Bài tập Bài toán thực tiễn liên quan đến hàm số mũ và hàm số lôgarit lớp 11 (có lời giải)

Đáp án đúng là: C

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Giả sử ông An đã gửi tiết kiệm trong n năm.

Số tiền ông đã nhận được là 880 triệu.

Theo công thức lãi suất kép, ta có:

880.10⁶ = 500.10⁶ (1 + 0,1)ⁿ $\iff$ n = \({\log _{1,1}}\frac{{880}}{{500}}\) $\iff$ n $\approx$ 5,93.

Vậy ông A đã gửi tiết kiệm trong 6 năm.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Lấy năm 2023 làm mốc, khi đó A = 1282000. Giả sử sau n năm thì dân số thành phố Cần Thơ đạt là 1,5 triệu người tức là 1500000 = 1282000×e^0,0103n $\Rightarrow$ 0,0103n = \(\ln \frac{{750}}{{641}}\) $\Rightarrow$ n $\approx$ 15,25.

Có nghĩa là theo tốc độ tăng dân số này thì sau 16 năm dân số thành phố đạt 1500000 người vào năm 2039.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Người đó có tổng số tiền cả vốn và lãi là 30 triệu đồng sau \(y = {\log _{1,063}}\left( {\frac{{30}}{{20}}} \right)\) $\approx$ 7.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ở độ cao 1000m thì áp suất của không khí là 672,71 mmHg nên ta có:

672,71 = 760×e¹⁰⁰⁰ⁱ $\iff$ e¹⁰⁰⁰ⁱ = \(\frac{{672,71}}{{760}} \Leftrightarrow i = \frac{{\ln \frac{{672,71}}{{760}}}}{{1000}}\).

Áp suất không khí ở độ cao 3343 là: P = P₀.e³³⁴³ⁱ = 760.\({e^{3343 \cdot \frac{{\ln \frac{{672,71}}{{760}}}}{{1000}}}}\) $\approx$ 505,45 mmHg.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Áp dụng công thức: \(m\left( t \right) = {m_0}{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{t}{T}}}\)

Với m₀ = 250, T = 24 giờ = 1 ngày đêm, t = 3,5 ngày đêm.

Ta có: \(m\left( {3,5} \right) = 250 \cdot {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{{3,5}}{1}}} \approx 22,097\) gam.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.          b) Đúng.              c) Đúng.               d) Sai.

a) Đúng. Ta có: pH = -log[H⁺]. Đây là hàm số có dạng y = -logx, với biến số là [H⁺]. Do đó, công thức trên biểu diễn một hàm số lôgarit.

b) Đúng. Thay [H⁺] = 10^-6 vào công thức ta được: pH = -log(10^-6) = 6.

c) Đúng. Sau khi nồng độ giảm 100 lần: [H⁺]_mới = \(\frac{{\left[ {{H^ + }} \right]}}{{100}}\).

Thay vào công thức, ta được:

 \(pH' = - \log \left( {\frac{{\left[ {{H^ + }} \right]}}{{100}}} \right) = - \left( {\log \left[ {{H^ + }} \right] - \log 100} \right) = - \log \left[ {{H^ + }} \right] + 2 = pH + 2\).

Vậy pH tăng thêm 2 đơn vị.

d) Sai. Ta có: [H⁺]_mới = 2[H⁺].

Thay vào công thức, ta được:

pH' = -log(2[H⁺]) = -(log2 + log[H⁺]) = pH – log2 $\approx$ pH – 0,301

Vậy pH giảm khoảng 0,301 đơn vị.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai.              b) Đúng.              c) Đúng.               d) Sai.

a) Sai. Theo công thức a = 15500(15 – log p)

Suy ra hàm số nghịch biến trên (0; +$\infty$).

Do đó, càng lên cao thì áp suất càng giảm.

b) Đúng. Với áp suất không khí là 2 Pa thì độ cao so với mực nước biển là:

a = 1550(15 – log p) = 15500(15 – log2) $\approx$ 227834,04 m.

c) Đúng. Ta có: a = 15500(15 – log p) $\iff$ 8850 = 15500×(5 – log p)

$\iff$ 5 – log p = \(\frac{{177}}{{310}}\) $\iff$ p = \({10^{\frac{{1373}}{{310}}}} \approx 26855,4\).

Vậy áp suất không khí ở đỉnh núi có độ cao 8850 m so với mực nước biển khoảng 26855,4m.

d) Sai. a = 15500(15 – log p)

$\Rightarrow$ 15 – log p = \(\frac{a}{{15500}} \Rightarrow \log p = 15 - \frac{a}{{15500}} \Rightarrow p = {10^{15 - \frac{a}{{15500}}}}\)

Với a = 10000 $\Rightarrow$ p₁ $\approx$ 2,26×10¹⁴.

Với a = 1000 $\Rightarrow$ p₂ $\approx$ 8,62×10¹⁴.

Suy ra \(\frac{{{p_1}}}{{{p_2}}} = \frac{{113}}{{431}} \approx 0,26\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.          b) Đúng.              c) Đúng.               d) Sai.

a) Đúng. Áp dụng công thức: M(6) = 75 – 20ln(6 + 1) $\approx$ 36,08%.

b) Đúng. Hàm số y = t + 1 đồng biến trên [0; 12]

Hàm số y = lnx đồng biến trên (0; +$\infty$).

Vì t + 1 > 0, "t $\in$ [0; 12] nên hàm số y = ln(t + 1) đồng biến trên [0; 12].

Suy ra y = -20ln(t + 1) nên hàm số nghịch biến trên [0; 12].

c) Đúng. M = 75 – 20ln(t + 1) $\iff$ ln(t + 1) = \(\frac{{75 - M}}{{20}}\)$\iff$ \(t + 1 = {e^{\frac{{75 - M}}{{20}}}} \Leftrightarrow t = {e^{\frac{{75 - M}}{{20}}}} - 1\).

d) Sai. Ta có: M(10) = 75 – 20ln11 $\approx$ 27,04%

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai.              b) Sai.                  c) Đúng.               d) Đúng.

a) Sai. Điều kiện: 1,0245 – d > 0 $\iff$ d < 1,0245.

b) Sai. Theo công thức T = 7,9ln(1,0245 – 1,02) + 61,84 $\approx$ 19,15°C.

c) Đúng. Áp dụng công thức: T = 7,9ln(1,0245 – d) + 61,84

$\iff$ ln(1,0245 – d) = \(\frac{{T - 61,84}}{{7,9}}\) $\iff$ d = 1,0245 – \({e^{\frac{{T - 61,84}}{{7,9}}}}\).

d) Đúng. T = 7,9ln(1,0245 – d) + 61,84

$\iff$ ln(1,0245 – d) = \(\frac{{T - 61,84}}{{7,9}}\) $\iff$ d = 1,0245 – \({e^{\frac{{T - 61,84}}{{7,9}}}}\).

T = 30°C $\Rightarrow$ d₁ $\approx$ 1,007 (g/cm³).

T = 60°C $\Rightarrow$ d₂ $\approx$ 0,232 (g/cm³).

$\Rightarrow$ d₁ – d₂ = 0,775 (g/cm³).

Hướng dẫn giải

Đáp án: a) Sai.              b) Đúng.              c) Đúng.               d) Đúng.

a) Sai. Ta có: \(A = P \cdot {\left( {1 - \frac{r}{{100}}} \right)^n} = 100 \cdot {\left( {1 - \frac{6}{{100}}} \right)^1}\)= 94 triệu đồng.

Vậy sức mua của 100 triệu đồng sau 1 năm với tỉ lệ lạm phát là 6% một năm chỉ còn lại 94 triệu đồng.

b) Đúng. Ta có: \(A = P \cdot {\left( {1 - \frac{r}{{100}}} \right)^n} = 100 \cdot {\left( {1 - \frac{8}{{100}}} \right)^2}\)= 84,64 triệu đồng.

Vậy sức mua của 100 triệu đồng chỉ sau 2 năm với tỉ lệ lạm phát là 8% một năm chỉ còn lại khoảng 84,64 triệu đồng.

c) Đúng. Thay P = 100 triệu đồng, A = 90 triệu đồng, n = 2 vào phương trình ta có:

\(90 = 100 \cdot {\left( {1 - \frac{r}{{100}}} \right)^2} \Rightarrow r \approx 5,13\% \).

Vậy tỉ lệ lạm phát trung bình của hai năm đó khoảng 5,13%.

d) Đúng. Thay P = 1 và A = \(\frac{1}{2}\) vào phương trình

\(\frac{1}{2} = {\left( {1 - \frac{r}{{100}}} \right)^n} \Leftrightarrow \ln \left( {\frac{1}{2}} \right) = n\ln \left( {1 - \frac{r}{{100}}} \right) \Leftrightarrow n = \frac{{\ln \left( {\frac{1}{2}} \right)}}{{\ln \left( {1 - \frac{r}{{100}}} \right)}} = n = \frac{{\ln \left( {\frac{1}{2}} \right)}}{{\ln \left( {1 - \frac{5}{{100}}} \right)}} \approx 13,51\)

Vậy sua khoảng 14 năm thì sức mua của số tiền ban đầu sẽ chỉ còn lại một nửa nếu tỉ lệ lạm phát là 5% một sau.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 499.

Theo đầu bài ta có:

\[\left\{ \begin{array}{l}P\left( 0 \right) = 100\\P\left( 1 \right) = 175\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{C}{{0,25 + {e^0}}} = 100\\\frac{C}{{0,25 + {e^{ - k}}}} = 175\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}C = 125\\{e^{ - k}} = \frac{C}{{175}} - 0,25\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}C = 125\\{e^{ - k}} = \frac{{13}}{{28}}\end{array} \right.\]

Do đó P(t) = \(\frac{{125}}{{0,25 + {{\left( {\frac{{13}}{{28}}} \right)}^t}}}\)

Vậy sau 24 giờ, số lượng tế bào nấm men trong quần thể là:

P(24) = \(\frac{{125}}{{0,25 + {{\left( {\frac{{13}}{{28}}} \right)}^{24}}}} \approx 499,99998\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 8.

Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}{v_A} = c{\left( {\frac{{\pi {a^2}}}{{2\pi a}}} \right)^{\frac{2}{3}}} \cdot {0,01^{\frac{1}{2}}}\\{v_B} = c{\left( {\frac{{\pi {b^2}}}{{2\pi b}}} \right)^{\frac{2}{3}}} \cdot {0,04^{\frac{1}{2}}}\end{array} \right. \Rightarrow \frac{{{v_A}}}{{{v_B}}} = \frac{{{{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^{\frac{2}{3}}}}}{{{{\left( {\frac{b}{2}} \right)}^{\frac{2}{3}}}}} \cdot \frac{{{{(0,01)}^{\frac{1}{2}}}}}{{{{(0,04)}^{\frac{1}{2}}}}} = {\left( {\frac{a}{b}} \right)^{\frac{2}{3}}} \cdot {\left( {\frac{1}{4}} \right)^{\frac{1}{2}}} = 2\]

$\Rightarrow$\({\left( {\frac{a}{b}} \right)^{\frac{2}{3}}} = 4\)

$\iff$\(\frac{a}{b} = {2^3} = 8\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 679.

Theo giả thiết, năm 2018 ứng với x = 0 nên C = 4080

Năm 2022 ứng với x = 4, ta có: 4080.e^k.4 = 22440 $\iff$ e^k.4 = 5,5

$\iff$ \(k = \frac{1}{4}\ln 5,5\) $\approx$ 0,4262

Số lượt truy cập Web vào năm 2030 là: 4080.e^0,4262.12 $\approx$ 679000 lượt.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 21.

Số lượng bèo ban đầu chiếm 0,04 diện tích mặt hồ.

Sau 1 tuần, số lượng bèo là 0,04.3 diện tích mặt hồ.

Sau 2 tuần, số lượng bèo là 0,04.3² diện tích mặt hồ.

Sau n tuần, số lượng bèo là 0,04.3ⁿ diện tích mặt hồ.

Để bèo phủ kín mặt hồ thì 0,04.3ⁿ = 1 $\Rightarrow$ 3ⁿ = 25 $\Rightarrow$ n = log₃ 25 (tuần).

Số ngày tương ứng là: 7n = 7log₃ 25 $\approx$ 20,51 (ngày).

Vậy sau ít nhất 21 ngày, bèo hoa dâu sẽ phủ kín mặt hồ

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 4,1.

Ta có: 80.(0,8)^t = 32 $\iff$ (0,8)^t = 0,4 $\iff$ t = log_0,8(0,4). Do đó, t $\approx$ 4,1 (giờ). Vậy sau khoảng 4,1 giờ thì nhiệt độ của khay nước là 32°F.