Bài 8: Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông

Xét hai tam giác vuông ABC và MDC, ta có:

$\angle$(BAC) = $\angle$(DMC ) = ${90}^0$

$\angle$C chung

Suy ra tam giác ABC đồng dạng với tam giác MDC (g.g)

Suy ra: 

Suy ra: 

Ta có: MC = 1/2 .BC = 1/2 .24 = 12 (cm)

Vây DC = (12.24)/9 = 32 (cm)

Ta có: AD = AE + DE

Suy ra: DE = AD – AE = 17 – 8 = 9cm

Xét $△$ABE và $△$DEC, ta có:

$\angle$A = $\angle$D = ${90}^0$ (1)

Mà :

Suy ra:  (2)

Từ (1) và (2) suy ra :$△$ABE đồng dạng $△$DEC (c.g.c)

Suy ra: $\angle$ABE = $\angle$DEC

Trong $△$ABE ta có: $\angle$A = ${90}^0$ ⇒ $\angle$(AEB) + $\angle$(ABE) = ${90}^0$

Suy ra: $\angle$(AEB) + $\angle$(DEC) = ${90}^0$

Lại có: $\angle$(AEB) + $\angle$(BEC) + $\angle$(DEC) = ${180}^0$ (kề bù)

Vậy : $\angle$(BEC) = ${180}^0$- ($\angle$(AEB) + $\angle$(DEC)) = ${180}^0$ - ${90}^0$ = ${90}^0$

Xét hai tam giác vuông ABC và CDB, ta có:

$\angle$(BAC) = $\angle$(DCB) = ${90}^0$ (1)

Mà:

Suy ra:  (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $△$ABC đồng dạng $△$CDB (cạnh huyền và cạnh góc vuông tỉ lệ)

Suy ra: $\angle$(ACB) = $\angle$(CBD)

⇒ BD//AC ( hai góc ở vị trí so le trong bằng nhau )

-$△$ABC đồng dạng $△$HBA

Hai tam giác vuông có góc nhọn ở đỉnh B chung

-$△$ABC đồng dạng $△$HAC

Hai tam giác vuông có góc nhọn ở đỉnh C chung

-$△$ABC đồng dạng $△$NMC

Hai tam giác vuông có góc nhọn ở đỉnh C chung

-$△$HAC đồng dạng $△$NMC

Hai tam giác vuông có góc nhọn ở đỉnh C chung

-$△$HAC đồng dạng $△$HBA

Hai tam giác vuông có góc nhọn $\angle$(HBA) = $\angle$(HAC)

-$△$HAB đồng dạng $△$NCM

Hai tam giác vuông có góc nhọn $\angle$(HAB) = $\angle$(NCM)

Xét hai tam giác vuông HBA và HAC, ta có:

$\angle$(AHB) = $\angle$(AHC) = ${90}^0$

$\angle$B = $\angle$(HAC) (hai góc cùng phụ C )

Suy ra: $△$HBA đồng dạng $△$HAC (g.g)

Suy ra: 

Vậy $A{H}^2=BH.CH$

Xét hai tam giác vuông DAC và DBA ,ta có:

$\angle$(ADC) = $\angle$(BDA) = ${90}^0$

$\angle$C = $\angle$(DAB) (hai góc cùng phụ $\angle$B )

Suy ra: $△$DAC đồng dạng $△$DBA (g.g)

Suy ra: 

⇒ $D{A}^2=DB.DC$

hay DA = $\sqrt{\left(DB.DC\right)}$= $\sqrt{9.16}$ = 12 (cm)

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông ABD, ta có:

$A{B}^2=D{A}^2+D{B}^2=9^2+{12}^2$ = 225 ⇒ AB =15 (cm)

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông ACD,ta có:

AC2 = DA2 + DC2 = 122 +162 = 400 ⇒ AC = 20cm

Vậy BC = BD + DC = 9 + 16 = 25(cm)

Xét hai tam giác vuông HBA,HAC có:

$\angle$(BHA) = $\angle$(AHC) = ${90}^0$

$\angle$B = $\angle$(HAC) (hai góc cùng phụ $\angle$C )

⇒$△$HBA đồng dạng $△$HAC (g.g)

Suy ra: 

⇒ $H{A}^2$ = HB.HC = 4.9 = 36(cm)

Suy ra: AH = 6(cm)

Lại có: BM = 1/2 BC = 1/2 .(9+4) = 1/2 .13 = 6,5cm

Mà HM = BM – BH = 6,5 – 4 = 2,5cm

Vậy $S_{AHM}$ = 1/2 AH.HN = 1/2 .6.2,5 = 7,5$c{m}^2$

Xét $△$OEA và $△$OFB có:

$\angle$OEA = $\angle$OFB) = ${90}^0$

$\angle$O chung

Suy ra, $△$OEA đồng dạng với $△$OFB

Chọn C

Xét hai tam giác ABC và HBA, ta có: $\angle$BAC = $\angle$BHA = 1v

Góc B là góc nhọn chung

Vậy $△$ABC đồng dạng $△$HBA

Xét tam giác vuông ABH, ta có:

HB = √$\sqrt{\left(A{B}^2-A{H}^2\right)}=\sqrt{\left(m^2-n^2\right)}$

Từ đó, ta có: 

Với m = 12,5cm, n = 10,85cm, ta tính được:

AC ≈ 21,85cm; BC ≈ 25,17cm.

Xét hai tam giác vuông ABH và CAH có:

$\angle$ABH = $\angle$CAH (cùng phụ với góc $\angle$BAH)

Do đó $△$ABH đồng dạng $△$CAH (g.g).

Suy ra: 

⇒$A{H}^2$ = BH. CH = 4.9 = 36 ⇒ AH = 6(cm)

Mặt khác, HD ⊥ AB và HE ⊥ AC nên ADHE là hình chữ nhật.

Suy ra: DE = AH = 6 (cm)

Vì ADHE là hình chữ nhật nên OD = OH

Suy ra, tam giác ODH cân tại O ⇒ $\angle$ODH = $\angle$OHD

Mà 

Xét tam giác MBD có:

$\angle$(MDB) = $\angle$(MBD) (vì cùng phụ với hai góc bằng nhau $\angle$(MDH) = $\angle$(MHD))

Suy ra, tam giác MBD cân tại M, do đó MD = MB (2)

Từ (1) và (2) suy ra, MB = MH

Vậy M là trung điểm của BH

Tương tự, ta cũng có N là trung điểm của CH.

Theo chứng minh trên, ta có:

DM = MH = 1/2 BH = 1/2.4 = 2(cm)

EN = NH = 1/2 CH = 1/2.9 = 4,5(cm)

DE = AH = 6(cm)

DENM là hình thang vuông, do đó diện tích của nó là:

$S_{DENM}$ = 1/2(DM + EN)DE = 1/2.(2+4,5).6 = 19,5($c{m}^2$).