Bài 5: Phương trình chứa ẩn ở mẫu

$$\begin{gathered} \frac{y+5}{y-1}-\frac{y+1}{y-3} = \frac{-8}{\left(y-1\right)\left(y-3\right)} ĐKXĐ:y\ne 1 và y\ne 3 \\ \iff \frac{\left(y+5\right)\left(y-3\right)}{\left(y-1\right)\left(y-3\right)}-\frac{\left(y+1\right)\left(y-1\right)}{\left(y-3\right)\left(y-1\right)} = \frac{-8}{\left(y-1\right)\left(y-3\right)} \end{gathered}$$

⇔ (y + 5)(y – 3) – (y + 1)(y – 1) = - 8

⇔ $y^2$ – 3y + 5y – 15 – $y^2$ + 1 = - 8

⇔ 2y = 6 ⇔ y = 3 (loại)

Vậy không có giá trị nào của y thỏa mãn điều kiện bài toán.

$$\begin{gathered} \frac{1-6x}{x-2}+\frac{9x+4}{x+2}=\frac{x\left(3x-2\right)+1}{x^2-4} ĐKXĐ: x\ne \pm 2 \\ \iff \frac{\left(1-6x\right)\left(x+2\right)}{x^2-4}+\frac{\left(9x+4\right)\left(x-2\right)}{x^2-4}=\frac{x\left(3x-2\right)+1}{x^2-4} \end{gathered}$$

⇔ (1 – 6x)(x + 2) + (9x + 4)(x – 2) = x(3x – 2) + 1

⇔ x + 2 – 6$x^2$ – 12x + 9$x^2$ – 18x + 4x – 8 = 3$x^2$ – 2x + 1

⇔ - 6$x^2$ + 9$x^2$ – 3$x^2$ + x – 12x – 18x + 4x + 2x = 1 – 2 + 8

⇔ - 23x = 7 ⇔ x = -7/23 (thỏa mãn)

Vậy phương trình có nghiệm x = -7/23

$$\begin{gathered} 1+\frac{x}{3-x}=\frac{5x}{\left(x+2\right)\left(3-x\right)}+\frac{2}{x+2} ĐKXĐ:x\ne 3 và x\ne -2 \\ \iff \frac{\left(x+2\right)\left(3-x\right)}{\left(x+2\right)\left(3-x\right)}+\frac{x\left(x+2\right)}{\left(x+2\right)\left(3-x\right)}=\frac{5x}{\left(x+2\right)\left(3-x\right)}+\frac{2\left(3-x\right)}{\left(x+2\right)\left(3-x\right)} \end{gathered}$$

⇔ (x + 2)(3 – x) + x(x + 2) = 5x + 2(3 – x)

⇔ 3x – $x^2$ + 6 – 2x + $x^2$ + 2x = 5x + 6 – 2x

⇔ $x^2$ – $x^2$ + 3x – 2x + 2x – 5x + 2x = 6 – 6 ⇔ 0x = 0

Phương trình đã cho có nghiệm đúng với mọi giá trị của x thỏa mãn điều kiện xác định.

Vậy phương trình có nghiệm x ∈ R / x $\ne$ 3 và x $\ne$ -2

$$\begin{gathered} \frac{2}{x-1}+\frac{2x+3}{x^2+x+1}=\frac{\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)}{x^3-1} ĐKXĐ:x\ne 1 \\ \iff \frac{2\left(x^2+x+1\right)}{x^3-1}+\frac{\left(2x+3\right)\left(x-1\right)}{x^3-1}=\frac{\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)}{x^3-1} \end{gathered}$$

⇔ 2($x^2$ + x + 1) + (2x + 3)(x – 1) = (2x – 1)(2x + 1)

⇔ 2$x^2$ + 2x + 2 + 2$x^2$ – 2x + 3x – 3 = 4$x^2$ – 1

⇔ 2$x^2$ + 2$x^2$ – 4$x^2$ + 2x – 2x + 3x = -1 – 2 + 3

⇔ 3x = 0 ⇔ x = 0 (thỏa mãn)

Vậy phương trình có nghiệm x = 0.

$$\begin{gathered} \frac{x^3-{\left(x-1\right)}^3}{\left(4x+3\right)\left(x-5\right)}=\frac{7x-1}{4x+3}-\frac{x}{x-5} ĐKXĐ: x\ne -\frac{3}{4} và x\ne 5 \\ \iff \frac{x^3-{\left(x-1\right)}^3}{\left(4x+3\right)\left(x-5\right)}=\frac{\left(7x-1\right)\left(x-5\right)}{\left(4x+3\right)\left(x-5\right)}-\frac{x\left(4x+3\right)}{\left(4x+3\right)\left(x-5\right)} \end{gathered}$$

⇔ $x^3-{\left(x-1\right)}^3$ = (7x – 1)(x – 5) – x(4x + 3)

⇔ $x^3$ – $x^3$ + 3$x^2$ – 3x + 1 = 7$x^2$ – 35x – x + 5 – 4$x^2$ – 3x

⇔ 3$x^2$ – 7$x^2$ + 4$x^2$ – 3x + 35x + x + 3x = 5 – 1

⇔ 36x = 4 ⇔ x = 1/9 (thoả mãn)

Vậy phương trình có nghiệm x = 1/9

$$\begin{gathered} \frac{2x+1}{x-1}=\frac{5\left(x-1\right)}{x+1} ĐKXĐ:x\ne \pm 1 \\ \iff \frac{\left(2x+1\right)\left(x+1\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}=\frac{5\left(x-1\right)\left(x-1\right)}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)} \end{gathered}$$

⇔ (2x + 1)(x + 1) = 5(x – 1)(x – 1)

⇔ 2$x^2$ + 2x + x + 1 = 5$x^2$ – 10x + 5

⇔ 2$x^2$ – 5$x^2$ + 2x + x + 10x + 1 – 5 = 0

⇔ - 3$x^2$ + 13x – 4 = 0 ⇔ 3$x^2$ – x – 12x + 4 = 0

⇔ x(3x – 1) – 4(3x – 1) = 0 ⇔ (x – 4)(3x – 1) = 0

⇔ x – 4 = 0 hoặc 3x – 1 = 0

       x – 4 = 0 ⇔ x = 4 (thỏa mãn)

      3x – 1 = 0 ⇔ x = 1/3 (thỏa mãn)

Vậy phương trình có nghiệm x = 4 hoặc x = 1/3

$$\begin{gathered} \frac{x-3}{x-2}+\frac{x-2}{x-4}=-1 ĐKXĐ:x\ne 2 và x\ne 4 \\ \iff \frac{\left(x-3\right)\left(x-4\right)}{\left(x-2\right)\left(x-4\right)}+\frac{\left(x-2\right)\left(x-2\right)}{\left(x-4\right)\left(x-2\right)}=-\frac{\left(x-2\right)\left(x-4\right)}{\left(x-2\right)\left(x-4\right)} \end{gathered}$$

⇔ (x – 3)(x – 4) + (x – 2)(x – 2) = - (x – 2)(x – 4)

⇔ $x^2$ – 4x – 3x + 12 + $x^2$ – 2x – 2x + 4 = -$x^2$ + 4x + 2x – 8

⇔ 3$x^2$ - 17x + 24 = 0

⇔ 3$x^2$ – 9x – 8x + 24 = 0

⇔ 3x(x – 3) – 8(x – 3) = 0 ⇔ (3x – 8)(x – 3) = 0

⇔ 3x – 8 = 0 hoặc x – 3 = 0

      3x – 8 = 0 ⇔ x = 8/3 (thỏa mãn)

      x – 3 = 0 ⇔ x = 3 (thỏa mãn)

Vậy phương trình có nghiệm x = 8/3 hoặc x = 3

$$\begin{gathered} \frac{1}{x-1}+\frac{2x^2-5}{x^3-1}=\frac{4}{x^2+x+1} ĐKXĐ:x\ne 1 \\ \iff \frac{x^2+x+1}{x^3-1}+\frac{2x^2-5}{x^3-1}=\frac{4\left(x-1\right)}{x^3-1} \end{gathered}$$

⇔ $x^2$ + x + 1 + 2$x^2$ – 5 = 4(x – 1)

⇔ $x^2$ + x + 1 + 2$x^2$ – 5 = 4x – 4 ⇔ 3$x^2$ – 3x = 0 ⇔ 3x(x – 1) = 0

⇔ x = 0 (thỏa mãn) hoặc x – 1 = 0 ⇔ x = 1 (loại)

Vậy phương trình có nghiệm x = 0

$$\begin{gathered} \frac{13}{\left(x-3\right)\left(2x+7\right)}+\frac{1}{2x+7}=\frac{6}{x^2-9} ĐKXĐ:x\ne \pm 3 và x\ne -\frac{7}{2} \\ \iff \frac{13\left(x+3\right)}{\left(x^2-9\right)\left(2x+7\right)}+\frac{\left(x^2-9\right)}{\left(2x+7\right)\left(x^2-9\right)}=\frac{6\left(2x+7\right)}{\left(x^2-9\right)\left(2x+7\right)} \end{gathered}$$

⇔ 13(x + 3) + $x^2$ – 9 = 6(2x + 7)

⇔ 13x + 39 + $x^2$ – 9 = 12x + 42

⇔ $x^2$ + x – 12 = 0

⇔ $x^2$ – 3x + 4x – 12 = 0

⇔ x(x – 3) + 4(x – 3) = 0

⇔ (x + 4)(x – 3) = 0

⇔ x + 4 = 0 hoặc x – 3 = 0

      x + 4 = 0 ⇔ x = -4 (thỏa mãn)

      x – 3 = 0 ⇔ x = 3 (loại)

Vậy phương trình có nghiệm x = -4.

Khi a = - 3, ta có phương trình:

⇔ (3 – x)(x – 3) + ${\left(x+3\right)}^2$ = -24

⇔ 3x – 9 – $x^2$ + 3x + $x^2$ + 6x + 9 = -24 ⇔ 12x = - 24

⇔ x = -2 (thỏa mãn)

Vậy phương trình có nghiệm x = -2

Khi a = 1, ta có phương trình:

⇔ ${\left(x+1\right)}^2$ + (x – 1)(1 – x) = 4

⇔ $x^2$ + 2x + 1 + x – $x^2$ – 1 + x = 4

⇔ 4x = 4 ⇔ x = 1 (loại)

Vậy phương trình vô nghiệm.

Khi a = 0, ta có phương trình:

Phương trình nghiệm đúng với mọi giá trị của x $\ne$ 0

Vậy phương trình có nghiệm x ∈ R / x $\ne$ 0.

Thay x = 1/2 vào phương trình, ta có:

ĐKXĐ: 

⇔ (1 + 2a)(2a + 1) + (1 – 2a)(2a – 1) = 4a(3a + 1)

⇔ 2a + 1 + 4$a^2$ + 2a + 2a – 1 – 4$a^2$ + 2a = 12$a^2$ + 4a

⇔ 12$a^2$ – 4a = 0 ⇔ 4a(3a – 1) = 0 ⇔ 4a = 0 hoặc 3a – 1 = 0

⇔ a = 0 (thỏa mãn) hoặc a = 1/3 (thỏa mãn)

Vậy khi a = 0 hoặc a = 1/3 thì phương trình $\frac{x+a}{a-x}+\frac{x-a}{a+x}=\frac{a\left(3a+1\right)}{a^2-x^2}$ có nghiệm x = 1/2

Ta có: $x+\frac{1}{1+{\displaystyle \frac{x+1}{x-2}}}=x+\frac{x-2}{2x-1}=\frac{2\left(x^2-1\right)}{2x-1}$

ĐKXĐ của phương trình là x $\ne$ 2; x $\ne$ 1/2; x $\ne$ 1; x $\ne$ -1; x $\ne$ 13.

Ta biến đổi phương trình đã cho thành $\frac{2x-1}{x^2-1}=\frac{6}{3x-1}$

Khử mẫu và rút gọn:

(2x − 1)(3x − 1) = 6($x^2$ − 1)

⇔−5x + 1 = −6 ⇔ x = 7/5

Giá trị x = 7/5 thỏa mãn ĐKXĐ.

Vậy phương trình có nghiệm là x = 7/5

Cách 1. ĐKXĐ: x$\ne \pm$ 1. Biến đổi vế trái thành $\frac{4x}{x^2-1}.\frac{x-1}{2x}=\frac{2}{x+1}$

Ta đưa phương trình đã cho về dạng $\frac{2}{x+1}=\frac{x-1}{2\left(x+1\right)}$

Giải phương trình này bằng cách khử mẫu:

4(x + 1) = (x − 1)(x + 1)

⇔(x + 1)(x − 5) = 0

⇔x = −1 hoặc x = 5

Trong hai giá trị vừa tìm được, chỉ có x = 5 là thỏa mãn ĐKXĐ.

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất x = 5.

Cách 2. Đặt $\frac{x+1}{x-1}=y$ ta có phương trình $\frac{y-{\displaystyle \frac{1}{y}}}{1+y}=\frac{1}{2y}$

ĐKXĐ của phương trình này là y ≠ 0 và y ≠ −1. Giải phương trình này bằng cách khử mẫu:

2$y^2$ − 2 = 1 + y

⇔2($y^2$ − 1)−(y + 1) = 0

⇔(y + 1)(2y − 3) = 0

⇔y = −1 hoặc y = 3/2

Trong hai giá trị tìm được, chỉ có y = 3/2 là thỏa mãn ĐKXĐ

Vậy phương trình đã cho tương đương với phương trình $\frac{x+1}{x-1}=\frac{3}{2}$

Giải phương trình này ta được x = 5

ĐKXĐ: x∈{0;−1;−2;−3}. Ta biến đổi phương trình như sau:

Ta có:

(1) ⇔x = −5

Tóm lại, phương trình đã cho có tập nghiệm là S = {−5;−3/2}