Bài tập Chứng minh các hệ thức hình học lớp 8 (có lời giải)

Đáp án đúng là: D

Đáp án đúng là: B

Theo định lí Thalès trong tam giác, đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

Do MN // BC nên ta có tỉ lệ thức tương ứng là \(\frac{{AM}}{{MB}} = \frac{{AN}}{{NC}}\).

Đáp án đúng là: A

Vì PQ // EF nên theo định lí Thalès ta có \(\frac{{DP}}{{PE}} = \frac{{DQ}}{{QF}}\).

Suy ra DP ∙ QF = PE ∙ DQ.

Đáp án đúng là: C

Xét ∆MNP có IK // NP, áp dụng định lí Thalès, ta có:

\(\frac{{MI}}{{IN}} = \frac{{MK}}{{KP}}\); \(\frac{{IN}}{{MN}} = \frac{{KP}}{{MP}}\); \(\frac{{MI}}{{MN}} = \frac{{MK}}{{MP}}\).

Do đó, hệ thức \(\frac{{MI}}{{MN}} = \frac{{KP}}{{MP}}\) là sai.

Đáp án đúng là: A

Xét ∆ABM có DI // BM, theo định lí Thalès ta có \(\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{AI}}{{AM}}\).

Đáp án đúng là: B

Xét ∆OBD có AC // BD, theo định lí Thalès ta có \(\frac{{OA}}{{AB}} = \frac{{OC}}{{CD}}\).

Nhân chéo hai vế của tỉ lệ thức này, ta được đẳng thức OA ∙ CD = AB ∙ OC.

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Do ED // AC, theo định lí Thalès ta có \(\frac{{AE}}{{AB}} = \frac{{CD}}{{BC}}\).

b) Sai. Do FD // AB, theo định lí Thalès ta có \(\frac{{AF}}{{AC}} = \frac{{BD}}{{BC}}\).

c) Đúng. Từ a) và b), ta có: \(\frac{{AE}}{{AB}} = \frac{{CD}}{{BC}}\); \(\frac{{AF}}{{AC}} = \frac{{BD}}{{BC}}\).

Suy ra: \(\frac{{AE}}{{AB}} + \frac{{AF}}{{AC}} = \frac{{CD}}{{BC}} + \frac{{BD}}{{BC}} = \frac{{CD + BD}}{{BC}} = \frac{{BC}}{{BC}} = 1\).

d) Sai. Từ c) ta có \(\frac{{AE}}{{AB}} + \frac{{AF}}{{AC}} = 1\).

Suy ra \(\frac{{AE \cdot AC + AF \cdot AB}}{{AB \cdot AC}} = 1\) hay AE ∙ AC + AF ∙ AB = AB ∙ AC.

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Sai. Xét ∆ABC có MN // BC nên \(\frac{{AM}}{{MB}} = \frac{{AN}}{{NC}}\) (định lí Thalès).

b) Đúng. Xét ∆ABC có NP // AB nên \(\frac{{AN}}{{NC}} = \frac{{BP}}{{PC}}\) (định lí Thalès).

c) Sai. Xét tứ giác MNPB có MN // BP và NP // MB nên MNPB là hình bình hành.

Suy ra MN = BP.

d) Đúng. Từ 3 ý a), b), c) ta có \(\frac{{AM}}{{MB}} = \frac{{BP}}{{PC}} = \frac{{MN}}{{PC}}\).

Đáp án: a) Sai. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Sai. Chứng minh tương tự bài 9, ta có \(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AI}}{{AK}} = \frac{{MI}}{{BK}}\) (đây chính là hệ quả của định lí Thalès).

b) Sai. Tương tự, ta có \(\frac{{AN}}{{AC}} = \frac{{AI}}{{AK}} = \frac{{IN}}{{KC}}\) (hệ quả của định lí Thalès).

c) Đúng. Vì K là trung điểm của BC nên BK = KC.

d) Đúng. Từ hai ý a), b) ta có \[\frac{{MI}}{{BK}} = \frac{{IN}}{{KC}}\], mà BK = KC nên MI = IN hay điểm I là trung điểm của MN.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Xét ∆ODC có AB // DC có \(\frac{{OA}}{{AC}} = \frac{{OB}}{{BD}}\).

b) Đúng. Theo hệ quả định lí Thalès trong ∆ADC có OM // CD, ta có \(\frac{{OM}}{{CD}} = \frac{{OA}}{{AC}}\).

c) Đúng. Theo hệ quả định lí Thalès trong ∆BDC có ON // CD, ta có \(\frac{{ON}}{{CD}} = \frac{{OB}}{{BD}}\).

Kết hợp với ý a), b) ta suy ra \(\frac{{OM}}{{CD}} = \frac{{ON}}{{CD}}\,\,\left( { = \frac{{OA}}{{AC}} = \frac{{OB}}{{BD}}} \right)\), tức là OM = ON.

d) Sai. Xét ∆ABD có OM // AB, ta có \(\frac{{OM}}{{AB}} = \frac{{OD}}{{BD}}\).

Khi đó \(\frac{{OM}}{{AB}} + \frac{{OM}}{{CD}} = \frac{{OD}}{{BD}} + \frac{{OB}}{{BD}} = \frac{{OD + OB}}{{BD}} = 1\).

Suy ra \(\frac{1}{{AB}} + \frac{1}{{CD}} = \frac{1}{{OM}}\).

Vì MN = OM + ON và \(OM = ON\) nên MN = 2OM, tức là \(OM = \frac{{MN}}{2}\) suy ra \(\frac{1}{{OM}} = \frac{2}{{MN}}.\)

Do đó, hệ thức chính xác phải là \(\frac{2}{{MN}} = \frac{1}{{AB}} + \frac{1}{{CD}}\).

Đáp án: 1,5.

Từ AM = 1,5MB suy ra \(\frac{{AM}}{{MB}} = 1,5\).

Vì MN // BC, theo định lí Thalès ta có \(\frac{{AN}}{{NC}} = \frac{{AM}}{{MB}} = 1,5\). (1)

Vì ND // AB, theo định lí Thalès ta có \(\frac{{BD}}{{DC}} = \frac{{AN}}{{NC}}\). (2)

Từ (1) và (2), ta suy ra \(\frac{{BD}}{{DC}} = 1,5\).

Vậy P = 1,5.

Đáp án: 2.

Từ hệ thức \(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{1}{3}\), ta có \(\frac{{AM}}{{AB - AM}} = \frac{1}{{3 - 1}}\) nên \(\frac{{AM}}{{MB}} = \frac{1}{2}\) hay \(\frac{{MB}}{{AM}} = 2\).

Vì MI // AC, theo định lí Thalès, ta có \(\frac{{BI}}{{IC}} = \frac{{MB}}{{AM}} = 2\).

Vậy \(\frac{{BI}}{{IC}} = 2.\)

Đáp án: 5.

Vì DE // BC, theo định lí Thalès ta có \(\frac{{AE}}{{EC}} = \frac{{AD}}{{DB}}\).

Thay số ta được \(\frac{{AE}}{{EC}} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\).

Vì EF // AB, theo định lí Thalès ta có \(\frac{{BF}}{{FC}} = \frac{{AE}}{{EC}}\).

Suy ra \(\frac{{BF}}{{FC}} = \frac{2}{3}\). Vì phân số này đã tối giản nên a = 2, b = 3.

Giá trị tổng a + b = 2 + 3 = 5.

Đáp án: 1.

Vì PE // AB, theo định lí Thalès ta có hệ thức \(\frac{{AE}}{{AC}} = \frac{{BP}}{{BC}}\).

Vì PF // AC, theo định lí Thalès ta có hệ thức \(\frac{{AF}}{{AB}} = \frac{{CP}}{{BC}}\).

Tiến hành cộng vế theo vế hai đẳng thức vừa thiết lập:

\(\frac{{AF}}{{AB}} + \frac{{AE}}{{AC}} = \frac{{CP}}{{BC}} + \frac{{BP}}{{BC}} = \frac{{CP + BP}}{{BC}} = \frac{{BC}}{{BC}} = 1.\)

Do đó k = 1.

Đáp án: 1.

Vì DE // AC, theo định lí Thalès ta có \(\frac{{AE}}{{EB}} = \frac{{CD}}{{BD}}\).

Từ giả thiết \(\frac{{BD}}{{DC}} = \frac{1}{2}\), suy ra \(\frac{{CD}}{{BD}} = 2\). Do đó \(\frac{{AE}}{{EB}} = 2\).

Mặt khác, vì DF // AB, theo định lí Thalès ta có hệ thức \(\frac{{AF}}{{FC}} = \frac{{BD}}{{DC}} = \frac{1}{2}\).

Do đó, ta có: \(T = \frac{{AE \cdot AF}}{{EB \cdot FC}} = \frac{{AE}}{{EB}} \cdot \frac{{AF}}{{FC}} = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1\).