Bài tập Sử dụng tính chất lũy thừa để biến đổi, rút gọn các biểu thức chứa biến lớp 11 (có lời giải)

Đáp án đúng là: B

Đáp án đúng là: B

Ta có: $Q=\sqrt[3]{x^2\sqrt{x^3}}={\left(x^2.x^{\frac{3}{2}}\right)}^{\frac{1}{3}}={\left(x^{2+\frac{3}{2}}\right)}^{\frac{1}{3}}={\left(x^{\frac{7}{2}}\right)}^{\frac{1}{3}}=x^{\frac{7}{2}.\frac{1}{3}}=x^{\frac{7}{6}}.$

Đáp án đúng là: A

Với x ≥ 0 ta có: $\sqrt{\sqrt[3]{x}}=\sqrt[2\cdot 3]{x}=\sqrt[6]{x}.$

Đáp án đúng là: C

Ta có: $N=a^{\sqrt{3}}.{\left(\frac{1}{a}\right)}^{\sqrt{3}-1}=a^{\sqrt{3}}.{\left(a^{-1}\right)}^{\sqrt{3}-1}$$=a^{\sqrt{3}}.a^{\left(-1\right).\left(\sqrt{3}-1\right)}$

$=a^{\sqrt{3}}.a^{1-\sqrt{3}}=a^{\sqrt{3}+1-\sqrt{3}}=a.$

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\frac{\sqrt[3]{a^2\sqrt{a}}}{a^3}=\frac{{\left(a^2.a^{\frac{1}{2}}\right)}^{\frac{1}{3}}}{a^3}=\frac{{\left(a^{2+\frac{1}{2}}\right)}^{\frac{1}{3}}}{a^3}=\frac{{\left(a^{\frac{5}{2}}\right)}^{\frac{1}{3}}}{a^3}=\frac{a^{\frac{5}{2}.\frac{1}{3}}}{a^3}=\frac{a^{\frac{5}{6}}}{a^3}=a^{\frac{5}{6}-3}=a^{-\frac{13}{6}}.$

Mà  $\frac{\sqrt[3]{a^2\sqrt{a}}}{a^3}=a^{\alpha }$ nên $\alpha =-\frac{13}{6}$ ∈ (–3; –2).

Đáp án  đúng là: B

Ta có: $A=\frac{\sqrt[3]{a^8}.a^{\frac{7}{3}}}{a^5.\sqrt[4]{a^{-3}}}=\frac{a^{\frac{8}{3}}.a^{\frac{7}{3}}}{a^5.a^{-\frac{3}{4}}}=\frac{a^{\frac{8}{3}+\frac{7}{3}}}{a^{5-\frac{3}{4}}}=\frac{a^5}{a^{\frac{17}{4}}}=a^{5-\frac{17}{4}}=a^{\frac{3}{4}}.$

Mà $A=a^{\frac{m}{n}}$ , trong đó m, n ∈ ℕ^* và $\frac{m}{n}$ là phân số tối giản.

Suy ra m = 3, n = 4 và m² + n² = 25.

Đáp án đúng là: C

Ta có: 2^x + 2^–x = m nên m² = (2^x + 2^–x)² = 4^x + 2 + 4^–x.

Suy ra 4^x + 4^–x = m² – 2.

Đáp án đúng là: D

Đáp án đúng là: C

Ta có: $K=\frac{a^{\frac{1}{3}}\sqrt{b}+b^{\frac{1}{3}}\sqrt{a}}{\sqrt[6]{a}+\sqrt[6]{b}}=\frac{a^{\frac{1}{3}}{b}^{\frac{1}{2}}+b^{\frac{1}{3}}{a}^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{6}}+b^{\frac{1}{6}}}$

$=\frac{a^{\frac{1}{3}}{b}^{\frac{1}{3}}\left(b^{\frac{1}{6}}+a^{\frac{1}{6}}\right)}{a^{\frac{1}{6}}+b^{\frac{1}{6}}}=a^{\frac{1}{3}}{b}^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{ab}.$

Đáp án đúng là: A

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Chuyển căn bậc ba về lũy thừa với số mũ hữu tỉ, ta có \(\sqrt[3]{x} = {x^{\frac{1}{3}}}\).

Sử dụng tính chất nhân hai lũy thừa cùng cơ số: P = \({x^1} \cdot {x^{\frac{1}{3}}} = {x^{1 + \frac{1}{3}}} = {x^{\frac{4}{3}}}\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Rút gọn tử số: \({a^{\sqrt 3 + 1}} \cdot {a^{2 - \sqrt 3 }} = {a^{\sqrt 3 + 1 + 2 - \sqrt 3 }}\) = a³.

Rút gọn mẫu số: \({\left( {{a^{\sqrt 2 - 2}}} \right)^{\sqrt 2 + 2}} = {a^{\left[ {\left( {\sqrt 2 - 2} \right)\left( {\sqrt 2 + 2} \right)} \right]}} = {a^{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2} - {2^2}}} = {a^{2 - 4}}\) = a^-2.

Thực hiện phép chia hai lũy thừa cùng cơ số: P = \(\frac{{{a^3}}}{{{a^{ - 2}}}} = {a^{3 - \left( { - 2} \right)}}\) = a⁵.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Thực hiện biến đổi từ trong ra ngoài, ta có:

\(x \cdot \sqrt x = {x^1} \cdot {x^{\frac{1}{2}}} = {x^{\frac{3}{2}}}\)⇒ \(\sqrt[3]{{{x^{\frac{3}{2}}}}} = {\left( {{x^{\frac{3}{2}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} = {x^{\frac{1}{2}}}\) ⇒ \(x \cdot {x^{\frac{1}{2}}} = {x^{\frac{3}{2}}}\).

⇒ \(\sqrt {{x^{\frac{3}{2}}}} = {\left( {{x^{\frac{3}{2}}}} \right)^{\frac{1}{2}}} = {x^{\frac{3}{4}}}\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Chuyển lũy thừa số mũ hữu tỉ về dạng căn thức: \({a^{\frac{1}{2}}} = \sqrt a \) và \({b^{\frac{1}{2}}} = \sqrt b \).

Ta có: \({\left( {{a^{\frac{1}{2}}} - {b^{\frac{1}{2}}}} \right)^2} = {\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)^2} = a - 2\sqrt {ab} + b\).

⇒ K = \(\left( {a - 2\sqrt {ab} + b} \right) + 2\sqrt {ab} \) = a + b.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Đặt nhân tử chung ở tử số: \({a^{\frac{4}{3}}} - {a^{\frac{1}{3}}} = {a^{\frac{1}{3}}} \cdot \left( {{a^1} - 1} \right) = {a^{\frac{1}{3}}} \cdot \left( {a - 1} \right)\).

⇒ A = \(\frac{{{a^{\frac{1}{3}}} \cdot \left( {a - 1} \right)}}{{{a^{\frac{1}{3}}}}}\) = a – 1.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai.               b) Đúng.               c) Sai.                   d) Đúng.

a) Sai. Theo quy tắc nhân hai lũy thừa cùng cơ số, ta phải cộng các số mũ x^m ∙ xⁿ = x^m+n.

b) Đúng. Tính chất chia hai lũy thừa cùng cơ số.

c) Sai. Theo quy tắc lũy thừa của lũy thừa, ta phải nhân các số mũ: (x^m)ⁿ = x^mn

d) Đúng. Tính chất lũy thừa của một tích.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai.               b) Đúng.               c) Đúng.               d) Đúng.

a) Sai. \(\sqrt[n]{{{a^m}}} = {a^{\frac{m}{n}}}\).

b) Đúng. \({a^{ - \frac{1}{2}}} = \frac{1}{{{a^{\frac{1}{2}}}}} = \frac{1}{{\sqrt a }}\) với a > 0.

c) Đúng. \(\sqrt[3]{{{a^2}}} \cdot {a^{\frac{1}{4}}} = {a^{\frac{2}{3}}} \cdot {a^{\frac{1}{4}}} = {a^{\left( {\frac{2}{3} + \frac{1}{4}} \right)}} = {a^{\left( {\frac{{11}}{{12}}} \right)}}\).

d) Đúng. \(\sqrt {a\sqrt a } = \sqrt {a \cdot {a^{\frac{1}{2}}}} = \sqrt {{a^{\frac{3}{2}}}} = {\left( {{a^{\frac{3}{2}}}} \right)^{\frac{1}{2}}} = {a^{\frac{3}{4}}}\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai.               b) Đúng.               c) Đúng.               d) Sai.

a) Sai. \({x^{\sqrt 2 }} \cdot {x^{\sqrt 8 }} = {x^{\sqrt 2 + \sqrt 8 }} = {x^{\sqrt 2 + 2\sqrt 2 }} = {x^{3\sqrt 2 }}\).

b) Đúng. \({\left( {{x^{\sqrt 3 }}} \right)^{\sqrt 3 }} = {x^{\sqrt 3 \cdot \sqrt 3 }} = {x^3}\).

c) Đúng. \(\frac{{{y^{\sqrt 5 }}}}{{{y^{2\sqrt 5 }}}} = {y^{\sqrt 5 - 2\sqrt 5 }} = {y^{ - \sqrt 5 }}\).

d) Sai. Áp dụng tính chất lũy thừa của một tích, x^π ∙ y^π = (xy) ^π.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.           b) Đúng.               c) Sai.                   d) Đúng.

a) Đúng. Đặt u = \({a^{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}}\) và v = \({b^{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}}\). Ta có:

\(\frac{{{u^2} - {v^2}}}{{u - v}} = \frac{{\left( {u - v} \right)\left( {u + v} \right)}}{{u - v}} = u + v = {a^{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}} + {b^{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}}\).

b) Đúng. Đặt X = \({a^{\frac{1}{3}}}\) và Y = \({b^{\frac{1}{3}}}\), vế trái có dạng hằng đẳng thức:

(X + Y)(X² - XY + Y²) = X³ + Y³ = \({\left( {{a^{\frac{1}{3}}}} \right)^3} + {\left( {{b^{\frac{1}{3}}}} \right)^3}\) = a + b.

c) Sai. Ta có:

\(\frac{{a - b}}{{{a^{\frac{1}{2}}} + {b^{\frac{1}{2}}}}} = \frac{{\left( {{a^{\frac{1}{2}}} - {b^{\frac{1}{2}}}} \right)\left( {{a^{\frac{1}{2}}} + {b^{\frac{1}{2}}}} \right)}}{{\left( {{a^{\frac{1}{2}}} + {b^{\frac{1}{2}}}} \right)}} = {a^{\frac{1}{2}}} - {b^{\frac{1}{2}}}\).

d) Đúng. Ta có:

\(\left( {{a^{\frac{1}{4}}} - {b^{\frac{1}{4}}}} \right)\left( {{a^{\frac{1}{4}}} + {b^{\frac{1}{4}}}} \right) = {\left( {{a^{\frac{1}{4}}}} \right)^2} - {\left( {{b^{\frac{1}{4}}}} \right)^2} = {a^{\frac{1}{2}}} - {b^{\frac{1}{2}}}\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.           b) Đúng.               c) Sai.                   d) Sai.

a) Đúng. \(\frac{{{x^{\frac{5}{4}}} \cdot y + x \cdot {y^{\frac{5}{4}}}}}{{{x^{\frac{1}{4}}} + {y^{\frac{1}{4}}}}}\)=\(\frac{{xy\left( {{x^{\frac{1}{4}}} + {y^{\frac{1}{4}}}} \right)}}{{\left( {{x^{\frac{1}{4}}} + {y^{\frac{1}{4}}}} \right)}}\) = xy.

b) Đúng. B = \({\left( {{x^{\frac{1}{2}}} - {y^{\frac{1}{2}}}} \right)^2} \cdot \left( {x + y + 2\sqrt {xy} } \right)\) = \({\left( {{x^{\frac{1}{2}}} - {y^{\frac{1}{2}}}} \right)^2} \cdot {\left( {{x^{\frac{1}{2}}} + {y^{\frac{1}{2}}}} \right)^2}\)

= \({\left[ {\left( {{x^{\frac{1}{2}}} - {y^{\frac{1}{2}}}} \right)\left( {{x^{\frac{1}{2}}} + {y^{\frac{1}{2}}}} \right)} \right]^2} = {\left( {x - y} \right)^2}\).

c) Sai. \(\sqrt[3]{{x \cdot \sqrt {{x^5}} }}\) = \(\sqrt[3]{{x \cdot {x^{\frac{5}{2}}}}} = \sqrt[3]{{{x^{\frac{7}{2}}}}} = {x^{\frac{7}{6}}}\).

d) Sai. Theo quy tắc chia lũy thừa: \(\frac{{{x^{\sqrt 3 }}}}{{{x^{\sqrt 3 - 1}}}} = {x^{\sqrt 3 - \left( {\sqrt 3 - 1} \right)}}\) = x¹ = x.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 50

P = \(\frac{{{x^{\frac{1}{3}}} - {x^{\frac{7}{3}}}}}{{{x^{\frac{1}{3}}} - {x^{\frac{4}{3}}}}} - \frac{{{x^{ - \frac{1}{3}}} - {x^{\frac{5}{3}}}}}{{{x^{ - \frac{1}{3}}} + {x^{\frac{2}{3}}}}}\) = \(\frac{{{x^{\frac{1}{3}}} \cdot \left( {1 - {x^2}} \right)}}{{{x^{\frac{1}{3}}} \cdot \left( {1 - x} \right)}} - \frac{{{x^{ - \frac{1}{3}}} \cdot \left( {1 - {x^2}} \right)}}{{{x^{ - \frac{1}{3}}} \cdot \left( {1 + x} \right)}}\)

= \(\frac{{1 - {x^2}}}{{1 - x}} - \frac{{1 - {x^2}}}{{1 + x}} = \frac{{\left( {1 - x} \right)\left( {1 + x} \right)}}{{1 - x}} - \frac{{\left( {1 - x} \right)\left( {1 + x} \right)}}{{1 + x}} = 1 + x - \left( {1 - x} \right)\) = 2x.

Với x = 25, ta có giá trị của biểu thức là: P = 2 ∙ 25 = 50.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 47

\({x^{\frac{1}{2}}} + {x^{ - \frac{1}{2}}}\) = 3 ⇒ \({\left( {{x^{\frac{1}{2}}} + {x^{ - \frac{1}{2}}}} \right)^2} = {3^2}\) ⇒ \({x^1} + 2 \cdot {x^{\frac{1}{2}}} \cdot {x^{ - \frac{1}{2}}} + {x^{ - 1}} = 9\)

Do \({x^{\frac{1}{2}}} \cdot {x^{ - \frac{1}{2}}}\) = x⁰ = 1, phương trình trở thành x + x^-1 + 2 = 9 ⇒ x + x^-1 = 7.

⇒ (x + x^-1)² = 7² ⇒ x² + 2 ∙ x ∙ x^-1 + x^-2 = 49

⇒ x² + 2 + x^-2 = 49 ⇒ x² + x^-2 = 47.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 3

Biến đổi tử số về dạng số mũ hữu tỉ:

\(\sqrt[3]{{{x^2} \cdot {x^{\frac{1}{2}}}}} = \sqrt[3]{{{x^{\frac{5}{2}}}}} = {\left( {{x^{\frac{5}{2}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} = {x^{\frac{5}{6}}}\).

Biến đổi mẫu số về dạng số mũ hữu tỉ:

\(\sqrt[4]{{x \cdot \sqrt[3]{x}}} = \sqrt[4]{{{x^{\frac{4}{3}}}}} = {\left( {{x^{\frac{4}{3}}}} \right)^{\frac{1}{4}}} = {x^{\frac{1}{3}}}\).

Thực hiện phép chia hai lũy thừa cùng cơ số để thu gọn biểu thức K:

K = \(\frac{{{x^{\frac{5}{6}}}}}{{{x^{\frac{1}{3}}}}} = {x^{\left( {\frac{5}{6} - \frac{1}{3}} \right)}} = {x^{\frac{1}{2}}}\).

⇒ a = 1 và b = 2.

Giá trị của tổng cần tìm là: S = 1 + 2 = 3.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 8

Ta có: \(\sqrt b = {b^{\frac{1}{2}}} = {b^{\frac{3}{6}}}\) và \(\sqrt a = {a^{\frac{1}{2}}} = {a^{\frac{3}{6}}}\).

⇒ Tử số: \({a^{\frac{2}{6}}} \cdot {b^{\frac{3}{6}}} + {b^{\frac{2}{6}}} \cdot {a^{\frac{3}{6}}} = {a^{\frac{2}{6}}} \cdot {b^{\frac{2}{6}}}\left( {{b^{\frac{1}{6}}} + {a^{\frac{1}{6}}}} \right)\).

Rút gọn phân thức: M = \(\frac{{{a^{\frac{1}{3}}} \cdot {b^{\frac{1}{3}}} \cdot \left( {{a^{\frac{1}{6}}} + {b^{\frac{1}{6}}}} \right)}}{{\left( {{a^{\frac{1}{6}}} + {b^{\frac{1}{6}}}} \right)}} = \sqrt[3]{{ab}}\).

Thay giá trị a = 64 và b = 8 vào biểu thức đã rút gọn: M = \(\sqrt[3]{{64 \cdot 8}} = \sqrt[3]{{512}}\) = 8.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 6

Ta có: \({x^{\frac{3}{2}}} - 1 = {\left( {{x^{\frac{1}{2}}}} \right)^3} - {1^3} = \left( {{x^{\frac{1}{2}}} - 1} \right)\left( {x + {x^{\frac{1}{2}}} + 1} \right)\).

\({x^{\frac{3}{2}}} + 1 = {\left( {{x^{\frac{1}{2}}}} \right)^3} + {1^3} = \left( {{x^{\frac{1}{2}}} + 1} \right)\left( {x - {x^{\frac{1}{2}}} + 1} \right)\).

⇒ A = \(\left( {x + {x^{\frac{1}{2}}} + 1} \right) - \left( {x - {x^{\frac{1}{2}}} + 1} \right) = 2{x^{\frac{1}{2}}} = 2\sqrt x \).

Thay x = 9 vào biểu thức đã rút gọn ⇒ A = \(2\sqrt 9 \) = 2 ∙ 3 = 6.