Bài tập Mô tả và vận dụng hằng đẳng thức lập phương của một hiệu để tính nhanh, khai triển, rút gọn biểu thức lớp 8 (có lời giải)
25 câu hỏi
Đưa biểu thức 4n3 – 36n2 + 54n – 27 + 4n3 về dạng lập phương của một hiệu, ta được
(2n – 3)3;
(n – 2)3;
(n – 3)3;
(3n – 2)3;
Đáp án đúng là: A
Ta có 4n3 – 36n2 + 54n – 27 + 4n3
= 8n3 – 36n2 + 54n – 27
= (2n)3 – 3.(2n)2.3 + 3.2n.32 – 33
= (2n – 3)3
Do đó ta chọn đáp án A.
Khai triển (1 – 4m)3 ta được
1 – 12m + 8m2 – 64m3;
1 – 12m + 48m2 – 64m3;
1 – 12m + 48m2 – 4m3;
1 – 2m + 48m2 – 64m3;
Đáp án đúng là: B
Ta có (1 – 4m)3
= 13 – 3.12.4m + 3.1.(4m)2 – (4m)3
= 1 – 12m + 48m2 – 64m3.
Do đó ta chọn đáp án B.
Giá trị của biểu thức Y = 8n3 – 36n2 + 54n – 27 tại n = 1 là
– 11;
– 10;
1;
– 1;
Đáp án đúng là: D
Ta có: Y = 8n3 – 36n2 + 54n – 27
= (2n)3 – 3.(2n)2 .3 + 3.2n.32 – 33
= (2n – 3)3.
Thay n = 1 vào biểu thức Y ta được:
Y = (2.1 – 3)3 = (– 1)3 = –1
Vậy Y = – 1 khi n = 1.
Do đó ta chọn đáp án D.
Rút gọn biểu thức m3 – 21m2 + 147m – 343 ta được
(7 – m)3;
(m – 7)3;
(2m – 7)3;
(m – 14)3;
Đáp án đúng là: B
Ta có: m3 – 21m2 + 147m – 243
= m3 – 3.m2.7 + 3.m.72 – 73
= (m – 7)3.
Do đó ta chọn đáp án B.
Khai triển hằng đẳng thức (4m – 2m – 5)3 ta được
8m3 – 60m2 + 50m – 125;
8m3 – 6m2 + 150m – 125;
8m3 – 60m2 + 150m – 125;
8m3 – 60m2 + 150m – 25
Đáp án đúng là: C
(4m – 2m – 5)3 = (2m – 5)3
= (2m)3 – 3.(2m)2.5 + 3.2m.52 – 53
= 8m3 – 60m2 + 150m – 125.
Do đó ta chọn đáp án C.
Giá trị của biểu thức T = n3 – 9n2a + 27na2 – 27a3 với n = 3a là
0;
1;
2;
3.
Đáp án đúng là: A
Ta có: T = n3 – 9n2a + 27na2 – 27a3
= n3 – 3.n2.3a + 3.n.(3a)2 – (3a)3
= (n – 3a)3.
Thay n = 3a vào biểu thức T, ta được:
T = ( 3a – 3a)2 = 0
Vậy T = 0 khi n = 3a.
Khai triển biểu thức (3n – 2a)3 ta được
27n3 – 4n2a + 36na2 – 8a3;
27n3 – 54n2a + 36na2 – 8a3;
27n3 – 54n2a + 36na – 8a3;
27n3 – 54na + 36na2 – 8a3.
Đáp án đúng là: B
(3n – 2a)3= (3n)3 – 3.(3n)2.2a + 3.3n.(2a)2 – (2a)3
= 27n3 – 54n2a + 36na2 – 8a3.
Do đó ta chọn đáp án B.
Rút gọn biểu thức (m + 2 )3 – 3a(m+2)2 + 3a2(m+2) – a3 ta được
(2m – a)3;
(m – 2 – a)3;
(m + 2 + a)3;
(m + 2 – a)3.
Đáp án đúng là: D
(m + 2)3 – 3a(m + 2)2 + 3a2(m + 2) – a3
= (m + 2)3 – 3.(m + 2)2.a + 3.(m + 2).a2 – a3
= (m + 2 – a)3.
Do đó ta chọn đáp án D.
Cho m = 3 thì giá trị của biểu thức X = m3 – 6m2 + 12m – 8 là
0;
1;
10;
21.
Đáp án đúng là: B
Ta có X = m3 – 6m2 + 12m – 8
= m3 – 3.m2.2 + 3.m. 22 – 23
= (m – 2)3.
Thay m = 3 vào biểu thức X, ta được:
X = (3 – 2)3 = 13 = 1.
Do đó ta chọn đáp án B.
Biểu thức 27 – 27m + 18m2 – 9m2– n3 đưa về lập phương của một hiệu ta được
(3 – 2n)3;
(3 + n)3;
(6 – n)3;
(3 – n)3.
Đáp án đúng là: D
Ta có 27 – 27m + 18m2 – 9m2– n3
= 27 – 27m + 9m2 – n3
= 33 – 3.32.n + 3.3.n2 – n3
= (3 – n)3
Do đó ta chọn đáp án D.
Công thức nào sau đây mô tả đúng hằng đẳng thức lập phương của một hiệu?
A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2).
(–A + B)3 = –A3 + 3AB – 3AB2 + B3 .
(A – B)3 = A3 – 3AB + B3.
(A – B)3 = A3 – 3A2B + 3AB2 – B3.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng: D
Theo định nghĩa và quy tắc: (A – B)3 = A3 – 3A2B + 3AB2 – B3.Khai triển biểu thức (3x – 1)3 ta được kết quả nào sau đây?
3x3 – 9x2 + 9x – 1.
27x3 – 27x2 + 3x + 1.
3x3 – 27x2 + 9x – 1.
27x3 – 27x2 + 9x – 1.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng: D
Ta có (3x – 1)3 = (3x)3 – 3.(3x)2 .1 + 3.3x.12 – 13 = 27x3 – 27x2 + 9x – 1.Biểu thức x3 – 6x2 + 12x – 8 bằng biểu thức nào sau đây?
(x – 1)3.
(x + 2)3.
(x – 2)3.
(x + 4)3.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng: C
Ta có x3 – 6x2 + 12x – 8 = x3 – 3x2 . 2 + 3x . 22 – 23 = (x – 2)3.Biểu thức M = (1 – y)3 – 6(1 – y)2 – 12(y – 1) + (y – 1)3 bằng biểu thức nào sau đây?
(–1 – y)3.
1 + y3.
1 – y3.
–(1 – y)3.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng: A
Ta có M = (1 – y)3 – 6(1 – y)2 – 12(y – 1) + (y – 1)3
= (1 – y)3 – 3.(1 – y)2 . 2 + 3.(1 – y).22 – (1 – y)3
= (1 – y – 2)3 = (–1 – y)3.Để tính nhanh giá trị của biểu thức B = 993 (không dùng máy tính), cách biến đổi nào sau đây là thuận tiện và chính xác nhất?
B = (100 – 1)3 = 1003 – 3.100.1 + 3.1002.1 – 13.
B = (100 – 1)3 = 1003 – 3.1002.1 + 3.100. 12 – 13.
B = (100 – 1)3 = 1003 – 1.
B = 99.99.99.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng: B
Ta viết B = 993 = (100 – 1)3 = 1003 – 3.1002.1 + 3.100. 12 – 13
= 1 000 000 – 30 000 + 300 – 1
= 970 299.Cho biểu thức A = (2x – 1)3. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
Hằng đẳng thức này có dạng lập phương của một hiệu.
Sau khi thu gọn, A = 8x3 – 6x2 + 4x – 1.
Hệ số của hạng tử chứa x2 sau khi khai triển là 6.
Tại x = 0,5 thì giá trị của biểu thức A bằng 0.
Hướng dẫn giải
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng. Biểu thức A có dạng lập phương của một hiệu.
b) Sai. Ta có A = (2x)3 – 3.(2x)2.1 + 3.2x.12 – 13 = 8x3 – 12x2 + 6x – 1.
c) Sai. Hệ số của hạng tử chứa x2 là –12.
d) Đúng. Thay x = 0,5 vào biểu thức A ta được (2 . 0,5 – 1)3 = 0.Xét biểu thức thu gọn M = –x3 + 9x2 – 27x + 27. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
Biểu thức M có thể viết gọn lại dưới dạng bình phương của một hiệu.
M = –(x – 3)3.
Với x = 103, ta có thể tính nhanh giá trị của M bằng cách tính –1003 = –1 000 000.
Với x < 3, giá trị của biểu thức M luôn là một số âm.
Hướng dẫn giải
Đáp án: a) Sai.b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Sai. Vì M = 33 – 3.32.x + 3.3.x2 – x3 nên biểu thức viết gọn dưới dạng lập phương của một hiệu với hạng tử thứ nhất là 3, hạng tử thứ hai là x.
b) Đúng. Vì M = 33 – 3.32.x + 3.3.x2 – x3 = (3 – x)3 = –(x – 3)3.
c) Đúng. Thay x = 103 vào biểu thức thu gọn của M, ta được
(3 – 103)3 = –1003 = –1 000 000.
d) Sai. Với x < 3 thì 3 – x > 0 nên M = (3 – x)3 > 0.
Vậy M có giá trị dương với x < 3.Biểu thức B có thể viết gọn lại dưới dạng lập phương của một hiệu.
B = (x – 1)3.
Với x = 11, giá trị của biểu thức B bằng –1000.
Khi x > 1, giá trị của biểu thức B luôn là một số âm.
Hướng dẫn giải
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.
a) Đúng. Vì B có thể viết dưới dạng lập phương của một hiệu với hạng tử thứ nhất là 1, hạng tử thứ hai là x.
b) Sai. Ta có B = (1 – x)3 = –(x – 1)3 ≠ (x – 1)3.
c) Đúng. Thay x = 11 vào biểu thức thu gọn ta được B = (1 – 11)3 = (–10)3 = –1000.
d) Đúng. Khi x > 1 thì 1 – x < 0 nên B = (1 – x)3 < 0.Khai triển biểu thức P ta được P = x3 – 6x2 + 12x – 8.
Thu gọn biểu thức Q ta được Q = x3 – 8x2 + 8x + 8.
Biểu thức A = P – Q có thể viết lại thành A = (x + 2)2 – 17.
Biểu thức A đạt giá trị nhỏ nhất bằng –17 khi x = –2.
Hướng dẫn giải
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.
a) Đúng. Ta có P = (x – 2)3 = x3 – 6x2 + 12x – 8.
b) Đúng. Ta có Q = x(x2 – 6x + 9) – 2(x2 – 4) – x = x3 – 8x2 + 8x + 8.
c) Sai. Ta có A = P – Q = 2x2 + 4x – 16
= 2(x2 + 2x – 8)
= 2[(x + 1)2 – 9]
= 2(x + 1)2 – 18.
d) Sai. Vì (x + 1)2 ≥ 0 với mọi x nên A ≥ –18 với mọi x.
Dấu bằng xảy ra khi x = –1.
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là –18 khi x = –1.Cho biểu thức: P = (x – 2)3 và Q = x(x + 1)(1 – x) – (x – 1)2 – (x – 1). Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
P = x3 + 12x2 – 6x – 1.
Biểu thức Q = –x3 – x2 + 2x.
Biểu thức A = 7(x – 1)2 + 6.
Biểu thức A có giá trị nhỏ nhất bằng 6 khi x = 1.
Hướng dẫn giải
Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.
a) Sai. Ta có: P = x3 – 6x2 + 12x – 1.
b) Đúng. Ta có: Q = x(x + 1)(1 – x) – (x2 – 2x + 1) – (x – 1)
= x(1 – x2) – x2 + 2x – 1 – x + 1
= –x3 – x2 + 2x.
A = P + Q = –7x2 + 14x – 1.
c) Sai. Xét A = –7x2 + 14x – 1
= –7(x2 – 2x) – 1
= –7(x2 – 2x.1 + 1 – 1) – 1
= –7(x – 1)2 + 7 – 1
= –7(x – 1)2 + 6.
d) Sai. Vì (x – 1)2 ≥ 0 với mọi x nên –7(x – 1)2 ≤ 0.
Suy ra A ≤ 6. Dấu “=” xảy ra khi x = 1.
Vậy giá trị lớn nhất của A bằng 6 khi x = 1.Điền số thích hợp ở dấu ba chấm (…)
(4 – x)3 = 64 – 48x + …x2 – x3
Hướng dẫn giải
Đáp án: 12
(4 – x)3 = 43 – 3.42.x + 3.4.x2 – x3 = 64 – 48x + 12x2 – x3.
Vậy số cần tìm là 12.
Cho biểu thức A = (2x – 1)3 + 8x(2 - x)(x + 2) + 10(x – 2). Sau khi thu gọn, ta thu được một đa thức bậc hai có dạng A = ax2 + bx + c. Hãy tìm giá trị của T = a + b + c.
Em hãy tính tổng a + b để hoàn thiện bài giải.
Hướng dẫn giải
Đáp án: 15
A = (2x – 1)3 + 8x(2 - x)(x + 2) + 10(x – 2)
= 8x3 – 12x2 + 6x – 1 – 8x(x2 – 4) + 10x – 20
= – 12x2 + 48x – 21
Vậy a =-12, b = 48, c = -21 nên T = a + b + c = 15.
Cho biểu thức P = (2x – 3)3 – 8x(x – 3)2 – 12x2. Sau khi thu gọn, ta thu được một đa thức bậc nhất có dạng P = ax + b. Hãy tìm giá trị của T = –(a + b).
Đáp án: 45
P = (2x – 3)3 – 8x(x – 3)2 – 12x2
= 8x3 – 36x2 + 54x – 27 – 8x(x2 – 6x + 9) – 12x2
= 8x3 – 36x2 + 54x – 27 – 8x3 + 48x2 – 72x – 12x2
= –18x – 27.
Suy ra a = –18, b = –27. Do đó T = – [–18 + (–27)] = 45.
Cho biểu thức P = (x – 2)3 – (x + 1)(x2 – x + 1) + 6x(x – 1). Sau khi thu gọn, ta thu được một đa thức bậc nhất có dạng P = ax + b. Tính giá trị của T = a – b.
Hướng dẫn giải
Đáp án: 15
P = (x – 2)3 – (x + 1)(x2 – x + 1) + 6x(x – 1)
= x3 – 6x2 + 12x – 8 – [x(x2 – x + 1) + 1.(x2 – x + 1)] + 6x2 – 6x
= x3 – 6x2 + 12x – 8 – [x3 – x2 + x + x2 – x + 1] + 6x2 – 6x
= x3 + 6x – 8 – x3 – 1= 6x – 9.
Suy ra a = 6, b = –9. Do đó T = a – b = 6 – (–9) = 15.
Cho biểu thức P = (3x – 1)3 – 27x2(x – 1) – 2(3x – 1)(3x + 1)+ 7(x + 2). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P.
Hướng dẫn giải
Đáp án: 23
P = (3x – 1)3 – 27x2(x – 1) – 2(2x – 1)(2x + 1) + 7(x + 2)
= 27x3 – 27x2 + 9x – 1 – 27x2(x – 1) – 2(4x2 – 1) + 7(x + 2)
= 27x3 – 27x2 + 9x – 1 – 27x3 + 27x2 – 8x2 + 2 + 7x + 14
= –8x2 + 16x + 15= –8(x2 – 2x) + 15
= –8[(x – 1)2 – 1] + 15= –8(x – 1)2 + 23
Vì (x – 1)2 ≥ 0 với mọi x nên –8(x – 1)2 + 23 ≤ 23.
Dấu “=” xảy ra khi x = 1.
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức P là 23 khi x = 1.
Bạn có thích hoạt động này không?
