Giải SGK Toán 8 KNTT Bài 7. Lập phương của một tổng. Lập phương của một hiệu có đáp án
18 câu hỏi
Chúng mình đã biết công thức (a + b)2 = a2 + 2ab + b2, còn công thức tính (a + 2b)3 thì sao nhỉ?
(a + 2b)3 = (a + 2b)2(a + 2b)
Với hai số a, b bất kì, thực hiện phép tính
(a + b)(a + b)2.
Từ đó rút ra liên hệ giữa (a + b)3 và a3 + 3a2b + 3ab2 + b3.
Ta có (a + b)(a + b)2 = (a + b)(a2 + 2ab + b2)
= a3 + 2a2b + ab2 + a2b + 2ab2 + b3
= a3 + (2a2b + a2b) + (ab2 + 2ab2) + b3
= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3.
Ta có (a + b)(a + b)2 = (a + b)3; (a + b)(a + b)2 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3.
Vậy (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3.
Khai triển
a) (x + 3)3;
b) (x + 2y)3.
a) (x + 3)3 = x3 + 3 . x2 . 3 + 3 . x . 32 + 33 = x3 + 9x2 + 27x + 27;
b) (x + 2y)3 = x3 + 3 . x2 . 2y + 3 . x . (2y)2 + (2y)3
= x3 + 6x2y + 12xy2 + 8y3.
Rút gọn biểu thức (2x + y)3 – 8x3 – y3.
(2x + y)3 – 8x3 – y3
= (2x)3 + 3 . (2x)2 . y + 3 . 2x . y2 + y3 – 8x3 – y3
= 8x3 + 12x2y + 6xy2 + y3 – 8x3 – y3
= (8x3 – 8x3) + 12x2y + 6xy2 + (y3 – y3)
= 12x2y + 6xy2.
Viết biểu thức x3 + 9x2y + 27xy2 + 27y3 dưới dạng lập phương của một tổng.
Ta có: x3 + 9x2y + 27xy2 + 27y3
= x3 + 3x2 . 3y + 3 . x . (3y)2 + (3y)3
= (x + 3y)3.
Vậy x3 + 9x2y + 27xy2 + 27y3 = (x + 3y)3.
Với hai số a, b bất kì, viết a – b = a + (–b) và áp dụng hằng đẳng thức lập phương của một tổng để tính (a – b)3.
Từ đó rút ra liên hệ giữa (a – b)3 và a3 – 3a2b + 3ab2 – b3.
(a – b)3 = [a + (–b)]3 = a3 + 3a2(−b) + 3a(−b)2 + (–b)3
= a3 − 3a2b + 3ab2 – b3.
Do đó (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3.
Khai triển (2x – y)3.
Ta có (2x – y)3 = (2x)3 – 3 . (2x)2 . y + 3 . 2x . y2 – y3
= 8x3 – 12x2y + 6xy2 – y3.
Viết biểu thức dưới dạng lập phương của một hiệu
8x3 – 36x2y + 54xy2 – 27y3.
Ta có 8x3 – 36x2y + 54xy2 – 27y3
= (2x)3 – 3 . (2x)2 . 3y + 3 . (2x) . (3y)2 – (3y)3
= (2x – 3y)3.
Rút gọn biểu thức
(x – y)3 + (x + y)3.
Ta có (x – y)3 + (x + y)3
= x3 – 3x2y + 3xy2 – y3 + x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
= (x3 + x3) + (3x2y – 3x2y) + (3xy2 + 3xy2) + (y3 – y3)
= 2x3 + 6xy2.
Khai triển:
a) x2+2y3;
a) x2+2y3=x23+3 . x22 . 2y+3 . x2 . 2y2+2y3
=x6+3 . x4 . 2y+3 . x2 . 4y2+8y3
= x6 + 6x4y + 12x2y2 + 8y3;
b) 12x−13
b) 12x−13=12x3−3 . 12x2 . 1+3 . 12x . 12−13
=18x3−3 . 14x2+3 . 12x−1
=18x3−34x2+32x−1.
Viết các biểu thức sau dưới dạng lập phương của một tổng hoặc một hiệu.
a) 27 + 54x + 36x2 + 8x3;
a) 27 + 54x + 36x2 + 8x3
= 33 + 3 . 32 . 2x + 3 . 3 . (2x)2 + (2x)3
= (3 + 2x)3;
b) 64x3 – 144x2y + 108xy2 – 27y3.
b) 64x3 – 144x2y + 108xy2 – 27y3
= (4x)3 – 3 . (4x)2 . 3y + 3 . 4x . (3y)2 – (3y)3
= (4x – 3y)3.
Tính nhanh giá trị của biểu thức:
a) x3 + 9x2 + 27x + 27 tại x = 7;
a) Ta có: x3 + 9x2 + 27x + 27
= x3 + 3 . x2 . 3 + 3 . x . 32 + 33 = (x + 3)3.
Thay x = 7 vào biểu thức (x + 3)3, ta được:
(7 + 3)3 = 103 = 1 000.
b) 27 – 54x + 36x2 – 8x3 tại x = 6,5.
b) Ta có 27 – 54x + 36x2 – 8x3
= 33 – 3 . 32 . 2x + 3 . 3 . (2x)2 – (2x)3
= (3 – 2x)3.
Thay x = 6,5 vào biểu thức (3 – 2x)3, ta được:
(3 – 2x)3 = (3 – 2 . 6,5)3 = (3 – 13)3 = (–10)3 = –1 000.
Rút gọn các biểu thức sau:
a) (x – 2y)3 + (x + 2y)3;
a) (x – 2y)3 + (x + 2y)3
= x3 – 3 . x2 . 2y + 3 . x . (2y)2 – (2y)3 + x3 + 3 . x2 . 2y + 3 . x . (2y)2 + (2y)3
= x3 – 6x2y + 12xy – 8y3 + x3 + 6x2y + 12xy + 8y3
= (x3 + x3) + (6x2y – 6x2y) + (12xy + 12xy) + (8y3 – 8y3)
= 2x3 + 24xy.
b) (3x + 2y)3 + (3x – 2y)3.
b) (3x + 2y)3 + (3x – 2y)3
= (3x)3 + 3 . (3x)2 . 2y + 3 . 3x . (2y)2 + (2y)3 + (3x)3 – 3 . (3x)2 . 2y – 3 . 3x . (2y)2 + (2y)3
= (3x)3 + 3 . 3x . (2y)2 + (3x)3 + 3 . 3x . (2y)2
= 27x3 + 36xy2 + 27x3 + 36xy2
= 54x3 + 72xy2.
Chứng minh (a – b)3 = – (b – a)3.
Ta có
• (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3;
• – (b – a)3 = – (b3 – 3b2a + 3ba2 – a3)
= – b3 + 3b2a – 3ba2 + a3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3.
Vậy (a – b)3 = – (b – a)3.
