Bài 6: Đối xứng trục

Vì D đối xứng với M qua trục AB

⇒ AB là đường trung trực của MD.

⇒ AD = AM (t/chất đường trung trực) (1)

Vì E đối xứng với M qua trục AC

⇒ AC là đường trung trực của ME

⇒ AM = AE (t/chất đường trung trực) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AD = AE

AD = AM suy ra $∆$AMD cân tại A có AB ⊥ MD nên AB cũng là đường phân giác của $\angle$(MAD)

⇒ $\angle A_1$ = $\angle A_2$

AM = AE suy ra $∆$AME cân tại A có AC ⊥ ME nên AC cũng là đường phân giác của $\angle$(MAE)

⇒ $\angle A_3$ = $\angle A_4$

$\angle$(DAE) = $\angle A_1$ + $\angle A_2$ + $\angle A_3$ + $\angle A_4$ = 2( $\angle A_2$+ $\angle A_3$ ) = 2$\angle$(BAC) = 2.${70}^0$ = ${140}^0$

Vì M đối xứng với H qua trục BC

⇒ BC là đường trung trực của HM

⇒ BH = BM (t/chất đường trung trực)

CH = CM (t/chất đường trung trực)

Xét tam giác BHC và tam giác BMC có:

BC chung

BH= BM ( chứng minh trên)

CH = CM (chứng minh trên)

Suy ra: $∆$BHC = $∆$BMC (c.c.c)

Gọi giao điểm BH với AC là D, giao điểm của CH và AB là E, H là trực tâm của ΔABC

⇒ BD ⊥ AC, CE ⊥ AB

Xét tứ giác ADHE, ta có:

$\angle$(DHE) = ${360}^0$ – ($\angle$A + $\angle$D + $\angle$E ) = ${360}^0-\left({60}^0+{90}^0+{90}^0\right)={120}^0$

$\angle$(BHC) = $\angle$(DHE)(đối đỉnh)

$∆$BHC = $∆$BMC (chứng minh trên)

⇒ $\angle$(BMC) = $\angle$(BHC)

Suy ra: $\angle$(BMC) = $\angle$(DHE) = ${120}^0$

B và H đối xứng qua AD.

I và A đối xứng với chính nó qua AD

Nên $\angle$(AIB) đối xứng với $\angle$(AIH) qua AD

⇒ $\angle$(AIB) = $\angle$(AIH)

Lại có: $\angle$(AIH) = $\angle$(DIC) ( 2 góc đối đỉnh)

Suy ra: $\angle$(AIB) = $\angle$(DIC)

Vì A' đối xứng với A qua xy

⇒ xy là đường trung trực của AA'.

⇒ CA' = CA (t/chất đường trung trực)

MA' = MA (t/chất đường trung trực)

AC + CB = A'C + CB = A'B (1)

MA + MB = MA'+ MB (2)

Trong $∆$MA'B, ta có:

A'B < A'M + MB (bất đẳng thức tam giác) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: AC + CB < AM + MB

Ta có: $△$ABC cân tại A; AH ⊥ BC (gt)

Suy ra: AH là tia phân giác của góc A

Lại có: AI = AK (gt)

Suy ra: $∆$AIK cân tại A

Do AH là tia phân giác của góc A

Nên AH là đường trung trực của IK

Vậy I đối xứng với K qua AH.

Ta có:

* BA = BC (gt)

Suy ra B thuộc đường trung trực của AC

* DC = DA (gt)

Suy ra D thuộc đường trung trực của AC

Mà B $\ne$ D nên BD là đường trung trực của AC

Do đó A đối xứng với C qua trục BD.

d là đường thẳng trung trực của BC nên B và C đối xứng qua d

K đối xứng với A qua d

Nên đoạn thẳng đối xứng với đoạn AB qua d là đoạn KC

Đoạn thẳng đối xứng với đoạn AC qua d là đoạn KB.

d là đường trung trực của BC (gt) ⇒ d ⊥ BC

A và K đối xứng qua d nên d lả trung trực của AK ⇒ d ⊥ AK

Suy ra: BC //AK. Tứ giác ABCK là hình thang.

AC và KB đối xứng qua d nên AC = BK

Vậy hình thang ABCK là hình thang cân.

Trên tia đối tia CB lấy điểm E sao cho CE = CA. Nối MA, ME nên $∆$ACE cân tại C có CM là đường phân giác nên CM là đường trung trực (tính chất tam giác cân)

⇒ MA = ME (tính chất đường trung trực)

Ta có: AC + BC = CE + BC = BE (1)

MA + MB = ME + MB (2)

Trong $∆$MBE, ta có: BE < MB+ ME (bất đẳng thức tam giác) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: AC + CB < AM + MB.

Hình 4 là hình có trục đối xứng.

- Kéo dài AB, CD cắt d tại M, Q

- Trên tia AB lấy A', B' sao cho MB' = MB; MA' = MA

- Trên tia CD lấy C', D' sao cho QC' = QC; QD' = QD

- Trên tia EN lấy E' sao cho NE = NE'

- Trên tia FP lấy F' sao cho PF = PF'

Nối các điểm đã dựng ta được hình đối xứng qua d của hình đã cho.

- Giả sử AB ∩ d = I; CD ∩ d = H

- Trên tia AB lấy A', B'sao cho IA = IA'; IB = IB'

- Trên tia CD lấy C', D' sao cho HC' = HC; HD' = HD

- Từ E kẻ đường vuông góc với d, cắt d tại J

- Trên EJ lấy E' sao cho JE = JE'

Nối các điểm đã dựng ta được hình đối xứng qua d của hình đã cho.

Hình thang cân ABCD có AB // CD

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.

Xét $∆$ADC và $∆$BCD:

AD = BC (tính chất hình thang cân)

AC = BD (tính chất hình thang cân)

CD chung

Do đó $∆$ADC= $∆$BCD (c.c.c)

⇒ $\angle D_1$= $\angle C_1$

⇒$∆$OCD cân tại O

⇒ OC = OD nên O nằm trên đường trung trực của CD.

Trục đối xứng hình thang cân là đường thẳng trung trực của hai đáy.

Vậy O thuộc trục đối xứng của hình thang cân.

Cách dựng:

- Dựng điểm D đối xứng với A qua Ox

- Dựng điểm E đối xứng với A qua Oy

Nối DE cắt Ox tại B, Oy tại C

Tam giác ABC là tam giác có chu vi nhỏ nhất

Vì $\angle$(xOy) < ${90}^0$ nên DE luôn cắt Ox và Oy do đó $∆$ABC luôn dựng được.

Chứng minh:

Chu vi $∆$ABC bằng AB + BC + AC

Vì D đối xứng với A qua Ox nên Ox là trung trực của AD

⇒ AB = BD (tính chất đường trung trực)

E đối xứng với A qua Oy nên Oy là trung trực của AE

⇒ AC = CE (tính chất đường trung trực)

Suy ra: AB + BC + AC = BD + BC + BE = DE (1)

Lấy B' bất kì trên Ox, C' bất kì trên tia Oy. Nối C'E, C'A, B'A, B'D.

Ta có: B'A = B'D và C'A = C'E (tính chất đường trung trực)

Chu vi $∆$AB'C' bằng AB'+ AC’ + B'C'= B'D+C’E+ B'C' (2)

Vì DE ≤ B'D + C’E+ B'C' (dấu bằng xảy ra khi B' trùng B, C' trùng C) nên chu vi của $∆$ABC $\le$chu vi của $∆$A'B'C'

Vậy $∆$ABC có chu vi bé nhất.

Nối 1. với C

Nối 2. với A

ΔABC cân tại A có AM là đường trung tuyến

⇒ AM là tia phân giác của góc (BAC)

⇒ $\angle$(BAM) = $\angle$(MAC) (1)

Kéo dài MA cắt DE tai N, ta có:

$\angle$(BAM) = $\angle$(DAN) (đối đỉnh) (2)

$\angle$(MAC) = $\angle$(NAE) (đối đỉnh)(3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: $\angle$(DAN) = $\angle$(NAE)

$∆$ADE cân tại A có AN là tia phân giác

⇒ AN là đường trung trực của DE

hay AM là đường trung trực của DE

Vậy D đối xứng với E qua AM.