Bài tập theo tuần Toán 8 - Tuần 14

$\frac{1-2\mathrm{x}}{6{\mathrm{x}}^3\mathrm{y}}+\frac{3+2\mathrm{y}}{6{\mathrm{x}}^3\mathrm{y}}+\frac{2\mathrm{x}-4}{6{\mathrm{x}}^3\mathrm{y}}=\frac{1-2\mathrm{x}+3+2\mathrm{y}+2\mathrm{x}-4}{6{\mathrm{x}}^3\mathrm{y}}=\frac{2\mathrm{y}}{6{\mathrm{x}}^3\mathrm{y}}=\frac{1}{3{\mathrm{x}}^3}$

$\begin{array}{l}\frac{4}{\mathrm{x}+2}+\frac{2}{\mathrm{x}-2}+\frac{5\mathrm{x}-6}{4-{\mathrm{x}}^2}=\frac{4}{\mathrm{x}+2}+\frac{2}{\mathrm{x}-2}+\frac{6-5\mathrm{x}}{\left(\mathrm{x}-2\right)\left(\mathrm{x}+2\right)}\\ =\frac{4\left(\mathrm{x}-2\right)+2\left(\mathrm{x}+2\right)+6-5\mathrm{x}}{\left(\mathrm{x}-2\right)\left(\mathrm{x}+2\right)}=\frac{4\mathrm{x}-8+2\mathrm{x}+4+6-5\mathrm{x}}{\left(\mathrm{x}-2\right)\left(\mathrm{x}+2\right)}\\ =\frac{\mathrm{x}+2}{\left(\mathrm{x}-2\right)\left(\mathrm{x}+2\right)}=\frac{1}{\mathrm{x}-2}\end{array}$

$\begin{array}{l}\frac{{\mathrm{x}}^2+2}{{\mathrm{x}}^3-1}+\frac{2}{{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+1}+\frac{1}{1-\mathrm{x}}\\ =\frac{{\mathrm{x}}^2+2}{\left(\mathrm{x}-1\right)\left({\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+1\right)}+\frac{2\left(\mathrm{x}-1\right)}{\left(\mathrm{x}-1\right)\left({\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+1\right)}-\frac{{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+1}{\left(\mathrm{x}-1\right)\left({\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+1\right)}\\ =\frac{{\mathrm{x}}^2+2+2\mathrm{x}-2-{\mathrm{x}}^2-\mathrm{x}-1}{\left(\mathrm{x}-1\right)\left({\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+1\right)}=\frac{\mathrm{x}-1}{\left(\mathrm{x}-1\right)\left({\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+1\right)}=\frac{1}{{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+1}\end{array}$

$\begin{array}{l}\frac{1}{{\mathrm{x}}^2+6\mathrm{x}+9}+\frac{1}{6\mathrm{x}-{\mathrm{x}}^2-9}+\frac{\mathrm{x}}{{\mathrm{x}}^2-9}=\frac{1}{{\mathrm{x}}^2+6\mathrm{x}+9}-\frac{1}{{\mathrm{x}}^2-6\mathrm{x}+9}+\frac{\mathrm{x}}{{\mathrm{x}}^2-9}\\ =\frac{1}{{\left(\mathrm{x}+3\right)}^2}-\frac{1}{{\left(\mathrm{x}-3\right)}^2}+\frac{\mathrm{x}}{\left(\mathrm{x}-3\right)\left(\mathrm{x}+3\right)}\\ \mathrm{MTC}:{\left(\mathrm{x}+3\right)}^2{\left(\mathrm{x}-3\right)}^2\\ =\frac{{\left(\mathrm{x}-3\right)}^2-{\left(\mathrm{x}+3\right)}^2+\mathrm{x}\left(\mathrm{x}-3\right)\left(\mathrm{x}+3\right)}{{\left(\mathrm{x}-3\right)}^2{\left(\mathrm{x}+3\right)}^2}\\ =\frac{\left(\mathrm{x}-3+\mathrm{x}+3\right)\left(\mathrm{x}-3-\mathrm{x}-3\right)+\mathrm{x}\left({\mathrm{x}}^2-9\right)}{{\left(\mathrm{x}-3\right)}^2{\left(\mathrm{x}+3\right)}^2}\\ =\frac{2\mathrm{x}\left(-6\right)+{\mathrm{x}}^3-9\mathrm{x}}{{\left(\mathrm{x}-3\right)}^2{\left(\mathrm{x}+3\right)}^2}=\frac{{\mathrm{x}}^3-12\mathrm{x}-9\mathrm{x}}{{\left(\mathrm{x}-3\right)}^2{\left(\mathrm{x}+3\right)}^2}=\frac{{\mathrm{x}}^3-21\mathrm{x}}{{\left(\mathrm{x}-3\right)}^2{\left(\mathrm{x}+3\right)}^2}\end{array}$

$\begin{array}{l}\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{x}-2\mathrm{y}}+\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{x}+2\mathrm{y}}+\frac{4\mathrm{xy}}{4{\mathrm{y}}^2-{\mathrm{x}}^2}\\ =\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{x}-2\mathrm{y}}+\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{x}+2\mathrm{y}}-\frac{4\mathrm{xy}}{\left(\mathrm{x}-2\mathrm{y}\right)\left(\mathrm{x}+2\mathrm{y}\right)}\\ =\frac{\mathrm{x}\left(\mathrm{x}+2\mathrm{y}\right)+\mathrm{x}\left(\mathrm{x}-2\mathrm{y}\right)-4\mathrm{xy}}{\left(\mathrm{x}-2\mathrm{y}\right)\left(\mathrm{x}+2\mathrm{y}\right)}=\frac{{\mathrm{x}}^2+2\mathrm{xy}+{\mathrm{x}}^2-2\mathrm{xy}-4\mathrm{xy}}{\left(\mathrm{x}-2\mathrm{y}\right)\left(\mathrm{x}+2\mathrm{y}\right)}\\ =\frac{2{\mathrm{x}}^2-4\mathrm{xy}}{\left(\mathrm{x}-2\mathrm{y}\right)\left(\mathrm{x}+2\mathrm{y}\right)}=\frac{2\mathrm{x}\left(\mathrm{x}-2\mathrm{y}\right)}{\left(\mathrm{x}-2\mathrm{y}\right)\left(\mathrm{x}+2\mathrm{y}\right)}=\frac{2\mathrm{x}}{\mathrm{x}+2\mathrm{y}}\end{array}$

$\frac{1}{\left(\mathrm{x}-\mathrm{y}\right)\left(\mathrm{y}-\mathrm{z}\right)}+\frac{1}{\left(\mathrm{y}-\mathrm{z}\right)\left(\mathrm{z}-\mathrm{x}\right)}+\frac{1}{\left(\mathrm{z}-\mathrm{x}\right)\left(\mathrm{x}-\mathrm{y}\right)}=\frac{\mathrm{z}-\mathrm{x}+\mathrm{x}-\mathrm{y}+\mathrm{y}-\mathrm{z}}{\left(\mathrm{x}-\mathrm{y}\right)\left(\mathrm{y}-\mathrm{z}\right)\left(\mathrm{z}-\mathrm{x}\right)}=0$

$\begin{array}{l}\frac{1}{\mathrm{x}\left(\mathrm{x}-\mathrm{y}\right)\left(\mathrm{x}-\mathrm{z}\right)}+\frac{1}{\mathrm{y}\left(\mathrm{y}-\mathrm{z}\right)\left(\mathrm{y}-\mathrm{x}\right)}+\frac{1}{\mathrm{z}\left(\mathrm{z}-\mathrm{x}\right)\left(\mathrm{z}-\mathrm{y}\right)}\\ =\frac{1}{\mathrm{x}\left(\mathrm{x}-\mathrm{y}\right)\left(\mathrm{x}-\mathrm{z}\right)}-\frac{1}{\mathrm{y}\left(\mathrm{y}-\mathrm{z}\right)\left(\mathrm{x}-\mathrm{y}\right)}+\frac{1}{\mathrm{z}\left(\mathrm{x}-\mathrm{z}\right)\left(\mathrm{y}-\mathrm{z}\right)}\\ =\frac{\mathrm{yz}\left(\mathrm{y}-\mathrm{z}\right)-\mathrm{xz}\left(\mathrm{x}-\mathrm{z}\right)+\mathrm{xy}\left(\mathrm{x}-\mathrm{y}\right)}{\mathrm{xyz}\left(\mathrm{x}-\mathrm{y}\right)\left(\mathrm{y}-\mathrm{z}\right)\left(\mathrm{x}-\mathrm{z}\right)}\\ =\frac{{\mathrm{y}}^2\mathrm{z}-{\mathrm{yz}}^2-{\mathrm{x}}^2\mathrm{z}+{\mathrm{xz}}^2+{\mathrm{x}}^2\mathrm{y}-{\mathrm{xy}}^2}{\mathrm{xyz}\left(\mathrm{x}-\mathrm{y}\right)\left(\mathrm{y}-\mathrm{z}\right)\left(\mathrm{x}-\mathrm{z}\right)}=\frac{-\mathrm{z}\left({\mathrm{x}}^2-{\mathrm{y}}^2\right)+{\mathrm{z}}^2\left(\mathrm{x}-\mathrm{y}\right)+\mathrm{xy}\left(\mathrm{x}-\mathrm{y}\right)}{\mathrm{xyz}\left(\mathrm{x}-\mathrm{y}\right)\left(\mathrm{y}-\mathrm{z}\right)\left(\mathrm{z}-\mathrm{x}\right)}\\ =\frac{\left(\mathrm{x}-\mathrm{y}\right)\left[-\mathrm{z}\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)+{\mathrm{z}}^2+\mathrm{xy}\right]}{\mathrm{xyz}\left(\mathrm{x}-\mathrm{y}\right)\left(\mathrm{y}-\mathrm{z}\right)\left(\mathrm{x}-\mathrm{z}\right)}=\frac{\left(\mathrm{x}-\mathrm{y}\right)\left(-\mathrm{xz}-\mathrm{yz}+{\mathrm{z}}^2+\mathrm{xy}\right)}{\mathrm{xyz}\left(\mathrm{x}-\mathrm{y}\right)\left(\mathrm{y}-\mathrm{z}\right)\left(\mathrm{x}-\mathrm{z}\right)}\\ =\frac{\left(\mathrm{x}-\mathrm{y}\right)\left[-\mathrm{z}\left(\mathrm{x}-\mathrm{z}\right)+\mathrm{y}\left(\mathrm{x}-\mathrm{z}\right)\right]}{\mathrm{xyz}\left(\mathrm{x}-\mathrm{y}\right)\left(\mathrm{y}-\mathrm{z}\right)\left(\mathrm{x}-\mathrm{z}\right)}=\frac{\left(\mathrm{x}-\mathrm{y}\right)\left(\mathrm{y}-\mathrm{z}\right)\left(\mathrm{x}-\mathrm{z}\right)}{\mathrm{xyz}\left(\mathrm{x}-\mathrm{y}\right)\left(\mathrm{y}-\mathrm{z}\right)\left(\mathrm{x}-\mathrm{z}\right)}=\frac{1}{\mathrm{xyz}}\end{array}$

$\mathrm{A}=\frac{1}{\mathrm{x}}+\frac{1}{\mathrm{x}+5}+\frac{\mathrm{x}-5}{\mathrm{x}\left(\mathrm{x}+5\right)}=\frac{\mathrm{x}+5+\mathrm{x}+\mathrm{x}-5}{\mathrm{x}\left(\mathrm{x}+5\right)}=\frac{3\mathrm{x}}{\mathrm{x}\left(\mathrm{x}+5\right)}=\frac{3}{\mathrm{x}+5}=\mathrm{B}\left(\mathrm{dfcm}\right)$

$\frac{\mathrm{xy}}{{\mathrm{x}}^2-{\mathrm{y}}^2}-\frac{{\mathrm{x}}^2}{{\mathrm{y}}^2-{\mathrm{x}}^2}=\frac{\mathrm{xy}}{{\mathrm{x}}^2-{\mathrm{y}}^2}+\frac{{\mathrm{x}}^2}{{\mathrm{x}}^2-{\mathrm{y}}^2}=\frac{\mathrm{xy}+{\mathrm{x}}^2}{{\mathrm{x}}^2-{\mathrm{y}}^2}=\frac{\mathrm{x}\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)}{\left(\mathrm{x}-\mathrm{y}\right)\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)}=\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{x}-\mathrm{y}}$

$\begin{array}{l}\frac{9\mathrm{x}+5}{2\left(\mathrm{x}-1\right){\left(\mathrm{x}+3\right)}^2}-\frac{5\mathrm{x}-7}{2\left(\mathrm{x}-1\right){\left(\mathrm{x}+3\right)}^2}=\frac{9\mathrm{x}+5-5\mathrm{x}+7}{2\left(\mathrm{x}-1\right){\left(\mathrm{x}+3\right)}^2}\\ =\frac{4\mathrm{x}+12}{2\left(\mathrm{x}-1\right){\left(\mathrm{x}+3\right)}^2}=\frac{4\left(\mathrm{x}+3\right)}{2\left(\mathrm{x}-1\right){\left(\mathrm{x}+3\right)}^2}=\frac{2}{\left(\mathrm{x}-1\right)\left(\mathrm{x}+3\right)}\end{array}$

$\begin{array}{l}\frac{\mathrm{x}}{5\mathrm{x}+5}-\frac{\mathrm{x}}{10\mathrm{x}-10}=\frac{\mathrm{x}}{5\left(\mathrm{x}+1\right)}-\frac{\mathrm{x}}{10\left(\mathrm{x}-1\right)}\\ =\frac{2\mathrm{x}\left(\mathrm{x}-1\right)-\left(\mathrm{x}+1\right)\mathrm{x}}{10\left(\mathrm{x}-1\right)\left(\mathrm{x}+1\right)}=\frac{2{\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}-{\mathrm{x}}^2-\mathrm{x}}{10\left(\mathrm{x}-1\right)\left(\mathrm{x}+1\right)}=\frac{{\mathrm{x}}^2-3\mathrm{x}}{10\left(\mathrm{x}-1\right)\left(\mathrm{x}+1\right)}\end{array}$

$\begin{array}{l}\frac{{\mathrm{x}}^2}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)\left(1-\mathrm{y}\right)}-\frac{{\mathrm{y}}^2}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)\left(1+\mathrm{x}\right)}-\frac{{\mathrm{x}}^2{\mathrm{y}}^2}{\left(1+\mathrm{x}\right)\left(1-\mathrm{y}\right)}\\ =\frac{{\mathrm{x}}^2\left(1+\mathrm{x}\right)-{\mathrm{y}}^2\left(1-\mathrm{y}\right)-{\mathrm{x}}^2{\mathrm{y}}^2\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)\left(1+\mathrm{x}\right)\left(1-\mathrm{y}\right)}=\frac{{\mathrm{x}}^2+{\mathrm{x}}^3-{\mathrm{y}}^2+{\mathrm{y}}^3-{\mathrm{x}}^3{\mathrm{y}}^2-{\mathrm{x}}^2{\mathrm{y}}^3}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)\left(1+\mathrm{x}\right)\left(1-\mathrm{y}\right)}\\ =\frac{\left({\mathrm{x}}^2-{\mathrm{y}}^2\right)+\left({\mathrm{x}}^3+{\mathrm{y}}^3\right)-\left({\mathrm{x}}^3{\mathrm{y}}^2+{\mathrm{x}}^2{\mathrm{y}}^3\right)}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)\left(1+\mathrm{x}\right)\left(1-\mathrm{y}\right)}\\ =\frac{\left(\mathrm{x}-\mathrm{y}\right)\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)+\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)\left({\mathrm{x}}^2-\mathrm{xy}+{\mathrm{y}}^2\right)-{\mathrm{x}}^2{\mathrm{y}}^2\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)\left(1+\mathrm{x}\right)\left(1-\mathrm{y}\right)}\\ =\frac{\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)\left(\mathrm{x}-\mathrm{y}+{\mathrm{x}}^2-\mathrm{xy}+{\mathrm{y}}^2-{\mathrm{x}}^2{\mathrm{y}}^2\right)}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)\left(1+\mathrm{x}\right)\left(1-\mathrm{y}\right)}=\frac{\mathrm{x}-\mathrm{y}+{\mathrm{x}}^2-\mathrm{xy}+{\mathrm{y}}^2-{\mathrm{x}}^2{\mathrm{y}}^2}{\left(1+\mathrm{x}\right)\left(1+\mathrm{y}\right)}\\ =\frac{\left(\mathrm{x}+{\mathrm{x}}^2\right)-\left(\mathrm{y}+\mathrm{xy}\right)+\left({\mathrm{y}}^2-{\mathrm{x}}^2{\mathrm{y}}^2\right)}{\left(1+\mathrm{x}\right)\left(1+\mathrm{y}\right)}=\frac{\mathrm{x}\left(1+\mathrm{x}\right)-\mathrm{y}\left(1+\mathrm{x}\right)+{\mathrm{y}}^2\left(1-{\mathrm{x}}^2\right)}{\left(1+\mathrm{x}\right)\left(1+\mathrm{y}\right)}\\ =\frac{\left(1+\mathrm{x}\right)\left(\mathrm{x}-\mathrm{y}+{\mathrm{y}}^2\left(1-\mathrm{x}\right)\right)}{\left(1+\mathrm{x}\right)\left(1+\mathrm{y}\right)}=\frac{\mathrm{x}-\mathrm{y}+{\mathrm{y}}^2-{\mathrm{xy}}^2}{1+\mathrm{y}}\end{array}$

$\begin{array}{l}\frac{1}{\mathrm{x}\left(\mathrm{x}+1\right)}+\frac{1}{\left(\mathrm{x}+1\right)\left(\mathrm{x}+2\right)}+\mathrm{.....}+\frac{1}{\left(\mathrm{x}+4\right)\left(\mathrm{x}+5\right)}-\frac{1}{\mathrm{x}+5}\\ =\frac{1}{\mathrm{x}}-\frac{1}{\mathrm{x}+1}+\mathrm{......}+\frac{1}{\mathrm{x}+4}-\frac{1}{\mathrm{x}+5}+\frac{1}{\mathrm{x}+5}=\frac{1}{\mathrm{x}}\end{array}$

$\mathrm{\Delta ABD}$ đều do AB = AC và $\widehat{\mathrm{A}}={60}^0\Rightarrow \mathrm{\Delta AEH}$ đều $\Rightarrow \mathrm{EH}=\mathrm{EB}$(cùng bằng EA)

Chứng minh tương tự: $\mathrm{BF}=\mathrm{FC},\mathrm{CG}=\mathrm{GD}=\mathrm{FG},\mathrm{DH}=\mathrm{HA}\left(1\right)$

Lại có $\mathrm{AB}=\mathrm{BC}\Rightarrow \frac{1}{2}\mathrm{AB}=\frac{1}{2}\mathrm{BC}\Rightarrow \mathrm{BE}=\mathrm{BF},$tương tự: $\mathrm{DG}=\mathrm{DH}\left(2\right)$

Từ (1) và (2) $\Rightarrow \mathrm{BE}=\mathrm{EH}=\mathrm{HD}=\mathrm{DG}=\mathrm{GF}=\mathrm{FB}$

$\Rightarrow \mathrm{EBFGDH}$ là lục giác đều.