20 câu trắc nghiệm Toán 11 Kết nối tri thức Bài 18. Lũy thừa với số mũ thực có đáp án
20 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN
Cho \[n \in \mathbb{Z},n > 0\], với điều kiện nào của a thì đẳng thức sau xảy ra: \[{{\rm{a}}^{ - {\rm{n}}}}{\rm{ = }}\frac{{\rm{1}}}{{{{\rm{a}}^{\rm{n}}}}}\]?
a > 0.
a = 0.
\[a \ne 0\].
a < 0.
C
Với \[a \ne 0,n \in \mathbb{Z},n > 0\]thì \[{{\rm{a}}^{ - {\rm{n}}}}{\rm{ = }}\frac{{\rm{1}}}{{{{\rm{a}}^{\rm{n}}}}}\].
Cho \[a > 0,m,n \in \mathbb{Z},n \ge 2\]. Chọn kết luận đúng:
\[{{\rm{a}}^{\frac{{\rm{m}}}{{\rm{n}}}}}{\rm{ = }}\sqrt[{\rm{n}}]{{{{\rm{a}}^{\rm{m}}}}}\].
\[{{\rm{a}}^{\frac{{\rm{m}}}{{\rm{n}}}}}{\rm{ = }}\sqrt[{\rm{m}}]{{{{\rm{a}}^{\rm{n}}}}}\].
\[{{\rm{a}}^{\frac{{\rm{m}}}{{\rm{n}}}}}{\rm{ = }}\sqrt[{{\rm{mn}}}]{{\rm{a}}}\].
\[{{\rm{a}}^{\frac{{\rm{m}}}{{\rm{n}}}}}{\rm{ = }}\sqrt[{\rm{m}}]{{{{\rm{a}}^{{\rm{mn}}}}}}\].
A
Cho \[a > 0,m,n \in \mathbb{Z},n \ge 2\], khi đó \[{{\rm{a}}^{\frac{{\rm{m}}}{{\rm{n}}}}}{\rm{ = }}\sqrt[{\rm{n}}]{{{{\rm{a}}^{\rm{m}}}}}\].
Cho a > 0, chọn khẳng định đúng:
\[{{\rm{a}}^{\frac{{\rm{1}}}{{{\rm{10}}}}}}{\rm{ = }}\sqrt[{{\rm{ 10}}}]{{\rm{a}}}\].
\[{{\rm{a}}^{\frac{{\rm{1}}}{{{\rm{10}}}}}}{\rm{ = }}\sqrt {{{\rm{a}}^{{\rm{10}}}}} \].
\[{{\rm{a}}^{\frac{{\rm{1}}}{{{\rm{10}}}}}}{\rm{ = }}{{\rm{a}}^{{\rm{10}}}}\].
\[{{\rm{a}}^{\frac{{\rm{1}}}{{{\rm{10}}}}}}{\rm{ = }}\sqrt[{\rm{a}}]{{{\rm{10}}}}\].
A
Ta có: \[{{\rm{a}}^{\frac{{\rm{1}}}{{{\rm{10}}}}}}{\rm{ = }}\sqrt[{{\rm{ 10}}}]{{\rm{a}}}\].
Với \[{\rm{0 < a < b, m}} \in {\mathbb{N}^ * }\]thì:
\[{{\rm{a}}^{\rm{m}}}{\rm{ < }}{{\rm{b}}^{\rm{m}}}\].
\[{{\rm{a}}^{\rm{m}}}{\rm{ > }}{{\rm{b}}^{\rm{m}}}\].
\[1 < {{\rm{a}}^{\rm{m}}}{\rm{ < }}{{\rm{b}}^{\rm{m}}}\].
\[{{\rm{a}}^{\rm{m}}}{\rm{ > }}{{\rm{b}}^{\rm{m}}}{\rm{ > 1}}\].
A
Với \[{\rm{0 < a < b, m}} \in {\mathbb{N}^ * }\]thì \[{{\rm{a}}^{\rm{m}}}{\rm{ < }}{{\rm{b}}^{\rm{m}}}\].
Rút gọn biểu thức \(P = {x^{\frac{1}{3}}}.\sqrt[6]{x}\) với x > 0.
\(P = \sqrt x \).
\(P = {x^{\frac{1}{8}}}\).
\(P = {x^{\frac{2}{9}}}\).
\(P = {x^2}\).
A
\(P = {x^{\frac{1}{3}}}.\sqrt[6]{x}\)\( = {x^{\frac{1}{3}}}.{x^{\frac{1}{6}}}\)\( = {x^{\frac{1}{3} + \frac{1}{6}}} = {x^{\frac{1}{2}}} = \sqrt x \).
Giá trị của biểu thức \(A = {9^{2 + 3\sqrt 3 }}:{27^{2\sqrt 3 }}\) là
9.
\({3^{4 + 5\sqrt 3 }}\).
81.
\({3^{4 + 12\sqrt 3 }}\).
C
\(A = {9^{2 + 3\sqrt 3 }}:{27^{2\sqrt 3 }}\)\( = {3^{4 + 6\sqrt 3 }}:{3^{6\sqrt 3 }}\)\( = {3^{4 + 6\sqrt 3 - 6\sqrt 3 }} = {3^4} = 81\).
Giá trị của biểu thức \(A = \frac{{{2^3}{{.2}^{ - 1}} + {5^{ - 3}}{{.5}^4}}}{{{{10}^{ - 3}}:{{10}^{ - 2}} - {{\left( {0,1} \right)}^0}}}\) là
−9.
9.
−10.
10.
C
\(A = \frac{{{2^3}{{.2}^{ - 1}} + {5^{ - 3}}{{.5}^4}}}{{{{10}^{ - 3}}:{{10}^{ - 2}} - {{\left( {0,1} \right)}^0}}}\)\( = \frac{{{2^2} + 5}}{{{{10}^{ - 1}} - 1}}\)\( = \frac{9}{{\frac{{ - 9}}{{10}}}} = - 10\).
Khẳng định nào dưới đây là đúng?
\({\left( {\frac{3}{7}} \right)^{\sqrt 3 }} > {\left( {\frac{5}{8}} \right)^{\sqrt 3 }}\).
\({\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ - \pi }} < {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{ - \pi }}\).
\({3^{ - \sqrt 2 }} < {\left( {\frac{1}{5}} \right)^{\sqrt 2 }}\).
\({\left( {\frac{1}{4}} \right)^{ - 50}} < {2^{100}}\).
B
Ta có \(\frac{3}{7} < \frac{5}{8}\)\( \Rightarrow {\left( {\frac{3}{7}} \right)^{\sqrt 3 }} < {\left( {\frac{5}{8}} \right)^{\sqrt 3 }}\). Phương án A sai.
Ta có \(\frac{1}{2} > \frac{1}{3}\)\( \Rightarrow {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ - \pi }} < {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{ - \pi }}\). Phương án B đúng.
3 < 5 \( \Rightarrow {3^{ - \sqrt 2 }} > {5^{ - \sqrt 2 }}\)\( \Rightarrow {3^{ - \sqrt 2 }} > {\left( {\frac{1}{5}} \right)^{\sqrt 2 }}\). Phương án C sai.
\({\left( {\frac{1}{4}} \right)^{ - 50}} < {\left( {\sqrt 2 } \right)^{100}}\)\( \Rightarrow {\left( {{2^{ - 2}}} \right)^{ - 50}} < {\left( 2 \right)^{100}}\)\( \Rightarrow {2^{100}} < {2^{100}}\). Phương án D sai.
Rút gọn biểu thức \(A = \frac{{\sqrt[3]{{{a^7}}}.{a^{\frac{{11}}{3}}}}}{{{a^4}.\sqrt[7]{{{a^{ - 5}}}}}}\) với a > 0 ta được kết quả \(A = {a^{\frac{m}{n}}}\), trong đó m, n Î ℕ* và \(\frac{m}{n}\) là phân số tối giản. Khẳng định nào sau đây đúng?
m2 – n2 = 312.
m2 + n2 = 543.
m2 – n2 = −312.
m2 + n2 = 409.
A
\(A = \frac{{\sqrt[3]{{{a^7}}}.{a^{\frac{{11}}{3}}}}}{{{a^4}.\sqrt[7]{{{a^{ - 5}}}}}}\)\( = \frac{{{a^{\frac{7}{3}}}.{a^{\frac{{11}}{3}}}}}{{{a^4}.{a^{\frac{{ - 5}}{7}}}}}\)\( = \frac{{{a^6}}}{{{a^{\frac{{23}}{7}}}}}\)\( = {a^{\frac{{19}}{7}}}\).
Suy ra m = 19; n = 7. Do đó m2 – n2 = 312.
Trong một xí nghiệp, công thức \(P\left( t \right) = 500.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{t}{3}}}\) được dùng để tính giá trị còn lại (tính theo triệu đồng) của một chiếc máy sau thời gian t (tính theo năm) kể từ khi đưa vào sử dụng. Sau một năm đưa vào sử dụng giá trị còn lại của máy bằng bao nhiêu phần trăm so với ban đầu?
84,3%.
57,1%.
39,3%.
79,4%.
D
Giá trị của máy khi sử dụng là P(0) \( = 500.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^0} = 500\) (triệu đồng).
Giá trị còn lại của máy sau 1 năm là \(P\left( 1 \right) = 500.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{1}{3}}} \approx 397\) (triệu đồng).
Sau một năm đưa vào sử dụng, giá trị còn lại của máy bằng \(\frac{{397}}{{500}}.100\% = 79,4\% \) so với ban đầu.
PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG – SAI
Cho biểu thức \({9^{\frac{2}{5}}} \cdot {27^{\frac{2}{5}}} = A\) và \({144^{\frac{3}{4}}}:{9^{\frac{3}{4}}} = B\), khi đó:
a) \({9^{\frac{2}{5}}} \cdot {27^{\frac{2}{5}}} = {(9 \cdot 27)^{\frac{2}{5}}}\).
b) \({9^{\frac{2}{5}}} \cdot {27^{\frac{2}{5}}} = {3^k}\) thì \(k = 3\).
c) \({144^{\frac{3}{4}}}:{9^{\frac{3}{4}}} = {2^k}\)thì \(k = 3\).
d) \(A - B = 1\).
a), b) Ta có: \({9^{\frac{2}{5}}} \cdot {27^{\frac{2}{5}}} = {(9 \cdot 27)^{\frac{2}{5}}} = {\left( {{3^2} \cdot {3^3}} \right)^{\frac{2}{5}}} = {\left( {{3^5}} \right)^{\frac{2}{5}}} = {3^2} = 9\). Suy ra k = 2.
c) Ta có: \({144^{\frac{3}{4}}}:{9^{\frac{3}{4}}} = {\left( {\frac{{144}}{9}} \right)^{\frac{3}{4}}} = {16^{\frac{3}{4}}} = {\left( {{2^4}} \right)^{\frac{3}{4}}} = {2^3} = 8\) = 23. Suy ra k = 3.
d) A – B = 9 – 8 = 1.
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.
Cho biểu thức \(\sqrt[5]{{2 \cdot \sqrt[3]{{2 \cdot \sqrt 2 }}}} = {2^{\frac{a}{b}}}\) và \(\sqrt[6]{{3 \cdot \sqrt[3]{{3 \cdot \sqrt 3 }}}} = {3^{\frac{m}{n}}}\) trong đó (\(\frac{a}{b},\frac{m}{n}\) là các phân số tối giản), khi đó:
a) \(a + b = 13\).
b) \(m - n = 3\).
c) \(\frac{a}{b} + \frac{m}{n} = \frac{{11}}{{20}}\).
d) \(\frac{a}{b} - \frac{m}{n} = \frac{1}{{20}}\).
a) Ta có: \(\sqrt[5]{{2 \cdot \sqrt[3]{{2 \cdot \sqrt 2 }}}} = \sqrt[5]{{2 \cdot \sqrt[3]{{2 \cdot {2^{\frac{1}{2}}}}}}} = \sqrt[5]{{2 \cdot \sqrt[3]{{{2^{\frac{3}{2}}}}}}} = \sqrt[5]{{2 \cdot {2^{\frac{1}{2}}}}} = \sqrt[5]{{{2^{\frac{3}{2}}}}} = {2^{\frac{3}{{10}}}}\).
Suy ra a = 3; b = 10. Do đó a + b = 13.
b) Ta có: \(\sqrt[6]{{3 \cdot \sqrt[3]{{3 \cdot \sqrt 3 }}}} = \sqrt[6]{{3 \cdot \sqrt[3]{{3 \cdot {3^{\frac{1}{2}}}}}}} = \sqrt[6]{{3 \cdot \sqrt[3]{{{3^{\frac{3}{2}}}}}}} = \sqrt[6]{{3 \cdot {3^{\frac{1}{2}}}}} = \sqrt[6]{{{3^{\frac{3}{2}}}}} = {3^{\frac{1}{4}}}\).
Suy ra m = 1; n = 4. Do đó m – n = −3.
c) \(\frac{a}{b} + \frac{m}{n} = \frac{3}{{10}} + \frac{1}{4} = \frac{{11}}{{20}}\).
d) \(\frac{a}{b} - \frac{m}{n} = \frac{3}{{10}} - \frac{1}{4} = \frac{1}{{20}}\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.
Cho các biểu thức \(A = \sqrt {2 \cdot \sqrt[3]{{2 \cdot \sqrt[4]{2}}}} ,\,B = \sqrt[{24}]{{{2^5}}} \cdot \frac{1}{{\sqrt {{2^{ - 1}}} }}\). Vậy:
a) \(A = {2^{\frac{a}{b}}}\)(\(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản), khi đó: \(a + b = 41\).
b) \(B = {2^{\frac{a}{b}}}\)(\(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản), khi đó: \(a + b = 31\).
c) \(A - B\sqrt 5 = \sqrt 5 \).
d) \(A.B = {2^{\frac{m}{n}}}\)(\(\frac{m}{n}\) là phân số tối giản), khi đó: \(m + n = 29\).
a) Ta có: \(\sqrt {2 \cdot \sqrt[3]{{2 \cdot \sqrt[4]{2}}}} = \sqrt {2\sqrt[3]{{2 \cdot {2^{\frac{1}{4}}}}}} = \sqrt {2 \cdot {2^{\frac{5}{{12}}}}} = {2^{\frac{{17}}{{24}}}}\) . Suy ra a + b = 41.
b) \(\sqrt[{24}]{{{2^5}}} \cdot \frac{1}{{\sqrt {{2^{ - 1}}} }} = {2^{\frac{5}{{24}}}} \cdot {2^{\frac{1}{2}}} = {2^{\frac{{17}}{{24}}}}\). Suy ra a + b = 41.
c) \(A - B\sqrt 5 = {2^{\frac{{17}}{{24}}}} - {2^{\frac{{17}}{{24}}}}.\sqrt 5 = \left( {1 - \sqrt 5 } \right){2^{\frac{{17}}{{24}}}}\).
d) \(A.B = {2^{\frac{{17}}{{24}}}}{.2^{\frac{{17}}{{24}}}} = {2^{\frac{{17}}{{12}}}}\). Suy ra m + n = 29.
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.
Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) \({2^{\sqrt 2 + 1}} > {2^{\sqrt 3 }}.\)
b) \({\left( {1 - \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^{2019}} < {\left( {1 - \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^{2018}}.\)
c) \({\left( {\sqrt 2 - 1} \right)^{2017}} > {\left( {\sqrt 2 - 1} \right)^{2018}}.\)
d) \({\left( {\sqrt 3 - 1} \right)^{2018}} > {\left( {\sqrt 3 - 1} \right)^{2017}}.\)
a) vì \[2 > 1\] và \(\sqrt 2 + 1 > \sqrt 3 \) nên \({2^{\sqrt 2 + 1}} > {2^{\sqrt 3 }}.\)
b) vì \(\left( {1 - \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) < 1\) và \[2019 > 2018\] nên \({\left( {1 - \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^{2019}} < {\left( {1 - \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^{2018}}.\)
c) vì \(\left( {\sqrt 2 - 1} \right) < 1\) và \[2017 < 2018\] nên \({\left( {\sqrt 2 - 1} \right)^{2017}} > {\left( {\sqrt 2 - 1} \right)^{2018}}.\)
d) vì \(\sqrt 3 - 1 < 1\) và \[2017 < 2018\] nên \({\left( {\sqrt 3 - 1} \right)^{2018}} < {\left( {\sqrt 3 - 1} \right)^{2017}}.\)
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.
Một người gửi số tiền 500 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 6,5% một năm theo hình thức lãi kép.
a) Lãi suất của ngân hàng là 0,65 trong một năm.
b) Sau khi gửi 1 năm, số tiền mà người đó có trong ngân hàng là 532 500 000 đồng.
c) Sau khi gửi 3 năm, số tiền mà người đó có trong ngân hàng nhiều hơn 600 000 000 đồng.
d) Do thiếu tiền nên ở cuối năm thứ 3, người đó đã rút 100 triệu đồng từ ngân hàng và tiếp tục gửi thêm 2 năm nữa thì rút toàn bộ số tiền. Lúc này, số tiền người này rút được nhiều hơn 670 000 000 đồng.
a) Lãi suất ngân hàng là 0,065 trong một năm.
b) Sau một năm số tiền gửi là 500(1 + 6,5%)1 = 532,5 triệu đồng.
c) Đến hết năm thứ ba, số tiền người đó có được là 500(1 + 6,5%)3 > 600 triệu đồng.
d) Sau khi rút về 100 triệu đồng và tiếp tục gửi trong vòng 2 năm tiếp theo, người đó có số tiền là
[500(1 + 6,5%)3 – 100](1 + 6,5%)2 ≈ 571,621 triệu đồng.
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.
PHẦN II. TRẢ LỜI NGẮN
Tính giá trị biểu thức \(A = {\left( {\frac{1}{{81}}} \right)^{ - 0,75}} + {\left( {\frac{1}{{625}}} \right)^{ - 0,25}} - {\left( {\frac{1}{{32}}} \right)^{ - 0,6}}\).
\(A = {\left( {\frac{1}{{81}}} \right)^{ - 0,75}} + {\left( {\frac{1}{{625}}} \right)^{ - 0,25}} - {\left( {\frac{1}{{32}}} \right)^{ - 0,6}}\)\( = {\left( {\frac{1}{{81}}} \right)^{ - \frac{3}{4}}} + {\left( {\frac{1}{{625}}} \right)^{ - \frac{1}{4}}} - {\left( {\frac{1}{{32}}} \right)^{ - \frac{3}{5}}}\)
\( = {\left( {{3^{ - 4}}} \right)^{ - \frac{3}{4}}} + {\left( {{5^{ - 4}}} \right)^{ - \frac{1}{4}}} - {\left( {{2^{ - 5}}} \right)^{ - \frac{3}{5}}}\)\( = {3^3} + 5 - {2^3} = 24\).
Trả lời: 24.
Biết biểu thức \(P = {\left( {5 + 2\sqrt 6 } \right)^{2024}}.{\left( {5 - 2\sqrt 6 } \right)^{2025}} = a - 2\sqrt c \) với a; c là số tự nhiên. Tính giá trị \({a^{c - 2}}\).
Ta có: \((5 + 2\sqrt 6 )(5 - 2\sqrt 6 ) = 25 - 24 = 1\).
Do đó:
\(P = {(5 + 2\sqrt 6 )^{2024}} \cdot {(5 - 2\sqrt 6 )^{2025}} = {[(5 + 2\sqrt 6 )(5 - 2\sqrt 6 )]^{2024}} \cdot (5 - 2\sqrt 6 ) = 5 - 2\sqrt 6 \)
Do đó a = 5; c = 6. Suy ra \({a^{c - 2}} = 625\).
Trả lời: 625.
Biết 4x + 4−x = 23, tính giá trị biểu thức P = 2x + 2−x.
P = 2x + 2−x > 0.
Ta có \({P^2} = {\left( {{2^x} + {2^{ - x}}} \right)^2} = {4^x} + {4^{ - x}} + {2.2^x}{.2^{ - x}} = 23 + 2 = 25\).
Do đó P = 5.
Trả lời: 5.
Biết rằng 3x = 5, giá trị của biểu thức \(P = {81^x} + \sqrt[4]{{{3^x}}}.\sqrt[4]{{{{27}^x}}}\) bằng bao nhiêu?
Ta có \(P = {81^x} + \sqrt[4]{{{3^x}}}.\sqrt[4]{{{{27}^x}}}\)\( = {\left( {{3^4}} \right)^x} + \sqrt[4]{{{3^x}{{.27}^x}}}\)\( = {\left( {{3^4}} \right)^x} + \sqrt[4]{{{{\left( {{3^x}} \right)}^4}}}\)\( = {5^4} + 5 = 630\).
Trả lời: 630.
Số lượng vi khuẩ V trong phòng thí nghiệm tính theo công thức s(t) = s0.2t trong đó s0 là số lượng vi khuẩn V lúc đầu, s(t) là số lượng vi khuẩn có trong t phút. Biết sau 3 phút thì số lượng vi khuẩn A là 625 nghìn con. Sau 9 phút thì số lượng vi khuẩn V có dạng a.10b (con), với a; b là số tự nhiên, tính giá trị S = a + b?
Vì sau 3 phút thì số lượng vi khuẩn A là 625 nghìn con nên 625000 = s0.23.
Số lượng vi khuẩn V sau 9 phút là:
\(s\left( t \right) = \frac{{625000}}{{{2^3}}}{.2^9} = {625000.2^6} = {4.10^7}\) (con).
Suy ra a = 4; b = 7. Do đó S = 11.
Trả lời: 11.
