Bài tập theo tuần Toán 8 - Tuần 7

$\begin{array}{l}{\left(\mathrm{ab}-1\right)}^2+{\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}\right)}^2\\ ={\mathrm{a}}^2{\mathrm{b}}^2-2\mathrm{ab}+1+{\mathrm{a}}^2+2\mathrm{ab}+{\mathrm{b}}^2\\ ={\mathrm{a}}^2{\mathrm{b}}^2+{\mathrm{a}}^2+1+{\mathrm{b}}^2={\mathrm{a}}^2\left({\mathrm{b}}^2+1\right)+\left({\mathrm{b}}^2+1\right)\\ =\left({\mathrm{a}}^2+1\right)\left({\mathrm{b}}^2+1\right)\end{array}$

$\begin{array}{l}{\mathrm{x}}^3+2{\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x}+1\\ =\left({\mathrm{x}}^3+1\right)+\left(2{\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x}\right)\\ =\left(\mathrm{x}+1\right)\left({\mathrm{x}}^2-\mathrm{x}+1\right)+2\mathrm{x}\left(\mathrm{x}+1\right)\\ =\left(\mathrm{x}+1\right)\left({\mathrm{x}}^2-\mathrm{x}+1+2\mathrm{x}\right)\\ =\left(\mathrm{x}+1\right)\left({\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+1\right)\end{array}$

$\begin{array}{l}\left(1+2\mathrm{x}\right)\left(1-2\mathrm{x}\right)-\mathrm{x}\left(\mathrm{x}+2\right)\left(\mathrm{x}-2\right)\\ =1-4{\mathrm{x}}^2-\mathrm{x}\left({\mathrm{x}}^2-4\right)\\ =-{\mathrm{x}}^3-4{\mathrm{x}}^2+4\mathrm{x}+1\\ =-{\mathrm{x}}^3+{\mathrm{x}}^2-5{\mathrm{x}}^2+5\mathrm{x}-\mathrm{x}+1\\ =-{\mathrm{x}}^2\left(\mathrm{x}-1\right)-5\mathrm{x}\left(\mathrm{x}-1\right)-\left(\mathrm{x}-1\right)\\ =\left(\mathrm{x}-1\right)\left(-{\mathrm{x}}^2-5\mathrm{x}-1\right)=\left(\mathrm{x}-1\right)\left({\mathrm{x}}^2+5\mathrm{x}+1\right)\end{array}$

$\begin{array}{l}{\mathrm{x}}^4+2{\mathrm{x}}^3-4\mathrm{x}-4\\ ={\mathrm{x}}^4-2{\mathrm{x}}^2+2{\mathrm{x}}^3-4\mathrm{x}+2{\mathrm{x}}^2-4\\ ={\mathrm{x}}^2\left({\mathrm{x}}^2-2\right)+2\mathrm{x}\left({\mathrm{x}}^2-2\right)+2\left({\mathrm{x}}^2-2\right)\\ =\left({\mathrm{x}}^2-2\right)\left({\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x}+2\right)\end{array}$

$\begin{array}{l}{\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}-4{\mathrm{y}}^2-4\mathrm{y}\\ =\left({\mathrm{x}}^2-4{\mathrm{y}}^2\right)-2\mathrm{x}-4\mathrm{y}\\ =\left(\mathrm{x}-2\mathrm{y}\right)\left(\mathrm{x}+2\mathrm{y}\right)-2\left(\mathrm{x}+2\mathrm{y}\right)\\ =\left(\mathrm{x}+2\mathrm{y}\right)\left(\mathrm{x}-2\mathrm{y}-2\right)\end{array}$

$\begin{array}{l}{\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2-{\mathrm{x}}^2{\mathrm{y}}^2+\mathrm{xy}-\mathrm{x}-\mathrm{y}\\ ={\mathrm{x}}^2-{\mathrm{x}}^2{\mathrm{y}}^2+{\mathrm{y}}^2-\mathrm{y}+\mathrm{xy}-\mathrm{x}\\ =-{\mathrm{x}}^2\left({\mathrm{y}}^2-1\right)+\mathrm{y}\left(\mathrm{y}-1\right)+\mathrm{x}\left(\mathrm{y}-1\right)\\ =\left(\mathrm{y}-1\right)\left[-{\mathrm{x}}^2\left(\mathrm{y}+1\right)+\mathrm{y}+\mathrm{x}\right]\\ =\left(\mathrm{y}-1\right).\left(-{\mathrm{x}}^2\mathrm{y}-{\mathrm{x}}^2+\mathrm{y}+\mathrm{x}\right)\\ =\left(\mathrm{y}-1\right)\left[\left(\mathrm{y}-{\mathrm{x}}^2\mathrm{y}\right)-\left({\mathrm{x}}^2-\mathrm{x}\right)\right]\\ =\left(\mathrm{y}-1\right)\left[-\mathrm{y}\left({\mathrm{x}}^2-1\right)-\mathrm{x}\left(\mathrm{x}-1\right)\right]\\ =\left(\mathrm{y}-1\right)\left[\left(\mathrm{x}-1\right)\left(-\mathrm{y}\left(\mathrm{x}+1\right)-\mathrm{x}\right)\right]\\ =\left(\mathrm{y}-1\right)\left(\mathrm{x}-1\right)\left(-\mathrm{xy}-\mathrm{y}-\mathrm{x}\right)\end{array}$

$\begin{array}{l}{\mathrm{x}}^2+2\mathrm{xy}+{\mathrm{y}}^2-\mathrm{x}-\mathrm{y}-12\\ ={\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)}^2-\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)-12\\ ={\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)}^2-4\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)+3\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)-12\\ =\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}-4\right)+3\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}-4\right)\\ =\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}-4\right)\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}+3\right)\end{array}$

$\begin{array}{l}16\mathrm{x}-5{\mathrm{x}}^2-3\\ =-5{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+15\mathrm{x}-3\\ =\mathrm{x}\left(1-5\mathrm{x}\right)-3\left(1-5\mathrm{x}\right)\\ =\left(\mathrm{x}-3\right)\left(1-5\mathrm{x}\right)\end{array}$

$\begin{array}{l}{\mathrm{x}}^2-4\mathrm{x}-5\\ ={\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}-5\mathrm{x}-5\\ =\mathrm{x}\left(\mathrm{x}+1\right)-5\left(\mathrm{x}+1\right)\\ =\left(\mathrm{x}+1\right)\left(\mathrm{x}-5\right)\end{array}$

$\begin{array}{l}3{\mathrm{x}}^2-6\mathrm{xy}+3{\mathrm{y}}^2-12{\mathrm{z}}^2\\ =3\left({\mathrm{x}}^2-2\mathrm{xy}+{\mathrm{y}}^2-4{\mathrm{z}}^2\right)\\ =3\left[{\left(\mathrm{x}-\mathrm{y}\right)}^2-{\left(2\mathrm{z}\right)}^2\right]\\ =3\left(\mathrm{x}-\mathrm{y}-2\mathrm{z}\right)\left(\mathrm{x}-\mathrm{y}+2\mathrm{z}\right)\end{array}$

$\begin{array}{l}{\mathrm{x}}^3-7\mathrm{x}-6\\ ={\mathrm{x}}^3-\mathrm{x}-6\mathrm{x}-6\\ =\mathrm{x}\left({\mathrm{x}}^2-1\right)-6\left(\mathrm{x}+1\right)\\ =\mathrm{x}\left(\mathrm{x}-1\right)\left(\mathrm{x}+1\right)-6\left(\mathrm{x}+1\right)\\ =\left(\mathrm{x}+1\right)\left[\mathrm{x}\left(\mathrm{x}-1\right)-6\right]\\ =\left(\mathrm{x}+1\right)\left({\mathrm{x}}^2-\mathrm{x}-6\right)\\ =\left(\mathrm{x}+1\right)\left({\mathrm{x}}^2-3\mathrm{x}+2\mathrm{x}-6\right)\\ =\left(\mathrm{x}+1\right)\left[\mathrm{x}\left(\mathrm{x}-3\right)+2\left(\mathrm{x}-3\right)\right]\\ =\left(\mathrm{x}+1\right)\left(\mathrm{x}-3\right)\left(\mathrm{x}+2\right)\end{array}$

$\begin{array}{l}5{\mathrm{x}}^2-10\mathrm{xy}+5{\mathrm{y}}^2-20{\mathrm{z}}^2\\ =5\left({\mathrm{x}}^2-2\mathrm{xy}+{\mathrm{y}}^2-4{\mathrm{z}}^2\right)\\ =5\left[{\left(\mathrm{x}-\mathrm{y}\right)}^2-{\left(2\mathrm{z}\right)}^2\right]\\ =5\left(\mathrm{x}-\mathrm{y}-2\mathrm{z}\right)\left(\mathrm{x}-\mathrm{y}+2\mathrm{z}\right)\end{array}$

$\begin{array}{l}{\mathrm{x}}^2-5\mathrm{x}+5\mathrm{y}-{\mathrm{y}}^2\\ =\left({\mathrm{x}}^2-{\mathrm{y}}^2\right)-\left(5\mathrm{x}-5\mathrm{y}\right)\\ =\left(\mathrm{x}-\mathrm{y}\right)\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)-5\left(\mathrm{x}-\mathrm{y}\right)\\ =\left(\mathrm{x}-\mathrm{y}\right)\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}-5\right)\end{array}$

$\begin{array}{l}{\left(x^2+1\right)}^2-4x^2\\ ={\left(x^2+1\right)}^2-{\left(2x\right)}^2\\ =\left(x^2+2x+1\right)\left(x^2-2x+1\right)\\ ={\left(x+1\right)}^2.{\left(x-1\right)}^2\end{array}$

$\begin{array}{l}3\mathrm{x}\left(\mathrm{x}-2\right)-\mathrm{x}+2=0\\ 3\mathrm{x}\left(\mathrm{x}-2\right)-\left(\mathrm{x}-2\right)=0\\ \left(\mathrm{x}-2\right)\left(3\mathrm{x}-1\right)=0\\ \Rightarrow \left[\begin{array}{l}\mathrm{x}-2=0\\ 3\mathrm{x}-1=0\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}\mathrm{x}=2\\ \mathrm{x}=\frac{1}{3}\end{array}\right.\end{array}$

$\begin{array}{l}4\mathrm{x}\left(\mathrm{x}-3\right)-2\mathrm{x}+6=0\\ 4\mathrm{x}\left(\mathrm{x}-3\right)-2\left(\mathrm{x}-3\right)=0\\ \left(\mathrm{x}-3\right)\left(4\mathrm{x}-2\right)=0\\ \Rightarrow \left[\begin{array}{l}\mathrm{x}-3=0\\ 4\mathrm{x}-2=0\end{array}\right.\Rightarrow \left[\begin{array}{l}\mathrm{x}=3\\ \mathrm{x}=\frac{1}{2}\end{array}\right.\end{array}$

$\begin{array}{l}2\mathrm{x}\left(\mathrm{x}-4\right)+\mathrm{x}-4=0\\ \left(\mathrm{x}-4\right)\left(2\mathrm{x}+1\right)=0\\ \Rightarrow \left[\begin{array}{l}\mathrm{x}=4\\ \mathrm{x}=-\frac{1}{2}\end{array}\right.\end{array}$

$\begin{array}{l}2{\mathrm{x}}^3+4\mathrm{x}=0\Rightarrow 2\mathrm{x}\left({\mathrm{x}}^2+2\right)=0\\ \Rightarrow 2\mathrm{x}=0(\mathrm{do}{\mathrm{x}}^2+2>0)\\ \iff \mathrm{x}=0\end{array}$

$\begin{array}{l}{101}^2={\left(100+1\right)}^2={100}^2+2.100.1+1\\ =10000+200+1=10201\end{array}$

$\begin{array}{l}97.103=\left(100-3\right)\left(100+3\right)\\ ={100}^2-3^2=10000-9=9991\end{array}$

$\begin{array}{l}{77}^2+{23}^2+77.46\\ ={77}^2+2.77.23+{23}^2\\ ={\left(77+23\right)}^2={100}^2=10000\end{array}$

$\begin{array}{l}{105}^2-5^2=\left(105-5\right)\left(105+5\right)\\ =100.110=10=11000\end{array}$

$\begin{array}{l}{85}^2+{15}^2+85.30\\ ={85}^2+\mathrm{2.15.85}+{15}^2\\ ={\left(85+15\right)}^2={100}^2=10000\end{array}$

$\begin{array}{l}{106}^2-36={106}^2-6^2\\ =\left(106-6\right)\left(106+6\right)\\ =112.100=11200\end{array}$

$\begin{array}{l}{\left(6\mathrm{x}+1\right)}^2+{\left(6\mathrm{x}-1\right)}^2-2\left(1+6\mathrm{x}\right)\left(6\mathrm{x}-1\right)\\ ={\left(6\mathrm{x}+1\right)}^2-2.\left(6\mathrm{x}+1\right)\left(6\mathrm{x}-1\right)+{\left(6\mathrm{x}-1\right)}^2\\ ={\left(6\mathrm{x}+1-6\mathrm{x}+1\right)}^2=2^2=4\end{array}$

$\begin{array}{l}3\mathrm{x}\left(\mathrm{x}-2\right)-5\mathrm{x}\left(1-\mathrm{x}\right)-8\left({\mathrm{x}}^2-3\right)\\ =3{\mathrm{x}}^2-6\mathrm{x}-5\mathrm{x}+5{\mathrm{x}}^2-8{\mathrm{x}}^2+24\\ =-11\mathrm{x}+24\end{array}$

$\left({\mathrm{x}}^2-1\right)\left({\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x}\right)={\mathrm{x}}^4+2{\mathrm{x}}^3-{\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}$