Bài tập ôn tập chương 1

y = 4${\mathrm{x}}^3$ + x, y′ = 12${\mathrm{x}}^2$ + 1 > 0, $\forall$ x $\in$ R

Bảng biến thiên:

Đồ thị:

Giả sử tiếp điểm cần tìm có tọa độ (${\mathrm{x}}_0$; ${\mathrm{y}}_0$) thì f′(${\mathrm{x}}_0$) = 12${{\mathrm{x}}^2}_0$ + 1 = 13 (vì tiếp tuyến song song với đường thẳng (d): y = 3x + 1). Từ đó ta có: ${\mathrm{x}}_0$ = 1 hoặc ${\mathrm{x}}_0$ = -1

Vậy có hai tiếp tuyến phải tìm là y = 13x + 8 hoặc y = 13x - 8

Vì y’ = 12${\mathrm{x}}^2$ + m nên m $\ge$ 0; y” = –6(${\mathrm{m}}^2$ + 5m)x + 12m

    +) Với m $\ge$ 0 ta có y’ > 0 (khi m = 0; y’ = 0 tại x = 0).

Vậy hàm số (1) luôn luôn đồng biến khi m $\ge$ 0; y” = –6(${\mathrm{m}}^2$ + 5m)x + 12m

    +) Với m < 0 thì y = 0 ⇔ 

Từ đó suy ra:

y’ > 0 với

y’ < 0 với

Vậy hàm số (1) đồng biến trên các khoảng

và nghịch biến trên khoảng

y = –(${\mathrm{m}}^2$ + 5m)${\mathrm{x}}^3$ + 6m${\mathrm{x}}^2$ + 6x – 5

y′ = –3(${\mathrm{m}}^2$ + 5m)${\mathrm{x}}^2$ + 12mx + 6

Hàm số đơn điệu trên R khi và chỉ khi y’ không đổi dấu.

Ta xét các trường hợp:

    +) ${\mathrm{m}}^2$ + 5m = 0 ⇔ 

– Với m = 0 thì y’ = 6 nên hàm số luôn đồng biến.

– Với m = -5 thì y’ = -60x + 6 đổi dấu khi x đi qua .

    +) Với ${\mathrm{m}}^2$ + 5m $\ne$ 0. Khi đó, y’ không đổi dấu nếu

$∆$' = 36${\mathrm{m}}^2$ + 18(${\mathrm{m}}^2$ + 5m) $\le$ 0 ⇔ 3${\mathrm{m}}^2$ + 5m $\le$ 0 ⇔ –5/3 $\le$ m $\le$ 0

– Với điều kiện đó, ta có –3(${\mathrm{m}}^2$ + 5m) > 0 nên y’ > 0 và do đó hàm số đồng biến trên R.

Vậy với điều kiện –5/3 $\le$ m $\le$ 0 thì hàm số đồng biến trên R.

Nếu hàm số đạt cực đại tại x = 1 thì y’(1) = 0. Khi đó:

y′(1) = –3${\mathrm{m}}^2$ – 3m + 6 = 0 ⇔ 

Mặt khác, y” = –6(${\mathrm{m}}^2$ + 5m)x + 12m

    +) Với m = 1 thì y’’ = -36x + 12. Khi đó, y’’(1) = -24 < 0 , hàm số đạt cực đại tại x = 1.

    +) Với m = -2 thì y’’ = 36x – 24. Khi đó, y’’(1) = 12 > 0, hàm số đạt cực tiểu tại x = 1.

Vậy với m = 1 thì hàm số đạt cực đại tại x = 1.

Ta có

y' = (a - 1)${\mathrm{x}}^2$ + 2ax + 3a - 2.

Với a = 1, y' = 2x + 1 đổi dấu khi x đi qua -1/2. Hàm số không đồng biến.

Với a $\ne$ 1 thì với mọi x mà tại đó y' ≥ 0

(y' = 0 chỉ tại x = -2, khi a = 2).

Vậy với a $\ge$ 2 hàm số luôn đồng biến

Đồ thị cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình y = 0 có ba nghiệm phân biệt. Ta có

y = 0 có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình

(a - 1)${\mathrm{x}}^2$ + 3ax + 9a - 6 = 0

Có hai nghiệm phân biệt khác 0. Muốn vậy, ta phải có

Giải hệ trên, ta được:

Khi a = 3/2 thì

y' = 0 ⇔ ${\mathrm{x}}^2$ + 6x + 5 = 0 ⇔ x = -1 hoặc x = -5.

Đồ thị như trên Hình 1.18

Vì

nên từ đồ thị (C) ta suy ngay ra đồ thị của hàm số

như trên Hình 1.19

TXĐ: D = R

Sự biến thiên:

y′ = 3${\mathrm{x}}^2$ – 6x = 3x(x – 2)

y′=0 ⇔ 

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (–$\infty$;0), (2;+$\infty$)

Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 2).

Hàm số đạt cực đại tại x = 0 ; ${\mathrm{y}}_{\mathrm{CĐ}}$ = y(0) = 0

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2; ${\mathrm{y}}_{\mathrm{CT}}$ = y(2) = -4.

Giới hạn: 

Điểm uốn: y” = 6x – 6, y” = 0 ⇔ x = 1; y(1) = –2

Suy ra đồ thị có điểm uốn I(1; -2)

Bảng biến thiên:

Đồ thị:

Đồ thị cắt trục hoành tại O(0;0), A(3;0). Đồ thị đi qua điểm B(-1;-4); C(2;-4).

${\mathrm{x}}^3$ – 3${\mathrm{x}}^2$ – m = 0 ⇔ ${\mathrm{x}}^3$ – 3${\mathrm{x}}^2$ = m${\mathrm{x}}^3$ – 3${\mathrm{x}}^2$ – m = 0 ⇔ ${\mathrm{x}}^3$ – 3${\mathrm{x}}^2$ = m (∗)

Phương trình (∗) có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi đường thẳng y = m cắt (C) tại 3 điểm phân biệt. Từ đó suy ra: – 4 < m < 0.

Ta có: y′ = –4${\mathrm{x}}^3$ – 2x

Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = x/6 – 1 nên tiếp tuyến có hệ số góc là –6. Vì vậy:

–4${\mathrm{x}}^3$ – 2x = –6

⇔ 2${\mathrm{x}}^3$ + x – 3 = 0

⇔ 2(${\mathrm{x}}^3$ – 1) + (x – 1) = 0

⇔ (x – 1)(2${\mathrm{x}}^2$ + 2x + 3) = 0

⇔ x = 1(2${\mathrm{x}}^2$ + 2x + 3 > 0, $\forall$x)

Ta có: y(1) = 4

Phương trình phải tìm là: y – 4 = -6(x – 1) ⇔ y = -6x + 10

y = ${\mathrm{x}}^4$ – 2${\mathrm{x}}^2$

y′ = 4${\mathrm{x}}^3$ – 4x = 4x(${\mathrm{x}}^2$ – 1)

y′ = 0 ⇔ 

Bảng biến thiên:

Đồ thị

y′ = 4${\mathrm{x}}^3$ – 4mx = 4x(${\mathrm{x}}^2$ – m)

Để (${\mathrm{C}}_{\mathrm{m}}$) tiếp xúc với trục hoành tại hai điểm phân biệt thì điều kiện cần và đủ là phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 0 và ${\mathrm{y}}_{\mathrm{CT}}$ = 0.

    +) Nếu m $\le$ 0 thì ${\mathrm{x}}^2$ – m $\ge$ 0 với mọi x nên đồ thị không thể tiếp xúc với trục Ox tại hai điểm phân biệt.

    +) Nếu m > 0 thì y’ = 0 khi x = 0; x = $\sqrt{\mathrm{m}}$ hoặc x = -$\sqrt{\mathrm{m}}$

f($\sqrt{\mathrm{m}}$) = 0 ⇔ ${\mathrm{m}}^2$ – 2${\mathrm{m}}^2$ + ${\mathrm{m}}^3$ – ${\mathrm{m}}^2$ = 0 ⇔ ${\mathrm{m}}^2$(m – 2) = 0 ⇔ m = 2 (do m > 0)

Vậy m = 2 là giá trị cần tìm

Phương trình tiếp tuyến tại điểm ${\mathrm{M}}_{\mathrm{o}}$(${\mathrm{x}}_{\mathrm{o}}$; ${\mathrm{y}}_{\mathrm{o}}$) là:

y – ${\mathrm{y}}_{\mathrm{o}}$ = y’(${\mathrm{x}}_{\mathrm{o}}$)(x – ${\mathrm{x}}_{\mathrm{o}}$)

Trong đó:

Ta có:

Để đường thẳng đó đi qua O(0; 0), điều kiện cần và đủ là:

⇔ ${\mathrm{x}}_{\mathrm{o}}$ = –1 - $\sqrt{3}$ hoặc ${\mathrm{x}}_{\mathrm{o}}$ = –1 + $\sqrt{3}$

    +) Với ${\mathrm{x}}_{\mathrm{o}}$ = –1 + $\sqrt{3}$, ta có phương trình tiếp tuyến:

    +) Với ${\mathrm{x}}_{\mathrm{o}}$ = –1 – $\sqrt{3}$, ta có phương trình tiếp tuyến:

Để tìm trên (C) các điểm có tọa độ nguyên ta có:

Điều kiện cần và đủ để M(x, y) $\in$ (C) có tọa độ nguyên là:

tức (x – 2) là ước của 9.

Khi đó, x – 2 nhận các giá trị -1; 1; -3; 3; -9; 9 hay x nhận các giá trị 1; 3; -1; 5; -7; 11.

Do đó, ta có 6 điểm trên (C) có tọa độ nguyên là: (1;-6), (3;12), (-1;0), (5;6), (-7;2), (11;4).

Tiệm cận đứng là đường thẳng x = 3.

Tiệm cận ngang là đường thẳng y = 1.

Do đó, giao điểm của hai đường tiệm cận là I(3; 1). Thực hiện phép biến đổi:

Ta được

Vì Y = 5/X là hàm số lẻ nên đồ thị (C) của hàm số này có tâm đối xứng là gốc tọa độ I của hệ tọa độ IXY.

Giả sử M(${\mathrm{x}}_{\mathrm{o}}$; ${\mathrm{y}}_{\mathrm{o}}$) ∈ (C). Gọi ${\mathrm{d}}_1$ là khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng và ${\mathrm{d}}_2$ là khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang, ta có:

Có hai điểm thỏa mãn đầu bài, đó là hai điểm có hoành độ ${\mathrm{x}}_{\mathrm{o}}$ = 3 + $\sqrt{5}$ hoặc ${\mathrm{x}}_{\mathrm{o}}$ = 3 - $\sqrt{5}$

Hàm số f(x) = 3${\mathrm{x}}^5$ + 15x - 8 là hàm số liên tục và có đạo hàm trên R.

Vì f(0) = -8 < 0, f(1) = 10 > 0 nên tồn tại một số ${\mathrm{x}}_0$ $\in$ (0;1) sao cho f(${\mathrm{x}}_0$) = 0, tức là phương trình f(x) = 0 có nghiệm.

Mặt khác, ta có y' = 15${\mathrm{x}}^4$ + 5 > 0, $\forall$x $\in$ R nên hàm số đã cho luôn đồng biến. Vậy phương trình đó chỉ có một nghiệm.

Đáp án: A.

Hàm số dạng này có một điểm cực đại tại x = 0. Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (-$\infty$; 0).

Đáp án: D.

⇔ $∆$′ = 2m + 5 $\le$ 0

dấu “=” xảy ra nhiều nhất tại hai điểm, nên hàm số nghịch biến trên các khoảng (-$\infty$; 2)

và (2; +$\infty$) khi m $\le$ −5/2.

Đáp án: C

Ta có y(0) = 2, y(a) = ${\mathrm{a}}^4$ + 3a${\mathrm{x}}^2$ + 2 > 2 với mọi a $\ne$ 0.

Vậy hàm số có một điểm cực tiểu là x = 0.

Đáp án: B.

Với mọi x ta đều có

nên hàm số đạt giá trị lớn nhất khi x = -1 hay max y = 2

Đáp án: A.

Đáp án: C.

Hàm số

$\mathrm{y}=\frac{{\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}-3}{\mathrm{x}-2}$

không xác định tại x = 2 nên phải loại (A), (B).

Thay x = 3 vào hàm số trên, ta được y(3) = 0. Mặt khác, hàm số thứ hai có giá trị là 4 khi x = 3, do đó loại (D). Vậy (C) là khẳng định đúng.

Đáp án: D.

Vì ${\mathrm{x}}^2$ + x + 4 > 0 với mọi x nên phương trình (x − 3)(${\mathrm{x}}^2$ + x + 4) = 0 chỉ có một nghiệm là x = 3. Do đó, đồ thị của hàm số đã cho chỉ có một giao điểm với trục hoành.

Đáp án: C.

Để có cực đại, cực tiểu, phương trình y' = 3${\mathrm{x}}^2$ + 2mx = 0 phải có hai nghiệm phân biệt.

Phương trình y' = x(3x + 2m) = 0 có hai nghiệm phân biệt ${\mathrm{x}}_1$ = 0, ${\mathrm{x}}_2$ = -2m/3 khi và chỉ khi x $\ne$ 0.

Đáp án: B.

Với m = 0, phương trình 2${\mathrm{x}}^3$ - 5 = 0 có nghiệm duy nhất.

Với m $\ne$ 0, đồ thị hàm số y = 2${\mathrm{x}}^3$ + 3m${\mathrm{x}}^2$ - 5 chỉ cắt Ox tại một điểm khi ${\mathrm{y}}_{\mathrm{CĐ}}.{\mathrm{y}}_{\mathrm{CT}}$ > 0. Ta có y' = 6${\mathrm{x}}^2$ + 6mx = 6x(x + m) = 0 có hai nghiệm là x = 0, x = -m; y(0) = -5, y(-m) = -2${\mathrm{m}}^3$ + 3${\mathrm{m}}^3$ - 5 = ${\mathrm{m}}^3$ - 5.

Suy ra y(0).y(-m) = -5(${\mathrm{m}}^3$ - 5) > 0 ⇔ m < $\sqrt[3]{5}$

Đáp án: C.

y = -3 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

Đáp án: B.

Xét f(x) = ${\mathrm{x}}^3$ + m${\mathrm{x}}^2$ + x - 5

Vì 

và f(0) = -5 với mọi m $\in$ R cho nên phương trình f(x) = 0 luôn có nghiệm dương.

Đáp án B

Đáp án: D.

Xét hàm số

Ta có: y' = ${\mathrm{x}}^2$ - mx = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 3

Nếu m = 0: Phương trình thành ${\mathrm{x}}^3$/3 - 5 = 0, có nghiệm duy nhất.

Nếu m $\ne$ 0: Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi cực đại và cực tiểu của hàm số

cùng dấu.