Bài tập Mô tả và vận dụng hằng đẳng thức lập phương của một tổng để tính nhanh, khai triển, rút gọn biểu thức lớp 8 (có lời giải)
25 câu hỏi
Rút gọn biểu thức (x + y)3 – (x – y)3 ta được
2(3x2 + y2);
2y(3x + y2);
2y(3x2 + y);
2y(3x2 + y2).
Đáp án đúng là: D
Ta có (x + y)3 – (x – y)3
= (x3 + 3x2y + 3xy2 + y3) – (x3 – 3x2y + 3xy2 – y3)
= x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 – x3 + 3x2y – 3xy2 + y3
= 6x2y + 2y3 = 2y(3x2 + y2).
Do đó ta chọn đáp án D.
Viết biểu thức x3 + 9x2 + 27x + 27 dưới dạng lập phương của một tổng ta được biểu thức nào?
(x + 9)3;
(x + 3)3;
(3x + 3)3;
(x + 27)3.
Đáp án đúng là: B
Ta có x3 + 9x2 + 27x + 27 = x3 + 3.x2.3 + 3.x.32 + 33 = (x + 3)3.
Do đó ta chọn đáp án B.
Khai triển biểu thức (x + 4)3 ta được biểu thức nào dưới đây?
x3 + 12x + 48x + 64;
x3 + 12x2 + 8x + 64;
x3 + 12x2 + 48x + 4;
x3 + 12x2 + 48x + 64.
Đáp án đúng là: D
Ta có: (x + 4)3 = x + 3.x2.4 + 3.x.42 + 43
= x3 + 12x2 + 48x + 64.
Do đó ta chọn đáp án D.
Giá trị biểu thức x3 + 9x2 + 27x + 27 với x = 2 là
25;
125;
75;
105.
Đáp án đúng là: B
Ta có x3 + 9x2 + 27x + 27 = x3 + 3.x2.3 + 3. x .32 + 33 = (x + 3)3.
Thay x = 2 vào biểu thức (x + 3)3 ta được (2 + 3) = 5 = 125.
Do đó ta chọn đáp án B.
Viết biểu thức y3 + 15y2 + 75y + 125 dưới dạng lập phương của một tổng ta được biểu thức nào dưới đây?
(3y + 5)3;
(y + 25)3;
(y + 5)3;
(y + 15)3;
Đáp án đúng là: C
Ta có y3 + 15y2 + 75y + 125 = y3 + 3.y2.5 + 3.y.52 + 5 = (y + 5)3.
Do đó ta chọn đáp án C.
Giá trị biểu thức x3 + 9x2y + 27xy2 + 27y3 với x = 1; y = 2 là
343;
434;
333;
444.
Đáp án đúng là: A
Ta có x3 + 9x2y + 27xy2 + 27y3
= x3 + 3 . x2. 3y + 3 . x . (3y)2 + (3y)3
= (x + 3y)3.
Thay x = 1; y = 2 vào biểu thức (x + 3y)3, ta được:
x3 + 9x2y + 27xy2 + 27y3 = (1 + 3.2)3 = 73 = 343.
Do đó ta chọn đáp án A.
Khai triển biểu thức (2x + 3y)3 ta được biểu thức nào?
8x3 + 36xy + 54xy2 + 27y3;
8x3 + 36x2y + 54xy + 27y3;
8x + 36x2y + 54xy2 + 27y3;
8x3 + 36x2y + 54xy2 + 27y3.
Đáp án đúng là: D
Ta có (2x + 3y)3 = 23x3 + 3. (2x)2.3y + 3.2x. (3y)2 + (3y)3
= 8x3 + 36x2y + 54xy2 + 27y3.
Do đó ta chọn đáp án D.
Biểu thức 125x3 + 70x2 + 5x2 + 15x + 1 viết dưới dạng lập phương của một tổng là
(x + 15)3;
(5x + 1)3;
(x + 1)3;
(5x + 5)3.
Đáp án đúng là: B
Ta có125x3 + 70x2 + 5x2 + 15x + 1
= 125x3 + 75x2 + 15x + 1
= (5x)3 + 3. (5x)2.1 + 3.5x .12 + 13
= (5x + 1)3.
Do đó ta chọn đáp án B.
Khai triển biểu thức (2 + x)3 ta được biểu thức nào?
8 + 12x + 6x2 + x3;
8 + 12x + 6x + x3;
8 + 12x + 6x2 + 2x3;
8 + 12x2 + 6x + x3.
Đáp án đúng là: A
Ta có (2 + x)3 = 23 + 3.22.x + 3.2x2 + x3
= 8 + 12x + 6x2 + x3.
Do đó ta chọn đáp án A.
Viết biểu thức y3 + 15y2 + 75y + 100 + 25 dưới dạng lập phương của một tổng ta được
(5y + 1)3;
(y + 25)3;
(y + 5)3;
(y + 15)3;
Đáp án đúng là: C
Ta có y3 + 15y2 + 75y + 100 + 25
= y3 + 15y2 + 75y + 125
= y3 + 3 . y2.5 + 3 . y . 52 + 53 = (y + 5)3.
Do đó ta chọn đáp án C.
Công thức nào sau đây mô tả đúng hằng đẳng thức lập phương của một tổng?
A3 + B3 = (A + B)(A2 + AB + B2).
(A + B)3 = A3 + 3AB + 3AB2 + B3 .
(A + B)3 = A3 – 2AB + B3.
(A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng: D
Theo định nghĩa và quy tắc: (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3.Khai triển biểu thức (x + 3)3 ta được kết quả nào sau đây?
x3 + 9x2 + 27x + 9.
x3 + 3x2 + 27x + 27.
x3 + 9x2 + 27x + 27.
x3 + 3x2 + 9x + 9.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng: C
Ta có (x + 3)3 = x3 + 3x2 . 3 + 3x . 32 + 33 = x3 + 9x2 + 27x + 27.Biểu thức x3 + 6x2 + 12x + 8 bằng biểu thức nào sau đây?
(x + 1)3.
(x + 2)3.
(x – 2)3.
(x + 4)3.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng: B
Ta có x3 + 6x2 + 12x + 8 = x3 + 3x2 . 2 + 3x . 22 + 23 = (x + 2)3Biểu thức M = (1 + 2y)3 + 6(1 + 2y)2 + 12(1 + 2y) + (1 + 2y)3 bằng biểu thức nào sau đây?
(1 + 2y)3.
3 + 8y3.
2 + 8y3.
(3 + 2y)3.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng: D
Ta có M = (1 + 2y)3 + 6(1 + 2y)2 + 12(1 + 2y) + (1 + 2y)3
= (1 + 2y)3 + 3(1 + 2y)2 . 2 + 3(1 + 2y) . 22 + (1 + 2y)3
= (1 + 2y + 2)3 = (3 + 2y)3.
A = – y2 + 10y – 1.
A = – y2 + 6y – 1.
A = – y2 + 10y + 1.
A = – y2 + 6y + 1.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng: A
A = (y + 1)3 + (–1 + y)3 – 2y(y – 1)(1 + y) – (y – 1)2
= y3 + 3y2 + 3y + 1 + (–1) + 3y – 3y2 + y3 – 2y(y2 – 1) – (y2 – 2y + 1)
= 2y3 + 6y – 2y3 + 2y – y2 + 2y – 1
= – y2 + 10y – 1.
Cho biểu thức A = (2x + 1)3. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
Hằng đẳng thức này có dạng lập phương của một tổng.
Sau khi thu gọn, A = 8x3 + 6x2 + 6x + 1.
Hệ số của hạng tử chứa x2 sau khi khai triển là 6.
Tại x = 0,5 thì giá trị của biểu thức A bằng 8.
Hướng dẫn giải
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng. Biểu thức A có dạng lập phương của một tổng.
b) Sai. Ta có A = (2x)3 + 3.(2x)2.1 + 3.2x.12 + 13 = 8x3 + 12x2 + 6x + 1.
c) Sai. Hệ số của hạng tử chứa x2 là 12.
d) Đúng. Thay x = 0,5 vào biểu thức A ta được (2 . 0,5 + 1)3 = 23 = 8.Xét biểu thức thu gọn M = x3 + 9x2 + 27x + 27. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
Biểu thức M có thể viết gọn lại dưới dạng bình phương của một tổng.
M = –(–x + 3)3.
Với x = 97, ta có thể tính nhanh giá trị của M bằng cách tính 1003 = 1 000 000.
Giá trị của biểu thức M luôn là một số dương.
Hướng dẫn giải
Đáp án: a) Sai. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.
a) Sai. Biểu thức viết gọn dưới dạng lập phương của một tổng với hạng tử thứ nhất là x, hạng tử thứ hai là 3.
b) Sai. Vì M = x3 + 3.x2.3 + 3x.32 + 33 = (x + 3)3 ≠ –(–x + 3)3.
c) Đúng. Thay x = 97 vào biểu thức thu gọn của M ta được:
(97 + 3)3 = 1003 = 1 000 000.
d) Sai. Tại x = –3 thì M = (–3 + 3)3 = 0 (không phải là số dương).Cho hai biểu thức: P = (x + 3)3 và Q = x(x + 5)2. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
Khai triển biểu thức P ta được P = x3 + 9x2 + 9x + 27.
Biểu thức A = P – Q = –x2 + 2x + 27.
Biểu thức A có thể viết lại thành A = 26 – (x – 1)2.
Biểu thức A có giá trị lớn nhất bằng 28 khi x = 1.
Hướng dẫn giải
Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.
a) Sai. Ta có P = (x + 3)3 = x3 + 3x2.3 + 3x.32 + 33 = x3 + 9x2 + 27x + 27.
b) Đúng. Ta có Q = x(x + 5)2 = x3 + 10x2 + 25x.
A = P – Q = (x3 + 9x2 + 27x + 27) – (x3 + 10x2 + 25x)= –x2 + 2x + 27.
c) Sai.Xét đa thức A = –x2 + 2x + 27
= –(x2 – 2x – 27)
= –(x2 – 2x + 1 – 28)
= –(x – 1)2 + 28.
d) Đúng. Ta có A = –(x – 1)2 + 28
Vì (x – 1)2 ≥ 0 với mọi x nên –(x – 1)2 ≤ 0 với mọi x, suy ra A = –(x – 1)2 + 28 ≤ 28.
Dấu "=" xảy ra khi x – 1 = 0 hay x = 1.
Vậy giá trị lớn nhất của A là 28 tại x = 1.Cho hai biểu thức: P = (x + 2)3 và Q = –x(x + 3)2 + (x + 2)(x – 2). Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
Khai triển biểu thức P ta được P = x3 + 6x2 + 12x + 8.
Thu gọn biểu thức Q ta được Q = –x3 – 5x2 – 9x – 4.
Biểu thức A = P + Q có thể viết lại thành
Biểu thức A đạt giá trị nhỏ nhất bằng 1 khi
Hướng dẫn giải
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.
a) Đúng. Ta có P = (x + 2)3 = x3 + 6x2 + 12x + 8.
b) Đúng. Ta có Q = –x(x2 + 6x + 9) + x2 – 4 = –x3 – 5x2 – 9x – 4.
c) Sai. Ta có A = P + Q = x2 + 3x + 4
d) Sai. Vì với mọi x nên với mọi x.
Dấu bằng xảy ra khi .
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là khi .Cho biểu thức: P = (2x + 1)3 và Q = 8x(x + 2)(2 – x) – 6(x2 – 2x + 1) – 14x. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
P = 8x3 + 12x2 + 6x + 1.
Biểu thức A = P + Q = –6x2 + 36x – 5.
A =6(x + 3)2 + 59.
Biểu thức A có giá trị nhỏ nhất bằng 49 khi x = –3.
Hướng dẫn giải
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.
a) Đúng. Ta có:P = 8x3 + 12x2 + 6x + 1.
b) Đúng. Ta có: Q = 8x(x + 2)(2 – x) – 6(x2 – 2x + 1) – 14x
= 8x(4 – x2) – 6x2 + 12x – 6 – 14x
= –8x3 – 6x2 + 30x – 6.
Do đó A = P + Q = 6x2 + 36x – 5.
c) Sai. Xét A = 6x2 + 36x – 5= 6(x2 + 6x) – 5
= 6(x2 + 2x.3 + 9 – 9) – 5
= 6(x + 3)2 – 54 – 5= 6(x + 3)2 – 59.
d) Sai. Vì (x + 3)2 ≥ 0 với mọi x nên A ≥ – 59. Dấu bằng xảy ra khi x = –3.
Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng –59 khi x = –3.Điền số thích hợp ở dấu ba chấm (…)
(–x + 3)3 = 27 – 27x + …x2 – x3
Hướng dẫn giải
Đáp án: 9
(–x + 3)3 = – x3 + 3.(–x)2.3 + 3.(–x).32 + 33 = – x3 + 9x2 – 27x + 27.
Vậy số cần tìm là 9.
Điền số thích hợp ở dấu ba chấm (…)
8 – 12x + 6x2 – x3 = (–x + …)3
Hướng dẫn giải
Đáp án: 2
8 – 12x + 6x2 – x3 = 23 + 3.22.(–x) + 3.2.(–x)2 + (–x)3 = (– x + 2)3.
Vậy số cần tìm là 2.
Biết a + b = 5 và ab = 4. Tính giá trị của biểu thức A = a3 + b3.
Đáp án: 65
Ta có (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = a3 + 3ab(a + b) + b3
125 = a3 + b3 + 3.4.5
a3 + b3 = 65
Biết a + b = 1 và ab = –6. Tính giá trị của biểu thức A = a3 + b3.
Hướng dẫn giải
Đáp án: 19
Ta có (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = a3 + 3ab(a + b) + b3 hay
1 = a3 + b3 + 3.(–6).1
a3 + b3 = 19.
Biết a là số tự nhiên chia 5 dư 1. Tìm số dư của a3 chia cho 5.
Hướng dẫn giải
Đáp án: 1
Ta có a = 5n + 1 (với n là số tự nhiên).
a3 = 125n3 + 75n2 + 15n + 1
Vì 125n3 + 75n2 + 15n chia hết cho 5, 1 chia 5 dư 1 nên a3 chia 5 dư 1.
Bạn có thích hoạt động này không?
