Bài tập So sánh các biểu thức chứa lũy thừa lớp 11 (có lời giải)

Đáp án đúng là: D

Theo tính chất hailũy thừa cùng cơ số ta có: 0 < a < 1, a^m > aⁿ ⇔ m < n.

Đáp án đúng là: C

Do $a^{\sqrt{3}}<a^{\sqrt{2}}$ và $\sqrt{3}>\sqrt{2}$ suy ra 0 < a < 1.

Vậy nếu  $a^{\sqrt{3}}<a^{\sqrt{2}}$  thì 0 < a < 1.

Đáp án đúng là: A

Đáp án đúng là: A

Do $\sqrt{3}<\sqrt{5}$ và với a > 1 nên $a^{\sqrt{3}}<a^{\sqrt{5}}$ hay $\frac{1}{a^{\sqrt{3}}}>\frac{1}{a^{\sqrt{5}}}.$

Mà$\frac{1}{a^{\sqrt{3}}}=a^{-\sqrt{3}}$nên  $a^{-\sqrt{3}}>\frac{1}{a^{\sqrt{5}}}.$

Đáp án đúng là: D

Do 0 < 0,25π < 1 nên (0,25π)^α > (0,25π)^β⇔α < β.

Đáp án đúng là: B

Do $0<\sqrt{2}<\sqrt{3}$ nên  ${\left(\sqrt{2}\right)}^a>{\left(\sqrt{3}\right)}^a\iff a<0.$

Đáp án đúng là: A

Đáp án đúng là: A

Do $-\frac{3}{2}<\frac{2}{3}$ nên $a^{-\frac{3}{2}}<a^{\frac{2}{3}}\iff a>1.$

Đáp án đúng là: C

Do $\frac{1}{10}>0$  nên để ${\left(2a-2\right)}^{\frac{1}{10}}<{\left(a+2\right)}^{\frac{1}{10}}$ thì 0 < 2a – 2 < a + 2 ⇔ 1 < a < 4. 

Đáp án đúng là: D

Ta có: $-2\sqrt{3}=-\sqrt{12}$  và $-3\sqrt{2}=-\sqrt{18}$  nên $-2\sqrt{3}>-3\sqrt{2}.$

Để ${\left(m-1\right)}^{-2\sqrt{3}}>{(m-1)}^{-3\sqrt{2}}$ thì m – 1 > 1 ⇔ m > 2.

Vậy với m > 2 thì ${\left(m-1\right)}^{-2\sqrt{3}}>{(m-1)}^{-3\sqrt{2}}.$

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Dựa vào tính chất so sánh hai lũy thừa cùng cơ số:

Với cơ số a = \(\sqrt 2 \) > 1, do m < n nên \({\left( {\sqrt 2 } \right)^m}\) < \({\left( {\sqrt 2 } \right)^n}\). (A đúng)

Với cơ số a = \(\frac{1}{3}\) < 1, do m < n nên \({\left( {\frac{1}{3}} \right)^m}\) > \({\left( {\frac{1}{3}} \right)^n}\). (B đúng)

Với cơ số a = \(\frac{\pi }{4}\) < 1 (vì π ≈ 3,14), do m < n nên \({\left( {\frac{\pi }{4}} \right)^m}\) > \({\left( {\frac{\pi }{4}} \right)^n}\). (C sai)

Với cơ số a = \(\sqrt 3 \) - 1 < 1 (vì \(\sqrt 3 \) ≈ 1,732), do m < n nên \({\left( {\sqrt 3 - 1} \right)^m}\) > \({\left( {\sqrt 3 - 1} \right)^n}\). (D đúng)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có \(\sqrt 3 \) < \(\sqrt 5 \) mà \({a^{\sqrt 3 }}\) > \({a^{\sqrt 5 }}\). Suy ra 0 < a < 1.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có 0,25 = \(\frac{1}{4}\). Tiến hành cụ thể giá trị của từng số được cho trong đề bài:

\({\left( {0,25} \right)^{ - 1}} = {\left( {\frac{1}{4}} \right)^{ - 1}} = {4^1} = 4\)

\({\left( {0,25} \right)^{\frac{1}{2}}} = {\left( {\frac{1}{4}} \right)^{\frac{1}{2}}} = \sqrt {\frac{1}{4}} = \frac{1}{2} = 0,5\)

\({\left( {0,25} \right)^2} = {\left( {\frac{1}{4}} \right)^2} = \frac{1}{{16}} = 0,0625\)

\({\left( {0,25} \right)^{ - 2}} = {\left( {\frac{1}{4}} \right)^{ - 2}} = {4^2} = 16\)

So sánh các kết quả, ta có: 16 > 4 > 0,5 > 0,0625

⇒ (0,25)^-2 là số lớn nhất.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có: y = \({4^{\sqrt 2 }}\) = \({\left( {{2^2}} \right)^{\sqrt 2 }} = {2^{2\sqrt 2 }} = {2^{\sqrt 8 }}\).

Vì 5 < 8 ⇒ \(\sqrt 5 < \sqrt 8 \).

Mặt khác, cơ số 2 > 1 nên \({2^{\sqrt 5 }}\) < \({2^{\sqrt 8 }}\) ⇒ x < y.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Theo tính chất cơ bản của lũy thừa: Với hai số thực dương a, b và số mũ thực m > 0, ta luôn có a^m < b^m khi a < b.

Áp dụng tính chất trên với số mũ m = \(\sqrt 2 \) > 0, giả thiết đề bài cho \({a^{\sqrt 2 }}\) < \({b^{\sqrt 2 }}\) ⇒ a < b.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.           b) Sai.                   c) Đúng.               d) Sai.

a) Đúng. Do \(\sqrt 5 \) ≈ 2,236 nên a = \(\sqrt 5 - 2\) ≈ 0,236 ⇒ 0 < a < 1.

b) Sai. Vì 0 < a < 1 và số mũ \(\sqrt 2 < \sqrt 3 \) nên \({a^{\sqrt 2 }}\) > \({a^{\sqrt 3 }}\).

c) Đúng. Vì 0 < a < 1 và số mũ -2 < -1 nên a^-2 > a^-1.

d) Sai. Vì 0 < a < 1 và 0,5 > 0 nên a^0,5 < a⁰ = 1.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.           b) Sai.                  c) Đúng.              d) Đúng.

a) Đúng. Cơ số \(\frac{1}{2}\) < 1, số mũ \(\frac{1}{3}\) > \(\frac{1}{4}\) nên \({\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{1}{3}}}\) < \({\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{1}{4}}}\).

b) Sai. Cơ số \(\frac{\pi }{3}\) > 1 (do π > 3), số mũ \(\sqrt 2 \) < \(\sqrt 3 \) nên \({\left( {\frac{\pi }{3}} \right)^{\sqrt 2 }}\)< \({\left( {\frac{\pi }{3}} \right)^{\sqrt 3 }}\).

c) Đúng. Cơ số \(\sqrt 3 \) > 1, số mũ -1,5 < -1,2 nên \({\left( {\sqrt 3 } \right)^{ - 1,5}}\)< \({\left( {\sqrt 3 } \right)^{ - 1,2}}\).

d) Đúng. \({27^{\sqrt 2 }} = {3^{3\sqrt 2 }} = {3^{\sqrt {18} }};{9^{\sqrt 3 }} = {3^{2\sqrt 3 }} = {3^{\sqrt {12} }}\).

Vì 18 > 12 nên \[\sqrt {18} \] > \(\sqrt {12} \), mà cơ số 3 > 1 nên \({3^{\sqrt {18} }}\) > \({3^{\sqrt {12} }}\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.           b) Sai.                   c) Đúng.               d) Sai.

a) Đúng. Từ a^π > a³ và π > 3 (cùng chiều) ⇒ a > 1.

b) Sai. Từ \[{b^{\sqrt 2 }} < {b^{\sqrt 3 }}\] và \(\sqrt 2 \) < \(\sqrt 3 \) (cùng chiều) ⇒ b > 1.

c) Đúng. Vì a > 1 và \(\sqrt 5 \) > 2 nên \({a^{\sqrt 5 }}\) > a².

d) Sai. Vì b > 1 và -2 > -3 nên b^-2 > b^-3.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.           b) Đúng.               c) Sai.                   d) Đúng.

Nhận xét: Cơ số của f(x) là u = \(\sqrt 2 - 1\) < 1. Cơ số của g(x) là v = \(\sqrt 2 + 1\) > 1.

Ta có u ∙ v = (\(\sqrt 2 - 1\))(\(\sqrt 2 + 1\)) = 2 – 1 = 1. Do đó v = u^-1.

a) Đúng. Vì 0 < u < 1 nên khi x > 0 ta có u^x < u⁰ = 1.

b) Đúng. Vì v > 1 nên khi x < 0 ta có v^x < v⁰ = 1.

c) Sai. Ta có g(-2) = v^-2 = (u^-1)^-2 = u² = f(2). Vậy f(2) = g(-2).

d) Đúng. f(x) ∙ g(x) = \({\left( {\sqrt 2 - 1} \right)^x}\)∙ \({\left( {\sqrt 2 + 1} \right)^x}\) = \({\left[ {\left( {\sqrt 2 - 1} \right)\left( {\sqrt 2 + 1} \right)} \right]^x}\) = 1^x = 1.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.           b) Đúng.               c) Đúng.               d) Sai.

a) Đúng. Do π > e, giả thiết cho: x^π < x^e  ⇒ cơ số x phải thỏa mãn điều kiện 0 < x < 1.

b) Đúng. Ta có \(\sqrt 2 < \sqrt 3 \), mà giả thiết cho \({\left( {x - 1} \right)^{\sqrt 2 }}\) > \({\left( {x - 1} \right)^{\sqrt 3 }}\) ⇒ 0 < x - 1 < 1.

⇒ 1 < x < 2.

c) Đúng. Ta có \( - \sqrt 5 < - \sqrt 3 \), mà giả thiết cho \({x^{ - \sqrt 5 }}\) < \({x^{ - \sqrt 3 }}\) ⇒ x > 1.

d) Sai. Nếu \({x^{\sqrt 2 }}\) = \({x^{\sqrt 3 }}\) thì \(\frac{{{x^{\sqrt 3 }}}}{{{x^{\sqrt 2 }}}}\) = 1 ⇒ \({x^{\sqrt 3 - \sqrt 2 }}\) = 1.

Vì số mũ \(\sqrt 3 - \sqrt 2 \) ≠ 0 ⇒ x = 1. Trái với điều kiện x ≠  1.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: -3

Ta có: \(25 = \frac{1}{{0,04}} = \frac{1}{{{{0,2}^2}}} = {0,2^{ - 2}}\).

Điều kiện đã cho trở thành: (0,2)^x > (0,2)^-2

Áp dụng tính chất so sánh hai lũy thừa cùng cơ số (do 0 < 0,2 < 1), ta suy ra: x < -2.

Số nguyên lớn nhất nhỏ hơn -2 là -3.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 3

Ta có 2,5 = \(\frac{5}{2}\). Và 0,4 = \(\frac{2}{5}\) = \({\left( {\frac{5}{2}} \right)^{ - 1}}\).

Khi đó: \({\left( {\frac{5}{2}} \right)^n}\) < \({\left[ {{{\left( {\frac{5}{2}} \right)}^{ - 1}}} \right]^{ - 3}}\) hay \({\left( {\frac{5}{2}} \right)^n}\) < \({\left( {\frac{5}{2}} \right)^3}\).

Áp dụng tính chất so sánh hai lũy thừa cùng cơ số (do cơ số \(\frac{5}{2}\) > 1), suy ra: n < 3.

Các số tự nhiên n thỏa mãn điều kiện này là 0; 1 và 2.

Vậy có tất cả 3 số tự nhiên.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 5

Ta có: 1 = 3⁰.

⇒ \({3^{{x^2} - 4x}}\) ≤  3⁰.

Áp dụng tính chất so sánh hai lũy thừa cùng cơ số (do cơ số 3 > 1), ta suy ra: x² – 4x ≤ 0

⇔ 0 ≤ x ≤ 4.

Vì x là số nguyên nên x thuộc tập hợp {0; 1; 2; 3; 4}.

Tất cả 5 giá trị này đều nằm trong đoạn [-5; 5].

Vậy có tất cả 5 số nguyên x thỏa mãn.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 2

Ta có:

a = \({\left( {{3^{ - 1}}} \right)^{ - \sqrt 5 }} = {3^{\sqrt 5 }}\)

b = \({3^{\sqrt 3 }}\)

c = (3^-2)^-1 = 3²

Vì \(\sqrt 5 > 2\), \(\sqrt 3 < 2\) ⇒ \({3^{\sqrt 3 }} < {3^2} < {3^{\sqrt 5 }}\). Mà 3² = 9

⇒ b < 9, c = 9, a > 9 ⇒ Chỉ có 1 biểu thức có giá trị lớn hơn 9.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 1

Đưa hai vế về cùng cơ số 2:

Vế trái: \({8^{\sqrt x }}\) = \({\left( {{2^3}} \right)^{\sqrt x }} = {2^{3\sqrt x }}\).

Vế phải: \({4^{\sqrt {x + 1} }}\) = \({\left( {{2^2}} \right)^{\sqrt {x + 1} }} = {2^{2\sqrt {x + 1} }}\).

Khi đó: \({2^{3\sqrt x }}\) > \({2^{2\sqrt {x + 1} }}\). Vì cơ số 2 > 1 nên: \(3\sqrt x \) > \(2\sqrt {x + 1} \).

Bình phương hai vế (do x là số dương nên hai vế đều dương): 9x > 4(x + 1)

Hay 9x > 4x + 4 ⇔ 5x > 4 ⇔ x > 0,8.

Số nguyên dương x nhỏ nhất lớn hơn 0,8 chính là 1.