Bài tập Chứng minh các hệ thức hình học lớp 8 (có lời giải)
25 câu hỏi
Cho hình thang ABCD (AB // CD). Đường thẳng song song với đáy AB cắt các cạnh bên AD, BC và các đường chéo BD, AC lần lượt tại M, N, P, Q. Khi đó tỉ số \(\frac{{{\rm{MD}}}}{{{\rm{AD}}}}\) bằng:
\(\frac{{{\rm{CP}}}}{{{\rm{BC}}}}\);
\(\frac{{{\rm{BQ}}}}{{{\rm{BC}}}}\);
\(\frac{{{\rm{CN}}}}{{{\rm{BC}}}}\);
\(\frac{{{\rm{CQ}}}}{{{\rm{BQ}}}}\).
Đáp án đúng là: C
Xét tam giác ADB có MP // AB nên theo định lí Thalès ta có:
\(\frac{{{\rm{MD}}}}{{{\rm{AD}}}} = \frac{{{\rm{DP}}}}{{{\rm{BD}}}}\)(1)
Xét tam giác CDB có NP // DC nên theo định lí Thalès ta có:
\(\frac{{{\rm{DP}}}}{{{\rm{BD}}}} = \frac{{{\rm{CN}}}}{{{\rm{CB}}}}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{{{\rm{MD}}}}{{{\rm{AD}}}} = \frac{{{\rm{CN}}}}{{{\rm{CB}}}} = \frac{{{\rm{DP}}}}{{{\rm{BD}}}}\).
Cho góc xAy khác góc bẹt. Trên tia Ax lấy các điểm B, C. Qua B và C kẻ hai đường thẳng song song với nhau, cắt Ay lần lượt tại D và E. Qua E vẽ đường thẳng song song với CD cắt tia Ax tại F. Khi đó AC2 bằng
AB ⋅ AF;
AB ⋅ BF;
CA ⋅ AF;
CB ⋅ AF.
Đáp án đúng là: A
Xét tam giác ACE có CE // BD nên theo định lí Thalès ta có:
\(\frac{{{\rm{AB}}}}{{{\rm{AC}}}} = \frac{{{\rm{AD}}}}{{{\rm{AE}}}}\)(1)
Xét tam giác AFE có FE // CD nên theo định lí Thalès ta có:
\(\frac{{{\rm{AC}}}}{{{\rm{AF}}}} = \frac{{{\rm{AD}}}}{{{\rm{AE}}}}\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{{{\rm{AB}}}}{{{\rm{AC}}}} = \frac{{{\rm{AC}}}}{{{\rm{AF}}}} = \frac{{{\rm{AD}}}}{{{\rm{AE}}}}\).
Từ đó ta có AC ⋅ AC = AB ⋅ AF hay AC2 = AB ⋅ AF.
Cho tam giác ABC, đường thẳng d cắt AB, AC lần lượt tại D và E sao cho \(\frac{{{\rm{AD}}}}{{{\rm{AB}}}} = \frac{{{\rm{AE}}}}{{{\rm{AC}}}}\). Khẳng định nào sau đây là sai?
\(\frac{{{\rm{AD}}}}{{{\rm{DB}}}} = \frac{{{\rm{AE}}}}{{{\rm{EC}}}}\);
\(\frac{{{\rm{BD}}}}{{{\rm{AB}}}} = \frac{{{\rm{CE}}}}{{{\rm{AC}}}}\);
\(\frac{{{\rm{AD}}}}{{{\rm{AB}}}} = \frac{{{\rm{AE}}}}{{{\rm{EC}}}}\);
DE // BC.
Đáp án đúng là: C
Trong tam giác ABC có \(\frac{{{\rm{AD}}}}{{{\rm{AB}}}} = \frac{{{\rm{AE}}}}{{{\rm{AC}}}}\) nên DE // BC (định lí Thalès đảo).
Do đó theo định lí Thalès ta có \(\frac{{{\rm{AD}}}}{{{\rm{DB}}}} = \frac{{{\rm{AE}}}}{{{\rm{EC}}}}\), \(\frac{{{\rm{BD}}}}{{{\rm{AB}}}} = \frac{{{\rm{CE}}}}{{{\rm{AC}}}}\).
Vậy C sai.
Cho tam giác ABC. Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho BC = 2BD. Trên đoạn AD lấy điểm O sao cho \(\frac{{{\rm{AO}}}}{{{\rm{OD}}}} = \frac{3}{2}\). Gọi I là giao điểm của CO và AB. Tỉ số \(\frac{{{\rm{AI}}}}{{{\rm{IB}}}}\) là:
\(\frac{2}{3}\);
\(\frac{3}{2}\);
\(\frac{3}{4}\);
\(\frac{1}{4}\).
Đáp án đúng là: C
Kẻ DH // CI (H ∈ AB), do đó DH // IO.
Xét tam giác ADH có DH // IO nên theo định lí Thalès ta có:
\(\frac{{{\rm{AI}}}}{{{\rm{IH}}}} = \frac{{{\rm{AO}}}}{{{\rm{OD}}}}\) hay \(\frac{{{\rm{AI}}}}{{{\rm{IH}}}} = \frac{3}{2}\).
Suy ra AI = 3t và IH = 2t (với t > 0).
Ta có D thuộc cạnh BC và BC = 2BD, suy ra BC = 2CD.
Xét tam giác BIC có DH // IC nên theo định lí Thalès ta có:
\(\frac{{{\rm{BI}}}}{{{\rm{IH}}}} = \frac{{{\rm{BC}}}}{{{\rm{CD}}}}\) hay \(\frac{{{\rm{BI}}}}{{{\rm{IH}}}} = \frac{2}{1}\)
Suy ra BI = 2IH = 2 ⋅ 2t = 4t.
Vậy \(\frac{{{\rm{AI}}}}{{{\rm{IB}}}} = \frac{{{\rm{3t}}}}{{{\rm{4t}}}} = \frac{3}{4}\).
Cho tam giác ABC có trung tuyến AM và điểm E thuộc đoạn thẳng MC. Qua E kẻ đường thẳng song song với AC, cắt AB tại D và kẻ đường thẳng song song với AB, cắt AC tại F. Khi đó \(\frac{{{\rm{CE}}}}{{{\rm{EB}}}}\) bằng tỉ số
\(\frac{{{\rm{FE}}}}{{{\rm{AD}}}}\);
\(\frac{{{\rm{CF}}}}{{{\rm{EB}}}}\);
\(\frac{{{\rm{ME}}}}{{{\rm{AB}}}}\);
\(\frac{{{\rm{CF}}}}{{{\rm{DE}}}}\).
Đáp án đúng là: D
Xét tứ giác ADEF có:
AD // EF (D ∈ AB)
AF // DE (F ∈ AC)
Suy ra tứ giác ADEF là hình bình hành.
Do đó AF = DE (1).
Xét tam giác ABC có EF // AB nên theo định lí Thalès ta có:
\(\frac{{{\rm{CE}}}}{{{\rm{EB}}}} = \frac{{{\rm{CF}}}}{{{\rm{FA}}}}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{{{\rm{CE}}}}{{{\rm{EB}}}} = \frac{{{\rm{CF}}}}{{{\rm{DE}}}}\).
Cho tam giác ABC nhọn, M là trung điểm BC và H là trực tâm của tam giác ABC. Đường thẳng qua H và vuông góc với MH cắt AB và AC theo thứ tự ở I và K. Qua C kẻ đường thẳng song song với IK, cắt AH và AB theo thứ tự tại N và D. Khẳng định nào sau đây là đúng?
NC = ND;
DB = NC;
Cả A, B đều sai
Cả A, B đều đúng.
Đáp án đúng là: A
Ta có AN ⊥ BC (do H là trực tâm của tam giác ABC) nên HN ⊥ CM (H ∈ AN, M ∈ BC).
Theo đề bài ta có IK // DC, IK ⊥ HM, do đó HM ⊥ DC hay HM ⊥ NC (N ∈ DC).
Tam giác HNC có: HM ⊥ NC, CM ⊥ HN.
Do đó M là trực tâm của tam giác HNC.
Suy ra MN ⊥ HC.
Lại có HC ⊥ AB nên MN // AB hay MN // DB.
Xét tam giác CBD có MN // DB nên theo định lí Thalès ta có:
\(\frac{{{\rm{CM}}}}{{{\rm{MB}}}} = \frac{{{\rm{CN}}}}{{{\rm{ND}}}}\) hay \(\frac{{{\rm{CN}}}}{{{\rm{ND}}}} = 1\) (Vì CM = MB, do M là trung điểm của BC)
Suy ra CN = ND.
Cho hình bình hành ABCD. Gọi E là một điểm bất kì trên cạnh AB. Qua E kẻ đường thẳng song song với AC cắt BC tại F và kẻ đường thẳng song song với BD cắt AD tại H. Đường thẳng kẻ qua F song song với BD cắt CD tại G. Khi đó AH ⋅ CD bằng
AD ⋅ GB;
AD ⋅ CG;
GB ⋅ GC;
AB ⋅ CG.
Đáp án đúng là: B
Xét tam giác ABD có HE // BD nên theo định lí Thalès ta có:
\(\frac{{{\rm{AH}}}}{{{\rm{AD}}}} = \frac{{{\rm{AE}}}}{{{\rm{AB}}}}\) (1).
Xét tam giác CBD có GF // BD nên theo định lí Thalès ta có:
\(\frac{{{\rm{CF}}}}{{{\rm{CB}}}} = \frac{{{\rm{CG}}}}{{{\rm{CD}}}}\) (2).
Xét tam giác ABC có EF // AC nên theo định lí Thalès ta có:
\(\frac{{{\rm{AE}}}}{{{\rm{AB}}}} = \frac{{{\rm{CF}}}}{{{\rm{CB}}}}\) (3).
Từ (1), (2), (3) suy ra \(\frac{{{\rm{AH}}}}{{{\rm{AD}}}} = \frac{{{\rm{AE}}}}{{{\rm{AB}}}} = \frac{{{\rm{CF}}}}{{{\rm{CB}}}} = \frac{{{\rm{CG}}}}{{{\rm{CD}}}}\) hay \(\frac{{{\rm{AH}}}}{{{\rm{AD}}}} = \frac{{{\rm{CG}}}}{{{\rm{CD}}}}\).
Từ đó suy ra AH ⋅ CD = AD ⋅ CG.
Cho góc xOy khác góc bẹt. Trên tia Ox lấy hai điểm D, E, trên tia Oy lấy hai điểm F, G sao cho FD // EG. Đường thẳng kẻ qua G song song với EF cắt Ox tại H.
Tích OD ⋅ OH bằng
OB2;
CE2;
OE2;
EB2.
Đáp án đúng là: C
Xét tam giác OHG có EF // HG nên theo định lí Thalès ta có:
\(\frac{{{\rm{OF}}}}{{{\rm{OG}}}} = \frac{{{\rm{OE}}}}{{{\rm{OH}}}}\) (1).
Xét tam giác OEG có DF // EG nên theo định lí Thalès ta có:
\(\frac{{{\rm{OF}}}}{{{\rm{OG}}}} = \frac{{{\rm{OD}}}}{{{\rm{OE}}}}\) (2).
Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{{{\rm{OE}}}}{{{\rm{OH}}}} = \frac{{{\rm{OD}}}}{{{\rm{OE}}}}\).
Từ đó ta có OE ⋅ OE = OH ⋅ OD hay OE2 = OH ⋅ OD.
Cho tam giác ABC, từ điểm D trên cạnh AB kẻ đường thẳng song song với BC cắt AC tại E. Trên tia đối của tia CA, lấy điểm F sao cho CF = DB. Gọi M là giao điểm của DF và BC. Khẳng định nào sau đây là đúng?
\(\frac{{{\rm{DM}}}}{{{\rm{MF}}}} = \frac{{{\rm{AD}}}}{{{\rm{AB}}}}\);
\(\frac{{{\rm{DM}}}}{{{\rm{MF}}}} = \frac{{{\rm{AC}}}}{{{\rm{AB}}}}\);
\(\frac{{{\rm{MF}}}}{{{\rm{MD}}}} = \frac{{{\rm{AC}}}}{{{\rm{AB}}}}\);
\(\frac{{{\rm{DM}}}}{{{\rm{MF}}}} = \frac{{{\rm{AB}}}}{{{\rm{AC}}}}\).
Đáp án đúng là: B
Xét tam giác ABC có DE // BC nên theo định lí Thalès ta có:
\(\frac{{{\rm{AC}}}}{{{\rm{EC}}}} = \frac{{{\rm{AB}}}}{{{\rm{BD}}}}\) hay \(\frac{{{\rm{AC}}}}{{{\rm{AB}}}} = \frac{{{\rm{EC}}}}{{{\rm{BD}}}}\) (1).
Xét tam giác DEF có DE // MC (M ∈ BC) nên theo định lí Thalès ta có:
\(\frac{{{\rm{DM}}}}{{{\rm{MF}}}} = \frac{{{\rm{EC}}}}{{{\rm{CF}}}}\)(2).
Mà CF = DB (3).
Từ (1), (2) và (3) suy ra \(\frac{{{\rm{DM}}}}{{{\rm{MF}}}} = \frac{{{\rm{AC}}}}{{{\rm{AB}}}}\).
Cho tam giác ABC có đường cao AH. Trên AH lấy các điểm K, I sao cho AK = KI = IH. Qua I, K lần lượt vẽ các đường thẳng EF // BC, MN // BC (E, M ∈ AB; F, N ∈ AC). Khi đó \(\frac{{{\rm{AE}}}}{{{\rm{AB}}}} + \frac{{{\rm{AN}}}}{{{\rm{AF}}}}\) bằng
\(\frac{1}{2}\);
\(\frac{1}{3}\);
\(\frac{2}{3}\);
\(\frac{7}{6}\).
Đáp án đúng là: D
Vì MN // BC, EF // BC nên MN // BC // EF.
Trong tam giác ABH có EI // BH (I ∈ EF, H ∈ BC) nên theo định lí Thalès ta có:
\(\frac{{{\rm{AE}}}}{{{\rm{AB}}}} = \frac{{{\rm{AI}}}}{{{\rm{AH}}}}\) hay \(\frac{{{\rm{AE}}}}{{{\rm{AB}}}} = \frac{2}{3}\).
Trong tam giác AIF có KN // IF (I ∈ EF, K ∈ MN) nên theo định lí Thalès ta có:
\(\frac{{{\rm{AN}}}}{{{\rm{AF}}}} = \frac{{{\rm{AK}}}}{{{\rm{AI}}}}\) hay \(\frac{{{\rm{AN}}}}{{{\rm{AF}}}} = \frac{1}{2}\).
Ta có \(\frac{{{\rm{AE}}}}{{{\rm{AB}}}} + \frac{{{\rm{AN}}}}{{{\rm{AF}}}} = \frac{2}{3} + \frac{1}{2} = \frac{7}{6}\).
Cho tam giác ABC, điểm M thuộc cạnh AB, điểm N thuộc cạnh AC sao cho MN song song với BC. Hệ thức nào sau đây đúng theo định lí Thalès?
\(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{NC}}{{AC}}\).
\(\frac{{AM}}{{MB}} = \frac{{AN}}{{NC}}\).
\(\frac{{MB}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}}\).
\(\frac{{AM}}{{AN}} = \frac{{MB}}{{MC}}\).
Đáp án đúng là: B
Theo định lí Thalès trong tam giác, đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.
Do MN // BC nên ta có tỉ lệ thức tương ứng là \(\frac{{AM}}{{MB}} = \frac{{AN}}{{NC}}\).
Cho tam giác DEF, đường thẳng song song với EF cắt DE, DF lần lượt tại P, Q. Từ định lí Thalès, ta suy ra được hệ thức tích chéo nào dưới đây?
DP ∙ QF = PE ∙ DQ.
DP ∙ DQ = PE ∙ QF.
DP ∙ DF = DQ ∙ DE.
PE ∙ DF = QF ∙ DP.
Đáp án đúng là: A
Vì PQ // EF nên theo định lí Thalès ta có \(\frac{{DP}}{{PE}} = \frac{{DQ}}{{QF}}\).
Suy ra DP ∙ QF = PE ∙ DQ.
Cho tam giác MNP, đường thẳng song song với NP cắt MN tại I, cắt MP tại K. Khẳng định nào sau đây là sai?
\(\frac{{MI}}{{IN}} = \frac{{MK}}{{KP}}\).
\(\frac{{IN}}{{MN}} = \frac{{KP}}{{MP}}\).
\(\frac{{MI}}{{MN}} = \frac{{KP}}{{MP}}\).
\(\frac{{MI}}{{MN}} = \frac{{MK}}{{MP}}\).
Đáp án đúng là: C
Xét ∆MNP có IK // NP, áp dụng định lí Thalès, ta có:
\(\frac{{MI}}{{IN}} = \frac{{MK}}{{KP}}\); \(\frac{{IN}}{{MN}} = \frac{{KP}}{{MP}}\); \(\frac{{MI}}{{MN}} = \frac{{MK}}{{MP}}\).
Do đó, hệ thức \(\frac{{MI}}{{MN}} = \frac{{KP}}{{MP}}\) là sai.
Cho tam giác ABC, lấy điểm D trên cạnh AB, điểm E trên cạnh AC sao cho DE song song với BC. Gọi M là một điểm bất kì trên cạnh BC. Đường thẳng AM cắt DE tại I. Hệ thức nào sau đây là đúng?
\(\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{AI}}{{AM}}\).
\(\frac{{AD}}{{DB}} = \frac{{AM}}{{AI}}\).
\(\frac{{AE}}{{EC}} = \frac{{AI}}{{AM}}\).
\(\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{IM}}{{AM}}\).
Đáp án đúng là: A
Xét ∆ABM có DI // BM, theo định lí Thalès ta có \(\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{AI}}{{AM}}\).
Cho góc xOy. Trên tia Ox lấy các điểm A, B sao cho OA < OB; trên tia Oy lấy các điểm C, D sao cho OC < OD. Biết AC // BD. Đẳng thức nào sau đây chứng minh sự liên hệ đúng giữa các đoạn thẳng?
OA ∙ AB = OC ∙ CD.
OA ∙ CD = AB ∙ OC.
OB ∙ CD = OD ∙ OC.
AB ∙ OD = OB ∙ CD.
Đáp án đúng là: B
Xét ∆OBD có AC // BD, theo định lí Thalès ta có \(\frac{{OA}}{{AB}} = \frac{{OC}}{{CD}}\).
Nhân chéo hai vế của tỉ lệ thức này, ta được đẳng thức OA ∙ CD = AB ∙ OC.
Cho tam giác ABC. Lấy điểm D thuộc cạnh BC. Qua D kẻ đường thẳng song song với AC cắt AB tại E, kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC tại F. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:
\(\frac{{AE}}{{AB}} = \frac{{CD}}{{BC}}\).
\(\frac{{AF}}{{AC}} = \frac{{CD}}{{BC}}\).
\(\frac{{AE}}{{AB}} + \frac{{AF}}{{AC}} = 1\).
AE ∙ AC – AF ∙ AB = 0.
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng. Do ED // AC, theo định lí Thalès ta có \(\frac{{AE}}{{AB}} = \frac{{CD}}{{BC}}\).
b) Sai. Do FD // AB, theo định lí Thalès ta có \(\frac{{AF}}{{AC}} = \frac{{BD}}{{BC}}\).
c) Đúng. Từ a) và b), ta có: \(\frac{{AE}}{{AB}} = \frac{{CD}}{{BC}}\); \(\frac{{AF}}{{AC}} = \frac{{BD}}{{BC}}\).
Suy ra: \(\frac{{AE}}{{AB}} + \frac{{AF}}{{AC}} = \frac{{CD}}{{BC}} + \frac{{BD}}{{BC}} = \frac{{CD + BD}}{{BC}} = \frac{{BC}}{{BC}} = 1\).
d) Sai. Từ c) ta có \(\frac{{AE}}{{AB}} + \frac{{AF}}{{AC}} = 1\).
Suy ra \(\frac{{AE \cdot AC + AF \cdot AB}}{{AB \cdot AC}} = 1\) hay AE ∙ AC + AF ∙ AB = AB ∙ AC.
Cho tam giác ABC. Lấy điểm M thuộc cạnh AB. Qua M, kẻ đường thẳng song song với BC cắt AC tại N. Qua N, kẻ đường thẳng song song với AB cắt BC tại P. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:
\(\frac{{AM}}{{MB}} = \frac{{NC}}{{AN}}\).
\(\frac{{AN}}{{NC}} = \frac{{BP}}{{PC}}\).
MN = PC.
\(\frac{{AM}}{{MB}} = \frac{{MN}}{{PC}}\).
Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.
a) Sai. Xét ∆ABC có MN // BC nên \(\frac{{AM}}{{MB}} = \frac{{AN}}{{NC}}\) (định lí Thalès).
b) Đúng. Xét ∆ABC có NP // AB nên \(\frac{{AN}}{{NC}} = \frac{{BP}}{{PC}}\) (định lí Thalès).
c) Sai. Xét tứ giác MNPB có MN // BP và NP // MB nên MNPB là hình bình hành.
Suy ra MN = BP.
d) Đúng. Từ 3 ý a), b), c) ta có \(\frac{{AM}}{{MB}} = \frac{{BP}}{{PC}} = \frac{{MN}}{{PC}}\).
Cho tam giác ABC. Lấy điểm M thuộc cạnh AB, điểm N thuộc cạnh AC sao cho MN song song với BC. Gọi K là trung điểm của BC. Đoạn thẳng AK cắt MN tại I. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:
\(\frac{{AI}}{{IK}} = \frac{{MI}}{{BK}}\).
\(\frac{{AI}}{{IK}} = \frac{{IN}}{{KC}}\).
BK = KC.
I là trung điểm của MN.
Đáp án: a) Sai. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.
a) Sai. Chứng minh tương tự bài 9, ta có \(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AI}}{{AK}} = \frac{{MI}}{{BK}}\) (đây chính là hệ quả của định lí Thalès).
b) Sai. Tương tự, ta có \(\frac{{AN}}{{AC}} = \frac{{AI}}{{AK}} = \frac{{IN}}{{KC}}\) (hệ quả của định lí Thalès).
c) Đúng. Vì K là trung điểm của BC nên BK = KC.
d) Đúng. Từ hai ý a), b) ta có \[\frac{{MI}}{{BK}} = \frac{{IN}}{{KC}}\], mà BK = KC nên MI = IN hay điểm I là trung điểm của MN.
Hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau tại điểm O thỏa mãn hệ thức: OA . OD = OB . OC.
Từ hệ thức trên, ta lập được tỉ lệ thức: \(\frac{{OA}}{{OB}} = \frac{{OD}}{{OC}}\).
AB // CD.
Lấy điểm M bất kì nằm trên đoạn thẳng AB, đường thẳng qua hai điểm M và O cắt đoạn thẳng CD tại N. Khi đó ta có \(\frac{{OM}}{{ON}} = \frac{{AM}}{{CN}}\).
Nếu M là trung điểm của AB thì N là trung điểm của CD.
Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.
a) Sai. Từ hệ thức OA . OD = OB . OC ta có \(\frac{{OA}}{{OC}} = \frac{{OB}}{{OD}}\).
b) Đúng. Giả sử OA < OC, OB < OD.
Trên đoạn thẳng OC, lấy điểm A’ sao cho OA’ = OA. Trên đoạn thẳng OD, lấy điểm B’ sao cho OB’ = OB.
Theo ý a), ta có \(\frac{{OA'}}{{OC}} = \frac{{OB'}}{{OD}}\)
Theo định lí Thalès đảo ta có A’B’ // CD.
Mà AB // A’B’ (do \(\widehat {OAB} = \widehat {OA'B'}\) vì ∆OAB = ∆OA’B’).
Suy ra AB // CD.
c) Đúng. Do AB // CD, theo hệ quả định lí Thalès (được chứng minh ở Bài 8) ta có \(\frac{{OM}}{{ON}} = \frac{{AM}}{{CN}}\).
d) Đúng. Ngoài tỉ lệ ở lời giải ý c, ta còn có \(\frac{{OM}}{{ON}} = \frac{{BM}}{{DN}}\).
Suy ra \(\frac{{AM}}{{CN}} = \frac{{BM}}{{DN}}\).
Nếu M là trung điểm của AB (tức là AM = BM), thì tử số của hai phân thức bằng nhau, buộc mẫu số phải bằng nhau: CN = DN. Điều này chứng minh N là trung điểm của CD.
Cho hình thang ABCD (AB // CD). Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Qua O kẻ đường thẳng song song với hai đáy, cắt cạnh bên AD tại M và cắt cạnh bên BC tại N.
\(\frac{{OA}}{{AC}} = \frac{{OB}}{{BD}}\).
\(\frac{{OM}}{{CD}} = \frac{{OA}}{{AC}}\).
OM = ON.
\(\frac{1}{{MN}} = \frac{1}{{AB}} + \frac{1}{{CD}}\).
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng. Xét ∆ODC có AB // DC có \(\frac{{OA}}{{AC}} = \frac{{OB}}{{BD}}\).
b) Đúng. Theo hệ quả định lí Thalès trong ∆ADC có OM // CD, ta có \(\frac{{OM}}{{CD}} = \frac{{OA}}{{AC}}\).
c) Đúng. Theo hệ quả định lí Thalès trong ∆BDC có ON // CD, ta có \(\frac{{ON}}{{CD}} = \frac{{OB}}{{BD}}\).
Kết hợp với ý a), b) ta suy ra \(\frac{{OM}}{{CD}} = \frac{{ON}}{{CD}}\,\,\left( { = \frac{{OA}}{{AC}} = \frac{{OB}}{{BD}}} \right)\), tức là OM = ON.
d) Sai. Xét ∆ABD có OM // AB, ta có \(\frac{{OM}}{{AB}} = \frac{{OD}}{{BD}}\).
Khi đó \(\frac{{OM}}{{AB}} + \frac{{OM}}{{CD}} = \frac{{OD}}{{BD}} + \frac{{OB}}{{BD}} = \frac{{OD + OB}}{{BD}} = 1\).
Suy ra \(\frac{1}{{AB}} + \frac{1}{{CD}} = \frac{1}{{OM}}\).
Vì MN = OM + ON và \(OM = ON\) nên MN = 2OM, tức là \(OM = \frac{{MN}}{2}\) suy ra \(\frac{1}{{OM}} = \frac{2}{{MN}}.\)
Do đó, hệ thức chính xác phải là \(\frac{2}{{MN}} = \frac{1}{{AB}} + \frac{1}{{CD}}\).
Cho tam giác ABC. Lấy điểm M thuộc cạnh AB, điểm N thuộc cạnh AC sao cho MN // BC. Biết AM = 1,5MB. Kẻ ND // AB (D thuộc BC). Tính giá trị biểu thức \(P = \frac{{BD}}{{DC}}\).
Đáp án: 1,5.
Từ AM = 1,5MB suy ra \(\frac{{AM}}{{MB}} = 1,5\).
Vì MN // BC, theo định lí Thalès ta có \(\frac{{AN}}{{NC}} = \frac{{AM}}{{MB}} = 1,5\). (1)
Vì ND // AB, theo định lí Thalès ta có \(\frac{{BD}}{{DC}} = \frac{{AN}}{{NC}}\). (2)
Từ (1) và (2), ta suy ra \(\frac{{BD}}{{DC}} = 1,5\).
Vậy P = 1,5.
Cho tam giác ABC. Lấy điểm M trên cạnh AB sao cho \(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{1}{3}\). Kẻ MN // BC (N thuộc AC). Qua điểm M tiếp tục kẻ đường thẳng MI // AC cắt cạnh BC tại I. Tính giá trị của tỉ số \(\frac{{BI}}{{IC}}\).
Đáp án: 2.
Từ hệ thức \(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{1}{3}\), ta có \(\frac{{AM}}{{AB - AM}} = \frac{1}{{3 - 1}}\) nên \(\frac{{AM}}{{MB}} = \frac{1}{2}\) hay \(\frac{{MB}}{{AM}} = 2\).
Vì MI // AC, theo định lí Thalès, ta có \(\frac{{BI}}{{IC}} = \frac{{MB}}{{AM}} = 2\).
Vậy \(\frac{{BI}}{{IC}} = 2.\)
Cho tam giác ABC, lấy điểm D trên cạnh AB sao cho AD = 4 cm, DB = 6 cm. Kẻ DE // BC (E thuộc AC) và kẻ EF // AB (F thuộc BC). Biết hệ thức \(\frac{{BF}}{{FC}} = \frac{a}{b}\) với \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Tính tổng a + b.
Đáp án: 5.
Vì DE // BC, theo định lí Thalès ta có \(\frac{{AE}}{{EC}} = \frac{{AD}}{{DB}}\).
Thay số ta được \(\frac{{AE}}{{EC}} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\).
Vì EF // AB, theo định lí Thalès ta có \(\frac{{BF}}{{FC}} = \frac{{AE}}{{EC}}\).
Suy ra \(\frac{{BF}}{{FC}} = \frac{2}{3}\). Vì phân số này đã tối giản nên a = 2, b = 3.
Giá trị tổng a + b = 2 + 3 = 5.
Cho tam giác ABC và một điểm P bất kì nằm trên cạnh BC. Qua P kẻ đường thẳng PE // AB (E thuộc AC) và kẻ đường thẳng PF // AC (F ∈ AB). Biết rằng \(\frac{{AF}}{{AB}} + \frac{{AE}}{{AC}} = k\). Tìm giá trị hằng số k.
Đáp án: 1.
Vì PE // AB, theo định lí Thalès ta có hệ thức \(\frac{{AE}}{{AC}} = \frac{{BP}}{{BC}}\).
Vì PF // AC, theo định lí Thalès ta có hệ thức \(\frac{{AF}}{{AB}} = \frac{{CP}}{{BC}}\).
Tiến hành cộng vế theo vế hai đẳng thức vừa thiết lập:
\(\frac{{AF}}{{AB}} + \frac{{AE}}{{AC}} = \frac{{CP}}{{BC}} + \frac{{BP}}{{BC}} = \frac{{CP + BP}}{{BC}} = \frac{{BC}}{{BC}} = 1.\)
Do đó k = 1.
Cho tam giác ABC. Lấy điểm D thuộc cạnh BC. Từ D kẻ đường thẳng DE // AC (E thuộc AB) và đường thẳng DF // AB (F thuộc AC). Biết tỉ số \(\frac{{BD}}{{DC}} = \frac{1}{2}\). Tính giá trị của biểu thức tích \(T = \frac{{AE \cdot AF}}{{EB \cdot FC}}.\)
Đáp án: 1.
Vì DE // AC, theo định lí Thalès ta có \(\frac{{AE}}{{EB}} = \frac{{CD}}{{BD}}\).
Từ giả thiết \(\frac{{BD}}{{DC}} = \frac{1}{2}\), suy ra \(\frac{{CD}}{{BD}} = 2\). Do đó \(\frac{{AE}}{{EB}} = 2\).
Mặt khác, vì DF // AB, theo định lí Thalès ta có hệ thức \(\frac{{AF}}{{FC}} = \frac{{BD}}{{DC}} = \frac{1}{2}\).
Do đó, ta có: \(T = \frac{{AE \cdot AF}}{{EB \cdot FC}} = \frac{{AE}}{{EB}} \cdot \frac{{AF}}{{FC}} = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1\).
