Bài tập Sự biến thiên và đồ thị của hàm số mũ, hàm số lôgarit lớp 11 (có lời giải)

Đáp án đúng là: A

Vì hàm số lôgarit y = log_ax có tập xác định là (0; +∞) nên đồ thị hàm số luôn nằm bên phải trục tung.

Đáp án đúng là: A

+ Mệnh đề B sai vì hàm số y = a^x với 0 < a < 1 nghịch biến trên khoảng (-∞; +∞).

+ Mệnh đề C sai vì hàm số y = a^x với a > 1 đồng biến trên khoảng (-∞; +∞).

+ Mệnh đề D sai vì đồ thị hàm số y = a^x với a < 0 và a ≠ 1 luôn đi qua điểm M(a; a^a) hoặc M(0; 1) chứ không phải M(a; 1).

Do đó, chỉ có mệnh đề A là đúng.

Đáp án đúng là: A

Dựa vào lý thuyết Đồ thị hàm số y = f(x) đối xứng qua trục hoành ta được đồ thị hàm số y = -f(x). Do đó đồ thị hàm số $y={\log }_{2}x$  đối xứng qua trục hoành ta được đồ thị hàm số $y=-{\log }_{2}x.$

Thực hiện phép biến đổi: $y=-{\log }_{2}x={\log }_{\frac{1}{2}}x$.

Đáp án đúng là: C

Áp dụng lý thuyết:

“Hàm số y = log_ax đồng biến khi a > 1, nghịch biến khi 0 < a < 1”.

Trong các hàm số đã cho chỉ có hàm số  đồng biến vì cơ số $a=\frac{e}{2}>1$.

Đáp án đúng là: A

Hàm số y = (2a - 5)^x nghịch biến trên ℝ khi 0 < 2a - 5 < 1 ⇔ $\frac{5}{2}<a<3$.

Đáp án đúng là: B

Áp dụng lý thuyết: “Hàm số y = a^x đồng biến khi a > 1, nghịch biến khi 0 < a < 1.”

Trong các hàm số đã cho chỉ có hàm số $y={\left(\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{3}\right)}^x$ đồng biến vì cơ số $a=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{3}>1$ .

Đáp án đúng là: D

Dựa vào hình dáng đồ thị từ trái sang phải ta thấy: x tăng nhưng y giảm. Suy ra hàm số tương ứng của đồ thị là hàm nghịch biến. Loại A, C.

Đồ thị hàm số đi qua điểm có tọa độ (-1; 3) nên chỉ có D thỏa mãn.

Đáp án đúng là: C

Ta thấy hàm y = c^x có đồ thị từ trái sang phải theo hướng đi lên nên là hàm đồng biến suy ra c > 1.

Hàm số y = a^x và y = b^x là những hàm số nghịch biến y = a^x và y = b^x là những hàm nghịch biến suy ra a, b < 1.  Từ đó loại được các đáp án A, D.

Từ đồ thị hàm số ta thấy tại cùng một giá trị x₀ < 0 thì đồ thị hàm số y = b^x nằm trên đồ thị hàm số y = a^x  hay $\left\{\begin{array}{l}x<0\\ b^x>a^x\end{array}\right.\Rightarrow b<a$.

Vây c > a > b.

Đáp án đúng là: B

Ta thấy hàm y = log_ax có đồ thị từ trái sang phải theo hướng đi xuống nên là hàm nghịch biến suy ra 0 < a < 1.

Còn hàm số y = log_bx và y = log_cx là những hàm đồng biến suy ra b, c > 1. Từ đó loại được các đáp án C, D.

Từ đồ thị hàm số ta thấy tại cùng một giá trị x > 1 thì đồ thị hàm số y = log_bx nằm trên đồ thị hàm số y = log_bx hay $\left\{\begin{array}{l}x>1\\ {\log }_{b}x>{\log }_{c}x\end{array}\right.\Rightarrow b<c$ .

Vậy a < b < c.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta thấy đồ thị y = x^c đi xuống nên c < 0

Đồ thị y = a^x đi xuống nên 0 < a < 1.

Đồ thị y = log_bx đi lên nên b > 1.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Dựa vào đồ thị, ta có hàm số có tập xác định ℝ và hàm số nghịch biến suy ra y = 0,8^x.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Do đồ thị hàm số đi qua điểm (2; 2) nên 2 = log_a2 $\iff$ \(a = \sqrt 2 \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Hàm số f(x) = a^x đồng biến trên ℝ nếu a > 1 và nghịch biến trên ℝ nếu 0 < a < 1.

Vậy hàm số f(x) = 3^x là hàm số đồng biến trên ℝ.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Xét \(y = {\log _{1 - \sqrt {\frac{{2018}}{{2019}}} }}x\) có tập xác định là: D = (0; +$\infty$).

Vì 0 < \(1 - \sqrt {\frac{{2018}}{{2019}}} \) < 1 nên hàm số nghịch biến trên D.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.          b) Sai.                  c) Đúng.               d) Đúng.

a) Đúng. Hàm số \(y = {\log _{\frac{{2024}}{{2023}}}}x\) có tập giá trị là ℝ.

b) Sai. Vì cơ số \(\frac{{2023}}{{2024}} \in \left( {0;1} \right)\) nên hàm số \(y = {\left( {\frac{{2023}}{{2024}}} \right)^x}\) nghịch biến trên ℝ.

c) Đúng. Hàm số \(y = {\log _{\frac{{2024}}{{2023}}}}x\) có tập xác định là (0; +$\infty$) nên có đồ thị nằm bên phải trục tung.

d) Đúng. Thay x = 0 vào hàm số \(y = {\left( {\frac{{2023}}{{2024}}} \right)^x}\), ta được: \(y = {\left( {\frac{{2023}}{{2024}}} \right)^0} = 1\) nên đồ thị cắt trục tung.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai.              b) Đúng.              c) Đúng.               d) Sai.

a) Sai. Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy hàm số đã cho đồng biến trên ℝ.

b) Đúng. Đồ thị hàm số y = a^x đi qua điểm (1; 3). Suy ra a = 3.

c) Đúng. Phương trình hoành độ giao điểm của y = 3^x và đường thẳng y = \(\frac{1}{3}\) là: \({3^x} = \frac{1}{3}\)Û x =-1.

d) Sai. Phương trình hoành độ giao điểm của y = 3^x và đường thẳng y =-x + 1 là: 3^x =-x + 1 (1)

Ta có hàm số y = 3^x đồng biến trên ℝ và 3^x > 0, "x $\in$ℝ.

Đường thẳng y =-x + 1 có hệ số a =-1 < 0 nên nghịch biến trên ℝ.

Ta lại có 3⁰ =-0 + 1 nên phương trình (1) có nghiệm duy nhất x = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.          b) Sai.                  c) Đúng.               d) Sai.

a) Đúng. Đồ thị hàm số y = a^x và đồ thị hàm số y = log_ax đối xứng nhau qua đường thẳng y = x.

b) Sai. Hàm số y = log_ax có tập giá trị là ℝ và hàm số y = a^x có tập giá trị là (0; +$\infty$).

c) Đúng. Hàm số y = a^x với 0 < a < 1 nghịch biến trên khoảng (-$\infty$; +$\infty$).

d) Sai. Đồ thị hàm số y = a^x với a > 0 và a $\ne$1 luôn đi qua điểm A(a; a^a) hoặc D(0; 1).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.          b) Sai.                  c) Đúng.               d) Sai.

Xét log_ax = 1 $\iff$ x = a;    log_bx = 1 $\iff$ x = b;       log_cx = 1 $\iff$ x = c;

Đồ thị y = log_ax đồng biến nên a > 1.

Đồ thị y = log_bx đồng biến nên b > 1.

Đồ thị y = log_cx nghịch biến nên 0 < c < 1

$\Rightarrow$ c < 1 < a < b.

a) Đúng. Đồ thị các hàm số trên đều đi qua điểm A(1; 0).

b) Sai. Hàm số y = log_cx nghịch biến trên khoảng (0; +$\infty$).

c) Đúng. Từ đồ thị suy ra 0 < c < 1 < a < b.

d) Sai. Xét phương trình hoành độ giao điểm log_ax = 3 $\iff$ x₁ = a³ và log_bx = 3 $\iff$ x₂ = b³. Do x₂ = 2x₁ nên b³ = 2a³ suy ra \(\frac{a}{b} = \frac{1}{{\sqrt[3]{2}}}\).

Hướng dẫn giải

Đáp án: a) Sai.              b) Đúng.              c) Sai.                   d) Sai.

a) Sai. Hàm số y = log₄x xác định trên (0; +$\infty$), do đó hàm số có tập xác định D = (0; +$\infty$).

b) Đúng. Hàm số y = log₄x có tập giá trị T =ℝ.

c) Sai. Hàm số y = log₄x xác định trên (0; +$\infty$) và có cơ số 4 > 1.

Do đó hàm số đồng biến trên khoảng (0; +$\infty$).

d) Sai. Phương trình có hoành độ giao điểm là: log₄x = 1 $\iff$ x = 4¹ = 4.

Vậy đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = 1 tại điểm có hoành độ bằng 4.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 20.

Hàm số xác định $\iff$ 5x – 3 > 0 $\iff$ x > \(\frac{5}{3}\). Do đó, D = \(\left( {\frac{3}{5}; + \infty } \right)\).

Với "x₁, x₂ $\in$ \(\left( {\frac{3}{5}; + \infty } \right)\); x₁ < x₂ $\Rightarrow$ 5x₁ – 3 < 5x₂ – 3 $\Rightarrow$ log₃(5x₁ – 3) < log₃(5x₂ – 3)

Vậy hàm số đồng biến trên \(\left( {\frac{3}{5}; + \infty } \right)\),

Suy ra \(\frac{a}{b} = \frac{3}{5} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = 5\end{array} \right. \Rightarrow T = 5a + b = 5 \cdot 3 + 5 = 20\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 15.

Đồ thị hàm số đi qua A(2; 0) nên ln(-3m + 6) = 0 $\iff$-3m + 6 = 1 $\iff$ m =\(\frac{5}{3}\).

Do đó, a = 5, b = 3 $\Rightarrow$ ab = 5.3 = 15.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 17.

Điều kiện xác định: a, b > 0; a, b $\ne$ 1.

Vì đồ thị hàm số y = a^x và đồ thị hàm số y = log_bx cắt nhau tại điểm \(A\left( {\frac{1}{2};2} \right)\) nên điểm \(A\left( {\frac{1}{2};2} \right)\) thuộc đồ thị hàm số y = a^x và đồ thị hàm số y = log_bx

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 = {a^{\frac{1}{2}}}\\2 = {\log _b}\frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 4\\{b^2} = \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 4\\b = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow T = {a^2} + 2{b^2} = {4^2} + 2{\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)^2} = 17\end{array} \right.\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: -207.

Xét y = log_ax (0 < a $\ne$ 1) (C₀); y = f(x) (C), (C) đối xứng với (C₀) đi qua I(2;1).

Gọi điểm M(x₀; y₀) $\in$ (C₀), N(x; y) $\in$ (C) đối xứng với nhau qua điểm I(2; 1) ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_0} + x = 4\\{y_0} + y = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} = 4 - x\\{y_0} = 2 - y\end{array} \right.\), thay vào phương trình (C₀) ta được:

2 – y = log_a(4 – x) $\iff$ y = 2 – log_a(4 – x)    (C)

Suy ra f(4 – a²⁰⁹) = 2 – log_a(4 – 4 + a²⁰⁹) =-207.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 5.

Hàm số y = (6 – a)^x đồng biến trên ℝ$\iff$ 6 – a > 1 $\iff$ a < 5.

Mà a $\in$ℕ$\Rightarrow$ a $\in$ {0; 1; 2; 3; 4}.

Vậy có 5 giá trị của a thỏa mãn.