Bài tập
10 câu hỏi
Cho đường tròn (O, R) đường kính AB và dây AC không qua tâm O. Gọi H là trung điểm của AC
a, Tính số đo góc ACB^ và chứng minh OH//BC
b, Tiếp tuyên tại C của (O) cắt OH ở M. Chứng minh đường thẳng AM là tiếp tuyến của (O) tại A
c, Vẽ CK vuông góc AB tại K. Gọi I là trung điểm của CK và đặt CAB^ = α. Chứng minh IK = Rsinα.cosα
d, Chứng minh ba điểm M, I, B thẳng hàng
a, HS tự làm
b, HS tự làm
c, IK = 12CK = 12AC.sinα = R.cosα.sinα
d, Giả sử BI cắt AM tại N. Vì IK//AM => MO = OP
=> 1OI2=1OM2+1ON2
= 1OP2+1ON2=1OB2 => M≡N
Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB, đường thẳng d là tiếp tuyến vói (O) tại A. Trên d lây điểm M, đường thẳng MB cắt (O) tại C. Tiếp tuyến tại C cắt d tại I
a, Chứng minh O, A, I, C cùng thuộc một đường tròn
b, Chứng minh I là trung điểm của AM
c, Chứng minh: MB.MC = OM2-AB24
d, Khi M di động trên d, trọng tâm G của tam giác AOC thuộc đường cố định nào?
a, HS tự chứng minh
b, Ta có: IAC^=ICA^ => IMC^=ICM^ nếu IM = IA = IC
c, Sử dụng hệ thức lượng cho ∆AMB ta dùng Pytago cho tam giác AMB
d, Kẻ GD//AC (D∈OC) => D cố định lại có OI⊥AC => OG⊥DG
=> G thuộc đường tròn đường kính OD cố định
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Vẽ đường tròn (O) đường kính BH và đường tròn tâm O' đường kính CH, hai đường tròn này cắt AB, AC thứ tự tại E và F
a, Tứ giác AEHF là hình gì?
b, Chứng minh EF là tiếp tuyến chung của (O) và (O’)
c, Chứng minh đường tròn đường kính OO' tiếp xúc với EF
d, Cho đường tròn tâm I bán kính r tiếp xúc với EF, (O) và (O’). Tính r theo BH và CH?
a, HS tự làm
b, HS tự làm
c, Chú ý hình thang vuông OEFO’ và xét đường trung bình của hình thang này
d, Từ I kẻ đường thảng song song với EF cắt OE tại M , cắt O’F tại N
Đặt BH=2R; CH= 2R’
∆IOM vuông tại M có:
IM2=IO2-OM2 = R+r2-R-r2=4Rr
Tương tự , ∆ION có IN2=4R'r
Suy ra IM+IN=EF=AH
Vậy 2Rr+2R'r=2RR'
=> rR+R'=RR'
=> r = RR'R+R'2
Cho đường tròn (O) đường kính CD = 2R, M là điểm thuộc (O) sao cho MC < MD. Gọi K là trung điểm của CM, tia OK cắt tiếp tuyến Cx tại A
a, Chứng minh OA // MD. Từ đó suy ra MA là tiếp tuyến của (O)
b, Gọi B là giao điểm của AM và tiếp tuyến Dy của (O), H là giao điểm của OB và MD. Khi M thay đổi, chứng minh (KO.KA + HO.HB) không phụ thuộc vị trí của M
c, Giả sử CM = R, đường thẳng AB cắt CD tại S. Kẻ CE⊥AB tại E. Chứng minh AE.SM = AM. SE
d, Khi M thay đổi, chứng minh giao điểm của AD và CB luôn thuộc một đường cố định
a, HS tự chứng minh
b, Chứng minh KA .KO + HB.HO = KH2=MO2=R2 không đổi
c, Với giả thiết này thì ∆CMO đều và COM^=600
=> ECA^=MCA^=300
Dùng tính chất phân giác trong và ngoài của MCE^ được đpcm
d, Gọi giao điểm của CB và AD là I. Do AC//BD
Gọi giao điểm của MI với CD là G , chứng minh tương tự trên ta được IM=IG. Vậy I là trung điểm của MG => I thuộc đường nối các trung điểm của đoạn vuông góc từ M xuống CD
Cho AB và CD là hai đường kính vuông góc của đường tròn (O; R). Trên tia đối của tia CO lấy điểm S, SA cắt đường tròn (O) tại M. Tiếp tuyến tại M với đường tròn (O) cắt CD tại E, BM cắt CO tại F
a, Chứng minh: EM.AM = MF.OA
b, Chứng minh: ES = EM = EF
c, Gọi I là giao điểm của đoạn thẳng SB và (O). Chứng minh A, I, F thẳng hàng
d, Cho EM = R, tính FA.SM theo R
e, Kẻ MH⊥AB. Xác định vị trí điểm M để tam giác MHO có diện tích đạt giá trị lớn nhất
a, Chứng minh ∆MEF:∆MOA
b, ∆MEF:∆MOA mà AO=OM => ME=EF
c, Chứng minh F là trực tâm của ∆SAB, AI là đường cao, chứng minh A,I,F thẳng hàng
d, FA.SM = 2R2
e, SMHO=12OH.MH ≤ 12.12MO2=14R2
=> M ở chính giữa cung AC
Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Điểm C thuộc (O) sao cho CA < CB. Vói H là hình chiếu vuông góc của C trên AB, gọi D, M, N theo thứ tự là giao của đường tròn I đường kính CH với (O), AC và BC
a, Tứ giác CMHN là hình gì?
b, Chứng minh OC⊥MN
c, Với E = AB∩CD, chứng minh các điểm E, I, M và N thẳng hàng
d, Chứng minh ED.EC = EA.EB
a, Tứ giác CMHN là hình chữ nhật
b, Ta có OCA^=OAC^
CBA^=ACH^;ACH^=CMN^
=> OCA^+CMN^=900
Vậy OC⊥MN
c, Ta có ∆IOC có E là trực tâm suy ra IN đi qua M và E (đpcm)
d, Ta có EMA^=CMN^;CMN^=CBA^ => ∆EMA:∆ENB
Tương tự ∆EMH:∆EHN => EM.EN = EH2 ngoài ra , ∆EHC vuông tại H có HD là đường cao
=> EH2 = ED.EC. Từ đó ta có đpcm
Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Qua A và B vẽ lần lượt hai tiếp tuyến d và d' với (O). Một đường thẳng qua O cắt d ở M và cắt d' ở P. Từ O vẽ một tia vuông góc với MP và cắt d' ở N
a, Chứng minh OM = OP và tam giác NMP cân
b, Gọi I là hình chiếu vuông góc của O lên MN. Chứng minh OI = R và MN là tiếp tuyến của (O)
c, Chứng minh AM. BN = R2
d, Tìm vị trí của M để tứ giác AMNB có diện tích đạt giá trị nhỏ nhất
a, ∆MAO = ∆PBO => MO = OP => ∆MNP cân
Vì đường cao NO đồng thời là đường trung tuyến
b, 1OI2-1OM2+1ON2
= 1OP2+1ON2=1OB2 => OI = R
=> MN là tiếp tuyến của (O)
c, AM.BN = MI.IN = OI2=R2
d, SAMNB=MN.AB2
=> SAMNB min
<=> MNmin <=> AM = R
Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R và C là điểm trên (O). Kẻ BI là phân giác góc ABC với I∈(O) và gọi E là giao điểm của AI và BC
a, Tam giác ABE là tam giác gì? Vì sao?
b, Gọi K là giao điểm của AC và BI. Chứng minh EK⊥AB
c, Gọi F là điểm đối xứng với K qua I. Chứng minh AF là tiếp tuyến của (O) và tứ giác AFEK là hình thoi
d, Khi điểm C di chuyển trên (O) thì E di chuyển trên đường nào?
a, ∆ABE cân vì BI vừa là đường cao vừa là đường phân giác
b, Chứng minh K là trực tâm ∆ABE => EK⊥AB
c, Chứng minh: AFB^+ABF^=KBC^+BKC^=900
=> FAB^=900
=> FA là tiếp tuyến (O)
d, C di chuyển trên (O) thì E di chuyển trên (B;BA)
Cho đường tròn (O; R) và B nằm trên (O). Từ điểm A bất kì nằm trên tiếp tuyến d tại B với (O), kẻ BH⊥AO tại H
a, Khi A di chuyến trên d, chứng minh tích OH.OA có giá trị không đổi
b, Gọi C là điểm đối xứng của B qua H. Chứng minh AC là tiếp tuyến của (O)
c, Tia đối của tia OA cắt (O) tại M. Chứng minh M cách đều ba đường thẳng BC, AB, AC
a, OH.OA = OB2=R2 không đổi\
b, Chứng minh ∆ABO = ∆ACO
c, Vẽ ON⊥BM => BON^=MON^
có BON^=MBx^;MON^=HBM^
=> MBx^=HBM^
=> MB là phân giác của CBx^ nên M cách đều hai cạnh BA và BC mà AM là phân giác BAC^ => đpcm
d, Ta có ∆ODA:∆OHI => OI.OD = OH.OA = R2
Ta có: 3OI+OD ≥ 23OI.OD = 2R3
=> (3OI+OD)min = 2R3 <=> OI = R33
Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh AB = c, AC = b, BA = a và p là nửa chu vi của tam giác. Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác lần lượt tiếp xúc với BC, AC và AB tại D, E và F
a, Chứng minh (I) có bán kính r = (p – a)tanBAC^2
b, Với BAC^ = α, tìm số đo của góc EDF theo α
c, Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của B,C trên EF. Chứng minh: ∆BHF:∆CKE
d, Kẻ DP vuông góc vói EF tại P. Chứng minh: ∆FPB:∆CEP và PD là tia phân giác của góc BPC^
a, Ta đã chứng minh được: AE = b+c-a2
=> AE = a+b+c-2a2 = p – a
∆AIE có IE = EA.tanBAC^2
= (p – a).tanBAC^2
b, Chú ý: BI⊥FD và CI⊥E. Ta có:
BIC^=1800-IBC^+ICD^ = 1800-12ABC^+ACB^
= 1800-121800-BAC^ = 900+BAC^2
Mà: EDF^=1800-BIC^=900-α2
c, BH,AI,CK cùng vuông góc với EF nên chúng song song => HBA^=IAB^ (2 góc so le trong)
và KCA^=IAC^ mà IAB^=IAC^ nên HBA^=KCA^
Vậy: ∆BHF:∆CKE
d, Do BH//DP//CK nên BDDC=HPPK mà DB = DF và CD = CE
=> HPPK=BFCE=BHCK => ∆BPH:∆CPK => BPH^=CPE^
Lại có: BFP^=CEF^ => ∆BPF:∆CEP (g.g)
mà BPD^=CPD^ => PD là phân giác của BPC^
