Bài tập Tập xác định của hàm số mũ và hàm số lôgarit lớp 11 (có lời giải)

Đáp án đúng là: D

Hàm số y = log₂(10 – 2x) xác định Û 10 – 2x > 0 Û x < 5.

Vậy D = (-∞; 5).

Đáp án đúng là: A

Hàm số y = log (- x² - 2x) xác định khi và chỉ khi   $-x^2-2x>0\iff x^2+2x<0\iff -2<x<0$

Mà x nguyên nên x = -1.

Vậy chỉ có 1 giá trị nguyên của x để hàm số y = log (- x² - 2x) xác định.

Đáp án đúng là: D

Hàm số xác định với mọi  $x\in ℝ$ khi và chỉ khi  $x^2-2mx+4>0,\forall x\in ℝ$.

ÞD’= m² – 4 < 0 Û -2 < m < 2.

Vậy m Î (-2; 2).

Đáp án đúng là: A

Hàm số  $y=lo{g}_2\left(\sqrt{x}-2\right)$ xác định khi  $\left\{\begin{array}{l}\sqrt{x}-1>0\\ x\ge 0\end{array}\right.\Rightarrow x>1$.

 $\Rightarrow D=\left(1;+\infty \right)$.

Đáp án đúng là: C

Điều kiện xác định của hàm số  $y={\log }_2{\left(x+1\right)}^2-\ln \left(3-x\right)+1$ là:

 $\left\{\begin{array}{l}{\left(x+1\right)}^2>0\\ 3-x>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x\ne -1\\ x<3\end{array}\right.\Rightarrow D=\left(-\infty ;3\right)\backslash \left\{-1\right\}$.

Đáp án đúng là: C

Để hàm số y = log[(6 - x)(x + 2)] xác định thì (6 - x)(x + 2) > 0.

Suy ra, - 2 < x < 6.

Mà x nguyên nên x Î {-1; 0; 1; 2; 3; 4; 5}.

Tổng tất cả các giá trị nguyên của x là:

-1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Điều kiện để biểu thức log₂(4x - 2) xác định là:  $4x-2>0\iff x>\frac{1}{2}$

 $\Rightarrow x\in \left(\frac{1}{2};+\infty \right)$.

Đáp án đúng là: D

Hàm số  $y=\log \frac{x-3}{x+1}$ xác định khi và chỉ khi  $\frac{x-3}{x+1}>0\iff \left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}x-3>0\\ x+1>0\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l}x-3<0\\ x+1<0\end{array}\right.\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}x>3\\ x>-1\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l}x<3\\ x<-1\end{array}\right.\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x>3\\ x<-1\end{array}\right.$

 $\Rightarrow x\in \left(-\infty ;-1\right)\cup \left(3;+\infty \right)$.

Đáp án đúng là: B

Hàm số  $y={\log }_5\left(x^3-x^2-2x\right)$ xác định khi:

 $x^3-x^2-2x>0$

 $\iff x\left(x+1\right)\left(x-2\right)>0$

 $\iff x\in \left(-1;0\right)\cup \left(2;+\infty \right)$

Vậy tập xác định của hàm số  $D=\left(-1;0\right)\cup \left(2;+\infty \right)$.

Đáp án đúng là: B

Hàm số  $y={\log }_2\left(4^x-2^x+m\right)$ có tập xác định là R khi:

  $4^x-2^x+m>0,\forall x\in ℝ$

 $\iff m>2^x-4^x\left(\forall x\in ℝ\right)$

Đặt  $t=2^x>0\iff m>t-t^2\left(\forall t>0\right)\iff m>\underset{t>0}{\text{max}}f\left(t\right)\iff m>\frac{1}{4}$.

Suy ra, giá trị nguyên nhỏ nhất của m là m = 1.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

Hàm số mũ đã cho có dạng y = a^u(x) với u(x) = x + 2 là một đa thức luôn xác định với "xÎℝ. Do đó, tập xác định của hàm số là D = ℝ.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Điều kiện xác định: 3x > 0 $\iff$ x > 0.

Vậy tập xác định của hàm số y = log₂(3x) là D = (0; +∞).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Điều kiện xác định: x² – 3x + 2 > 0 $\Rightarrow$ \(\left[ \begin{array}{l}x < 1\\x > 2\end{array} \right.\).

Vậy tập xác định của hàm số y = ln(x² – 3x + 2) là D = (−∞; 1) $\cup$ (2; +∞).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

* Xét y = log₂(x² – 1):

 Điều kiện xác định: x² – 1 > 0 $\Rightarrow$\(\left[ \begin{array}{l}x < - 1\\x > 1\end{array} \right.\)

Vậy tập xác định của hàm số y = log₂(x² – 1) là A = (−∞; −1)$\cup$ (1; +∞). (1)

* Xét \(y = \sqrt {\frac{{x - 1}}{{x + 3}}} \):

Điều kiện xác định: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{x - 1}}{{x + 3}} \ge 0\\x + 3 \ne 0\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge 1\\x < - 3\end{array} \right.\)

Vậy tập xác định của hàm số\(y = \sqrt {\frac{{x - 1}}{{x + 3}}} \) là B = (−∞; −3)$\cup$ [1; +∞). (2)

Từ (1) và (2) ta có: A$\cap$ B = (−∞; −3) $\cup$ (1; +∞) hay A $\cap$ B = ℝ \ [−3; 1].

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Tập xác định là ℝ thì x² – 2mx + 4 > 0 với "x $\in$ ℝ.

Xét x² – 2mx + 4, ta có a > 0 ( a = 1), $∆\text{'}$= m² – 4.

Để hàm số xác định trên ℝ  thì m² – 4 < 0 $\Rightarrow$ −2 < m < 2.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.          b) Sai.                  c) Đúng.               d) Sai

a) Đúng. Cơ số của hàm số đã cho là 0,5.

b) Sai. Điều kiện xác định của hàm số đã cho phải là 2x – 4 > 0 (không có dấu bằng).

c) Đúng. Điều kiện: 2x – 4 > 0 $\iff$ x > 2

Vậy tập xác định của hàm số y = log_0,5(2x − 4) là D = (2; +∞).

d) Sai. Do 3 > 2 nên 3 thuộc tập xác định.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.          b) Sai.                  c) Đúng.               d) Đúng.

a) Đúng. Do hàm số có dạng a^u(x) với cơ số a = 5 > 0, a ≠ 1.

b) Sai. Điều kiện xác định: x² – 3x $\ge$ 0 $\Rightarrow$\(\left[ \begin{array}{l}x \ge 3\\x \le 0\end{array} \right.\).

c) Đúng. Do biểu thức ở mũ là căn thức nên điều kiện xác định là biểu thức trong căn không âm hay x² – 3x $\ge$ 0.

d) Đúng. Dựa vào lời giải ý b, ta có tập xác định của hàm số \(y = {5^{\sqrt {{x^2} - 3x} }}\) là

D = (−∞; 0] $\cup$ [3; +∞).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai               b) Đúng.              c) Đúng.               d) Sai.

a) Sai. Thiếu điều kiện biểu thức ở mẫu trong \(\frac{1}{{{{\log }_3}(x - 4)}}\)là log₃(x – 4) ≠ 0.

b) Đúng. log₃(x – 4) ≠ 0 $\iff$ x – 4 ≠ 3⁰ $\iff$ x – 4 ≠ 1$\iff$ x ≠ 5.

Vậy điều kiện để biểu thức log₃(x – 4) ≠ 0 là x ≠ 5.

c) Đúng.

Điều kiện xác định: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 2x - 3 > 0\\x - 4 > 0\\{\log _3}(x - 4) \ne 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x < - 1\\x > 3\end{array} \right.\\x > 4\\x \ne 5\end{array} \right.\).

Vậy tập xác định của hàm số là D = (4; +∞) \ {5}.

d) Sai. Dựa vào tập xác định tại ý c là D = (4; +∞) \ {5}, ta thấy có 5 số nguyên dương không thuộc tập xác định của hàm số này, lần lượt là 1; 2; 3; 4; 5

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.          b) Đúng               c) Sai.                   d) Đúng.

a) Đúng. Hàm số y = 2^x có tập giá trị là (0; +$\infty$)

b) Đúng. Hàm số y =\({\log _{\sqrt 3 }}x\) có tập giá trị là ℝ.

c) Sai. Có ba hàm số có tập giá trị là ℝ là y =\({\log _{\frac{1}{2}}}x\); y =\({\log _{\sqrt 3 }}x\); y = log_0,5x

d) Đúng. Có hai hàm số có tập giá trị là (0; +$\infty$) là y = 2^x; y = (0,5)^x.

Hướng dẫn giải$\iff$

Đáp án: a) Đúng.          b) Đúng.              c) Sai.                   d) Đúng.

a) Đúng.

Xét x² – 2x + m, ta có a > 0 ( a = 1), $∆$' = 1 – m.

Để hàm số xác định trên ℝ thì 1 – m < 0 $\iff$ m > 1.

b) Đúng. Hàm số xác định \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 3 \ne 0\\4 - x > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 3\\x < 4\end{array} \right.\).

Do đó, tập xác định của hàm số đã cho là: D = (-$\infty$; 4)\{3}.

c) Sai. Giả sử m < 0.

Xét điều kiện xác định: mx – m + 1 > 0 $\iff$ mx > m – 1 \(x < \frac{{m - 1}}{m}\)

Khi đó, tập xác định có dạng D = (−∞; \(\frac{{m - 1}}{m}\)), trái ngược với đề bài nên khẳng định c là sai.

d) Đúng. Hàm số có tập xác định là ℝ khi và chỉ khi x² + mx + 1 > 0, "x $\in$ℝ $\iff$$∆$ < 0 $\iff$ m² – 4 < 0 $\iff$-2 < m < 2.

Vậy với -2 < m < 2 thì hàm số \(y = {e^{\frac{1}{{\sqrt {{x^2} + mx + 1} }}}}\) có tập xác định là ℝ.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: -1.

Hàm số đã cho xác định khi \(\left\{ \begin{array}{l}4 - {x^2} \ge 0\\2{x^2} - 5x + 2 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2 \le x \le 2\\\left[ \begin{array}{l}x > 2\\x < \frac{1}{2}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow - 2 \le x < \frac{1}{2}\).

Vậy D =\(\left[ { - 2;\frac{1}{2}} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 2\\b = \frac{1}{2}\end{array} \right. \Rightarrow a + 2b = - 2 + 2 \cdot \frac{1}{2} = - 1\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 2.

Điều kiện xác định: 6 – 2x > 0 $\iff$ 6 > 2x $\iff$ x < 3.

Vậy tập xác định của hàm số y = log₅(6 – 2x) là D = (−∞; 3).

Các số nguyên dương nhỏ hơn 4 thuộc tập xác định của hàm số đã cho là 1; 2.

Vậy có 2 số nguyên dương nhỏ hơn 4 thoả mãn yêu cầu đề bài.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 0.

* Giải phương trình x² – 4x + 3 = 0 $\Rightarrow$\(\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 3\end{array} \right.\).

* Xét hàm số y = log₃|x – 2|:

Điều kiện xác định: |x – 2| > 0 $\Rightarrow$ \(\left[ \begin{array}{l}x - 2 > 0\\x - 2 < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 2\\x < 2\end{array} \right.\)

Vậy tập xác định của hàm số y = log₃|x – 2| là D = (−∞; 2) $\cup$ (2; +∞).

Ta thấy x = 1 và x = 3 đều thuộc tập xác định D của hàm số y = log₃|x – 2|.

Vậy không tồn tại nghiệm của phương trình x² – 4x + 3 = 0 mà không thuộc tập xác định của hàm số y = log₃|x – 2|.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 2026.

Điều kiện xác định: x – 2026 > 0 $\iff$ x > 2026.

Vậy tập xác định của hàm số D = (2026; +$\infty$). Suy ra, a = 2026.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 2.

Hàm số xác định trên khoảng (2; 3) khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}2m + 1 - x > 0\\x - m > 0\end{array} \right.,\forall x \in \left( {2;3} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < 2m + 1\\x > m\end{array} \right.,\forall x \in \left( {2;3} \right)\).

Điều kiện để tồn tại khoảng nghiệm là m < 2m + 1 $\iff$ m > −1.

Khi đó để hàm số xác định trên khoảng (2; 3) thì \(\left\{ \begin{array}{l}m \le 2\\2m + 1 \ge 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le 2\\m \ge 1\end{array} \right. \Leftrightarrow 1 \le m \le 2\).

Mà m $\in$ℤ nên m $\in$ {1; 2}. Vậy có 2 giá trị nguyên m thỏa mãn yêu cầu đề bài.