x∈ ℝ. Vậy m = -1 thỏa mãn (1)
Nếu m ≠ -1, ta có (m + 1)cosx – 2 ≠ 0, ∀x∈ ℝ ⇔ cosx ≠ \(\frac{2}{{m + 1}}\), ∀x∈ ℝ.
⇔ \(\left| {\frac{2}{{m + 1}}} \right| > 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{2}{{m + 1}} > 1\\\frac{2}{{m + 1}} < - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{{1 - m}}{{1 + m}} > 0\\\frac{{m + 3}}{{m - 1}} < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 1 < m < 1\\ - 3 < m < - 1\end{array} \right.\) (2)
Kết hợp (1), (2) ta được -3 < m < 1 m ∈ {-2; -1; 0}
Tổng các giá trị nguyên của m là -2 – 1 + 0 = -3.
Cho hàm số y = \(\frac{{\tan x + \cot x}}{{{{\cot }^2}x - 1}}\). Tập xác định của hàm số có dạng D = ℝ\{a + bk; k ∈ ℤ}. Tính giá trị T = a + 2b (Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).
Đáp án: 1,57.
Hàm số xác định khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}\sin x \ne 0\\\cos x \ne 0\\{\cot ^2}x \ne 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne k\pi \\x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \\x \ne \frac{\pi }{4} + k\pi \\x \ne - \frac{\pi }{4} + k\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{4},k \in \mathbb{Z}\).
Do đó, a = 0, b = \(\frac{\pi }{4}\) => T = a + 2b = 0 + 2\(\frac{\pi }{4}\)= \(\frac{\pi }{2}\)= 1,57.
