Bài tập chuyên đề Toán 7 Dạng 5: Đại lượng tỉ lệ thuận có đáp án

Với $x_3=2$ thì $y_3=4.2=8$; với $x_4=-3$ thì $y_4=4.\left(-3\right)=-12$

P Tìm cách giải: Ta có thời gian ô tô đi hết quãng đường AB là 9 giờ - 5 giờ = 4 giờ thì 1 giờ xe ô tô đi được $\frac{1}{4}$ quãng đường AB. Xe máy đi quãng đường BA hết 13 giờ - 5 giờ = 8 giờ thì 1 giờ xe máy đi được $\frac{1}{8}$quãng đường AB. Trong cùng một thời gian thì quãng đường và vận tốc là hai đại lượng tỉ lệ thuận. Nên nếu gọi t là thời gian hai xe gặp nhau; $s_1$ là quãng đường ô tô đi từ A đến chỗ gặp xe máy; $v_1$ là vận tốc ô tô; $s_2$ là quãng đường xe máy đi từ B đến chỗ gặp ô tô; $v_2$ là vận tốc xe máy. Ta có $\frac{s_1}{v_1}=\frac{s_2}{v_2}=t$ và $s_1+s_2$ chính là quãng đường AB. Từ đó có cách giải sau:

P Tìm cách giải: Ta có: $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180°$ và do số đo các góc $\widehat{A},\widehat{B},\widehat{C}$ lần lượt tỉ lệ với $2,3,5$ nghĩa là $\frac{\widehat{A}}{2}=\frac{\widehat{B}}{3}=\frac{\widehat{C}}{5}$. Sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có cách giải sau:

P Tìm cách giải: Nếu số cây các lớp 7A, 7B, 7C, 7D trồng lần lượt là $x,y,z,t$ ta có $5x+4y-3\left(z+t\right)=520.$

Mặt khác $\frac{x}{5}=\frac{y}{4}=\frac{z}{3}=\frac{t}{2}=\frac{5x}{25}=\frac{4z}{16}=\frac{3y}{9}=\frac{3t}{6}$

Sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta tìm được hệ số tỉ lệ. Từ đó tìm được $x;y;z;t$.

P Tìm cách giải:

 a và b tỉ lệ với 5 và 6 nghĩa là $\frac{a}{b}=\frac{5}{6};$ hay $\frac{a}{5}=\frac{b}{6};$

P Tìm cách giải:

Ta nhận thấy: $\frac{m}{V}=\frac{15,7}{2}=\frac{18,84}{2,4}=\frac{31,4}{4}=\frac{39,25}{5}=\frac{47,1}{6}=7,85\left(g/c{m}^3\right)$

nghĩa là tỉ số hai giá trị tương ứng của hai đại lượng luôn không đổi nên hai đại lượng tỉ lệ thuận với nhau. Từ đó $m=7,85.V.$

Với $m=125,6\left(g\right)$ thì $V=125,6:7,85=16\left(c{m}^3\right)$.

Ta có $k=\frac{720}{4}=180$ (chiếc áo/ngày) $\Rightarrow K=kt$ và $t=K:k$. Ta sẽ có

Trong bảng I hai giá trị tương ứng của hai đại lượng là $\frac{-6}{-3}\ne \frac{2,5}{2}$ ta kết luận luôn hai đại lượng không tỉ lệ thuận với nhau.

Trong bảng II tất cả tỷ số giữa hai giá trị tương ứng đã cho của y và x luôn không đổi

$\frac{-1,5}{-3}=\frac{-1}{-2}=\frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{2,5}{5}=0,5$ nên ta có y tỷ lệ thuận với x.

Trong bảng II ta suy ra $k=0,5$ và $y=0,5x$.

Với $y=-60$ thì $-60=0,5x\Rightarrow x=\left(-60\right):0,5=-120.$

Với $x=0,8$ thì $y=0,8.0,5\Rightarrow y=0,4.$

Biết tổng hai giá trị của x giả sử $x_1+x_2=-673$ và tổng hai giá trị tương ứng của y là $y_1+y_2=2019$. Theo tính chất của hai đại lượng tỉ lệ thuận và tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$k=\frac{y_1}{x_1}=\frac{y_2}{x_2}=\frac{y_1+y_2}{x_1+x_2}=\frac{2019}{-673}=-3.$

Vậy công thức liên hệ là $y=-3x.$

Từ công thức $y=-3x\Rightarrow x=y:\left(-3\right)$.

Kết quả điền số:

Ta có $x=k_{1}y;y=k_{2}z;z=k_{3}t\Rightarrow x=k_1{k}_2{k}_{3}t.$

Nghĩa là x tỉ lệ thuận với t theo hệ số $k_1{k}_2{k}_3$. Do đó t tỉ lệ thuận với x theo hệ số $\frac{1}{k_1{k}_2{k}_3}$.

Gọi khối lượng dây đồng cần tìm là $y_2$. Do khối lượng dây đồng tỉ lệ thuận với chiều dài của nó nên ta có:

$\frac{8,4}{y_2}=\frac{2,5}{80}\Rightarrow y_2=\left(8,4:80\right):2,5=268,8$

Vậy 80m dây đồng nặng 268,8 kg.

a) Gọi chiều dài hình chữ nhật là x (m), chiều rộng là y (m) $\left(x,y>0\right)$ thì $x-y=18$. Ta có $\frac{x}{8}=\frac{y}{5}=\frac{x-y}{8-5}=\frac{18}{3}=6\Rightarrow x=48;y=15.$

Diện tích thửa ruộng là $48.15=720\left(m^2\right)$.

b) Số thóc thu hoạch và số $m^2$ ruộng là hai đại lượng tỷ lệ thuận. Do đó nếu gọi số thóc thu hoạch là x kg $\left(x>0\right)$.

Ta có: $\frac{25}{720}=\frac{20}{x}\Rightarrow x=720.20:25=576\left(kg\right)$.

Vậy: $x_2=\left(-0,8\right).\left(-6,2\right)=4,96$; $y_2=\left(-0,8\right).3,8=-3,04.$

Do $x;y;z$ tỉ lệ thuận với $3;4;5$ nên ta đặt $\frac{x}{3}=\frac{y}{4}=\frac{z}{5}=k$

$\Rightarrow x=3k;y=4k;z=5k$. Ta có:

$A=2018\left(3k-4k\right)\left(4k-5k\right)-504,5.{\left(\frac{3k+4k+5k}{6}\right)}^2$

$=2018\left(-k\right)\left(-k\right)-504,5.{\left(\frac{12k}{6}\right)}^2$

$=2018k^2-504,5.4k^2=2018k^2-2018k^2=0$

$24a-30b;40c-24a;30b-40c$ tỉ lệ thuận với $2018;2019;2020$ nên:

$\frac{24a-30b}{2018}=\frac{40c-24a}{2019}=\frac{30b-40c}{2020}=\frac{24a-30b+40c-24a+30b-40c}{2018+2019+2020}=0$

Do đó $24a-30b=0\Rightarrow 4a=5b$ hay $\frac{a}{5}=\frac{b}{4}\left(1\right)$

$40c-24a=0\Rightarrow 5c=3a$ hay $\frac{a}{5}=\frac{c}{3}\left(2\right)$

Từ (1) và (2) suy ra: $\frac{a}{5}=\frac{b}{4}=\frac{c}{3}=\frac{a+b+c}{5+4+3}=\frac{2016}{12}=168.$

Vậy $a=840;b=672;c=504.$

Ta biết nếu $\frac{y_i}{x_i}=k$ thì ${\left(\frac{y_i}{x_i}\right)}^2=\frac{y_i^2}{x_i^2}=k^2$. Ta có: $y_1^2-y_2^2=128$ và $x_1^2-x_2^2=8$.

Theo đầu bài vì y tỉ lệ thuận với x nên $\frac{y_1}{x_1}=\frac{y_2}{x_2}=k$.

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$k^2=\frac{y_1^2}{x_1^2}=\frac{y_1^2}{x_1^2}=\frac{y_1^2-y_2^2}{x_1^2-x_2^2}=\frac{128}{8}=16={\left(\pm 4\right)}^2$

$\Rightarrow k=-4$ hoặc $k=4$. Do đó ta có công thức $y=-4x$ hoặc $y=4x$.

Với $x_3=3$ thì $y_3=\pm 4.3=\pm 12;$

Với $x_4=-8$ thì $y_4=\pm 4.\left(-8\right)=\mp 32.$

Do đó $y_3^2-y_4^2={\left(\pm 12\right)}^2-{\left(\mp 32\right)}^2=144-1024=-880.$

Gọi quãng đường đi được của hai xe là $S_M$ và $S_N$.

Có hai trường hợp xảy ra:

1) Địa điểm P nằm giữa M và N.

Do thời gian đi của hai xe bằng nhau nên quãng đường đi và vận tốc của hai xe là tỉ lệ thuận. Ta có: $\frac{S_M}{50}=\frac{S_N}{60}=\frac{S_M+S_N}{50+60}=\frac{55}{110}=0,5$.

Vậy $S_M=0,5.50=25\left(km\right);S_N=0,5.60=30\left(km\right)$.

Gọi quãng đường AB dài a km $\left(a>0\right)$.

Thời gian ô tô đi hết quãng đường AB 1 giờ 30 phút = $\frac{3}{2}$giờ thì vận tốc xe ô tô là $v_1=a:\frac{3}{2}=\frac{2a}{3}$(km/giờ).

Xe đạp điện đi quãng đường BA hết 3 giờ thì vận tốc xe đạp điện là: $v_2=\frac{a}{3}$(km/giờ).

Gọi $t_1$là thời gian hai xe ô tô và xe đạp điện gặp nhau; $s_1$ là quãng đường ô tô đi từ A đến chỗ gặp xe đạp điện; $s_2$là quãng đường xe đạp điện đi từ B đến chỗ gặp ô tô $\left(t_1;s_1;s_2>0\right)$ ta có: $s_1+s_2=a$

Trong cùng một thời gian thì quãng đường và vận tốc là hai đại lượng tỉ lệ thuận. Do đó: $t_1=\frac{s_1}{v_1}=\frac{s_2}{v_2}=\frac{s_1+s_2}{v_1+v_2}=\frac{a}{\frac{2a}{3}+\frac{a}{3}}=\frac{a}{a}=1.$

Vậy hai xe gặp nhau lúc 8 giờ.

Gọi $t_2$ là thời gian xe ô tô khởi hành từ A đến lúc gặp xe đạp; $s_3$ là quãng đường ô tô đi từ A đến chỗ gặp xe đạp, vận tốc của ô tô $v_3=v_1$; $s_4$ là quãng đường xe đạp đi từ A lúc 7 giờ đến chỗ gặp ô tô $\left(t_2;s_3;s_4>0\right)$.

Vận tốc xe đạp là $v_4=\frac{a}{6}$km/giờ. Lúc 7 giờ xe đạp cách xe ô tô quãng đường là $\frac{a}{6}$ km. Trong cùng một thời gian thì quãng đường và vận tốc là hai đại lượng tỉ lệ thuận.

Do đó $t_2=\frac{s_3}{v_3}=\frac{s_4}{v_4}=\frac{s_3-s_4}{v_3-v_4}=\frac{\frac{a}{6}}{\frac{2a}{3}-\frac{a}{6}}=\frac{a}{3a}=\frac{1}{3}$ (giờ) = 20 phút.

Ô tô và xe đạp gặp nhau lúc 7 giờ 20 phút.

Gọi $v_1,v_2$ là vận tốc; $t_1,t_2$ là thời gian đi; $s_1,s_2$ là quãng đường đi được của xe máy thứ nhất và xe máy thứ hai từ lúc khởi hành đến lúc gặp nhau.

Ta có: $v_1=\frac{3}{4}{v}_2;$ $t_1=\frac{5}{4}{t}_2$ nên $v_1{t}_1=\frac{15}{16}{v}_2{t}_2$ hay $s_1=\frac{15}{16}{s}_2$

Ta có $\frac{s_1}{15}=\frac{s_2}{16}=\frac{s_1+s_2}{15+16}=\frac{93}{31}=3$

$\Rightarrow s_1=45\left(km\right)$ và $s_2=48\left(km\right)$.

Vận tốc trôi của bèo chính là vận tốc dòng nước bằng $9:3=3$(km/giờ). Gọi x km là quãng đường ca nô ngược dòng $\left(x>0\right)$. Vận tốc ca nô khi xuôi dòng là 30 + 3 = 33 (km/h); Vận tốc ca nô khi ngược dòng là 30 – 3 = 27 (km/h). Cùng một thời gian thì quãng đường và vận tốc là hai đại lượng tỉ lệ thuận. Do đó ta có $\frac{33}{27}=\frac{99}{x}\Rightarrow x=\frac{99.27}{33}=81\left(km\right)$.

Nửa quãng đường AB dài 50km; Vận tốc ô tô khách 750m/phút = 45km/giờ. Vận tốc ô tô tải là 70 : 2 = 35 (km/giờ).

Nửa quãng đường AB dài 50km; Vận tốc ô tô khách 750m/phút = 45km/giờ. Vận tốc ô tô tải là 70 : 2 = 35 (km/giờ).

Gọi x là số sản phẩm tổ hai làm; y là số sản phẩm tổ ba làm $\left(x;y\in {\mathbb{N}}^{\ast }\right)$. Tổ một có 12 người làm 9 ngày được 12.9 = 108 ngày công. Tổ hai có 18 người làm 8 ngày được 18.8 = 144 ngày công. Tổ ba có 10 người làm 4 ngày được 10.4 = 40 ngày công. Cùng năng suất lao động thì số sản phẩm làm được tỷ lệ thuận với số ngày công.

Do đó: $\frac{108}{144}=\frac{540}{x}\Rightarrow x=\frac{540.144}{108}=720$ (sản phẩm).

$\frac{108}{40}=\frac{540}{y}\Rightarrow y=\frac{540.40}{108}=200$ (sản phẩm).

Gọi bốn phần của A là $x;y;z;t\left(x;y;z;t>0\right)$

thì $A=x+y+z+t$ và $x:y:z:t=\frac{1}{2}:\frac{2}{3}:\frac{3}{4}:\frac{4}{5}=30:40:45:48.$

Vậy $\frac{x}{30}=\frac{y}{40}=\frac{z}{45}=\frac{t}{48}$

$\Rightarrow \frac{x^2}{900}=\frac{y^2}{1600}=\frac{z^2}{2025}=\frac{t^2}{2304}=\frac{x^2+y^2+z^2+t^2}{900+1600+2025+2304}=\frac{27316}{6829}=4={\left(\pm 2\right)}^2$

$\Rightarrow x=60;y=80;z=90;t=96$ và $A=60+80+90+96=326.$

Gọi số kg đường bốn túi lúc đầu lần lượt là: $x+1;y+2;z+3;t+4\left(x,y,z,t>0\right)$.

Sau khi lấy đi lần thứ nhất thì số kg đường mỗi túi còn lại lần lượt là $x;y;z;t$ và tổng số kg đường còn lại của 4 túi là $375-\left(1+2+3+4\right)=365\left(kg\right)$

Sau khi lấy đi lần thứ hai thì số kg đường mỗi túi còn lại lần lượt là: $\frac{4}{5}x;\frac{3}{4}y;\frac{2}{3}z;\frac{1}{2}t$.

Ta có: $\frac{4x}{5}=\frac{3y}{4}=\frac{2z}{3}=\frac{t}{2}=\frac{12x}{15}=\frac{12y}{16}=\frac{12z}{18}=\frac{12t}{24}=\frac{12\left(x+y+z+t\right)}{73}=\frac{12.365}{73}=60$

Suy ra $x=75;y=80;z=90;t=120.$

Số kg đường mỗi túi lúc đầu là:

+ Túi thứ nhất: $75+1=76\left(kg\right)$

+ Túi thứ hai: $80+2=82\left(kg\right)$

+ Túi thứ ba: $90+3=93\left(kg\right)$

+ Túi thứ tư: $120+4=124\left(kg\right)$

Ta có: $\frac{x}{2009}=\frac{y}{2010}=\frac{z}{2011}=\frac{x-z}{-2}=\frac{x-y}{-1}=\frac{y-z}{-1}$

Với ba tỉ số bằng nhau, lập phương tỉ số thứ nhất sẽ bằng bình phương tỉ số thứ hai nhân với tỷ số thứ ba nên:

${\left(\frac{x-z}{-2}\right)}^3={\left(\frac{x-y}{-1}\right)}^2.\left(\frac{y-z}{-1}\right)\iff \frac{{\left(x-z\right)}^3}{-8}=\frac{{\left(x-y\right)}^2\left(y-z\right)}{-1}$

$\iff {\left(x-z\right)}^3=8{\left(x-y\right)}^2\left(y-z\right).$

Từ (1) và (2) $\Rightarrow \frac{52z}{2012.\left(2.2009+13.2010\right)}=\frac{z}{2011}\Rightarrow z=0.$

Ta suy ra $x=y=x=0.$