Bài 5: Phương trình chứa ẩn ở mẫu

Phát biểu trong câu b là đúng.

Đáp số của bài toán đúng nhưng lời giải của bạn Hà chưa đầy đủ.

Lời giải của bạn Hà thiếu bước tìm điều kiện xác định và bước đối chiếu giá trị của x tìm được với điều kiện để kết luận nghiệm.

Trong bài toán trên thì điều kiện xác định của phương trình là:

x $\ne$ - 3/2 và x $\ne$ - 1/2

So sánh với điều kiện xác định thì giá trị x = - 4/7 thỏa mãn.

Vậy x = - 4/7 là nghiệm của phương trình.

a. Đúng

Vì $x^2$ + 1 > 0 với mọi x nên phương trình đã cho tương đương với phương trình:

4x – 8 + (4 – 2x) = 0 ⇔ 2x – 4 = 0 ⇔ 2x = 4 ⇔ x = 2

b. Đúng

Vì $x^2$ – x + 1 = ${\left(x-1/2\right)}^2$ + 3/4 > 0 với mọi x nên phương trình đã cho tương đương với phương trình:

(x + 2)(2x – 1) – x – 2 = 0 ⇔ (x + 2)(2x – 2) = 0

⇔ x + 2 = 0 hoặc 2x – 2 = 0 ⇔ x = - 2 hoặc x = 1

c. Sai

Vì điều kiện xác định của phương trình là x + 1 ≠ 0 ⇔ x ≠ - 1

Do vậy phương trình  không thể có nghiệm x = - 1

d. Sai

Vì điều kiện xác định của phương trình là x ≠ 0

Do vậy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình 

$$\begin{gathered} \frac{1-x}{x+1}+3=\frac{2x+3}{x+1} ĐKXĐ:x\ne -1 \\ \iff \frac{1-x}{x+1}+\frac{3\left(x+1\right)}{x+1}=\frac{2x+3}{x+1} \end{gathered}$$

⇔ 1 – x + 3(x + 1) = 2x + 3

⇔ 1 – x + 3x + 3 – 2x – 3 = 0

⇔ 0x = - 1

Phương trình vô nghiệm.

$$\begin{gathered} \frac{{\left(x+2\right)}^2}{2x-3}-1=\frac{x^2+10}{2x-3} ĐKXĐ: x\ne \frac{3}{2} \\ \iff \frac{{\left(x+2\right)}^2}{2x-3}-\frac{2x-3}{2x-3}=\frac{x^2+10}{2x-3} \end{gathered}$$

⇔ ${\left(x+2\right)}^2-\left(2x-3\right)=x^2+10$

⇔ $x^2+4x+4-2x+3-x^2-10=0$

⇔ 2x = 3 ⇔ x = 3/2 (loại)

Phương trình vô nghiệm.

$$\begin{gathered} \frac{5x-2}{2-2x}+\frac{2x-1}{2}=1-\frac{x^2+x-3}{1-x} ĐKXĐ: x\ne 1 \\ \iff \frac{5x-2}{2-2x}+\frac{\left(2x-1\right)\left(1-x\right)}{2\left(1-x\right)}=\frac{2\left(1-x\right)}{2\left(1-x\right)}-\frac{2\left(x^2+x-3\right)}{2\left(1-x\right)} \end{gathered}$$

⇔ 5x – 2 + (2x – 1)(1 – x) = 2(1 – x) – 2($x^2$ + x – 3)

⇔ 5x – 2 + 2x – 2$x^2$ – 1 + x – 2 + 2x + 2$x^2$ + 2x – 6 = 0

⇔ 12x - 11 = 0

⇔ x = 11/12 (thoả mãn)

Vậy phương trình có nghiệm x = 11/12

$$\begin{gathered} \frac{5-2x}{3}+\frac{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}{3x-1}=\frac{\left(x+2\right)\left(1-3x\right)}{9x-3} ĐKXĐ:x\ne \frac{1}{3} \\ \iff \frac{\left(5-2x\right)\left(3x-1\right)}{3\left(3x-1\right)}+\frac{3\left(x+1\right)\left(x-1\right)}{3\left(3x-1\right)}=\frac{\left(x+2\right)\left(1-3x\right)}{3\left(3x-1\right)} \end{gathered}$$

⇔ (5 – 2x)(3x – 1) + 3(x + 1)(x – 1) = (x + 2)(1 – 3x)

⇔ 15x – 5 – 6$x^2$ + 2x + 3$x^2$ – 3 = x – 3$x^2$ + 2 – 6x

⇔ - 6$x^2$ + 3$x^2$ + 3$x^2$ + 15x + 2x – x + 6x = 2 + 5 + 3

⇔ 22x = 10 ⇔ x = 5/11 (thỏa mãn)

Vậy phương trình có nghiệm x = 5/11

$\frac{2x^2-3x-2}{x^2-4}$

ĐKXĐ: x $\ne$ 2 hoặc x $\ne$ -2

⇔ $2x^2-3x-2=2\left(x^2-4\right)$ ⇔ $2x^2-3x-2=2x^2-8$

⇔ $2x^2-2x^2-3x$ = - 8 + 2 ⇔ - 3x = - 6 ⇔ x = 2 (loại)

Vậy không có giá trị nào của x thỏa mãn điều kiện bài toán.

$$\begin{gathered} \frac{6x-1}{3x+2}= \frac{2x+5}{x-3} ĐKXĐ:x\ne -\frac{2}{3} và x\ne 3 \\ \iff \frac{\left(6x-1\right)\left(x-3\right)}{\left(3x+2\right)\left(x-3\right)}= \frac{\left(2x+5\right)\left(3x+2\right)}{\left(x-3\right)\left(3x+2\right)} \end{gathered}$$

⇔ (6x – 1)(x – 3) = (2x + 5)(3x + 2)

⇔ 6$x^2$ – 18x – x + 3 = 6$x^2$ + 4x + 15x + 10

⇔ 6$x^2$ – 6$x^2$ – 18x – x – 4x – 15x = 10 – 3

⇔ - 38x = 7 ⇔ x = - 7/38 (thỏa mãn)

Vậy khi x = - 7/38 thì giá trị của hai biểu thức $\frac{6x-1}{3x+2} và \frac{2x+5}{x-3}$ bằng nhau.

$$\begin{gathered} \frac{y+5}{y-1}-\frac{y+1}{y-3} = \frac{-8}{\left(y-1\right)\left(y-3\right)} ĐKXĐ:y\ne 1 và y\ne 3 \\ \iff \frac{\left(y+5\right)\left(y-3\right)}{\left(y-1\right)\left(y-3\right)}-\frac{\left(y+1\right)\left(y-1\right)}{\left(y-3\right)\left(y-1\right)} = \frac{-8}{\left(y-1\right)\left(y-3\right)} \end{gathered}$$

⇔ (y + 5)(y – 3) – (y + 1)(y – 1) = - 8

⇔ $y^2$ – 3y + 5y – 15 – $y^2$ + 1 = - 8

⇔ 2y = 6 ⇔ y = 3 (loại)

Vậy không có giá trị nào của y thỏa mãn điều kiện bài toán.

$$\begin{gathered} \frac{1-6x}{x-2}+\frac{9x+4}{x+2}=\frac{x\left(3x-2\right)+1}{x^2-4} ĐKXĐ: x\ne \pm 2 \\ \iff \frac{\left(1-6x\right)\left(x+2\right)}{x^2-4}+\frac{\left(9x+4\right)\left(x-2\right)}{x^2-4}=\frac{x\left(3x-2\right)+1}{x^2-4} \end{gathered}$$

⇔ (1 – 6x)(x + 2) + (9x + 4)(x – 2) = x(3x – 2) + 1

⇔ x + 2 – 6$x^2$ – 12x + 9$x^2$ – 18x + 4x – 8 = 3$x^2$ – 2x + 1

⇔ - 6$x^2$ + 9$x^2$ – 3$x^2$ + x – 12x – 18x + 4x + 2x = 1 – 2 + 8

⇔ - 23x = 7 ⇔ x = -7/23 (thỏa mãn)

Vậy phương trình có nghiệm x = -7/23

$$\begin{gathered} 1+\frac{x}{3-x}=\frac{5x}{\left(x+2\right)\left(3-x\right)}+\frac{2}{x+2} ĐKXĐ:x\ne 3 và x\ne -2 \\ \iff \frac{\left(x+2\right)\left(3-x\right)}{\left(x+2\right)\left(3-x\right)}+\frac{x\left(x+2\right)}{\left(x+2\right)\left(3-x\right)}=\frac{5x}{\left(x+2\right)\left(3-x\right)}+\frac{2\left(3-x\right)}{\left(x+2\right)\left(3-x\right)} \end{gathered}$$

⇔ (x + 2)(3 – x) + x(x + 2) = 5x + 2(3 – x)

⇔ 3x – $x^2$ + 6 – 2x + $x^2$ + 2x = 5x + 6 – 2x

⇔ $x^2$ – $x^2$ + 3x – 2x + 2x – 5x + 2x = 6 – 6 ⇔ 0x = 0

Phương trình đã cho có nghiệm đúng với mọi giá trị của x thỏa mãn điều kiện xác định.

Vậy phương trình có nghiệm x ∈ R / x $\ne$ 3 và x $\ne$ -2

$$\begin{gathered} \frac{2}{x-1}+\frac{2x+3}{x^2+x+1}=\frac{\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)}{x^3-1} ĐKXĐ:x\ne 1 \\ \iff \frac{2\left(x^2+x+1\right)}{x^3-1}+\frac{\left(2x+3\right)\left(x-1\right)}{x^3-1}=\frac{\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)}{x^3-1} \end{gathered}$$

⇔ 2($x^2$ + x + 1) + (2x + 3)(x – 1) = (2x – 1)(2x + 1)

⇔ 2$x^2$ + 2x + 2 + 2$x^2$ – 2x + 3x – 3 = 4$x^2$ – 1

⇔ 2$x^2$ + 2$x^2$ – 4$x^2$ + 2x – 2x + 3x = -1 – 2 + 3

⇔ 3x = 0 ⇔ x = 0 (thỏa mãn)

Vậy phương trình có nghiệm x = 0.

$$\begin{gathered} \frac{x^3-{\left(x-1\right)}^3}{\left(4x+3\right)\left(x-5\right)}=\frac{7x-1}{4x+3}-\frac{x}{x-5} ĐKXĐ: x\ne -\frac{3}{4} và x\ne 5 \\ \iff \frac{x^3-{\left(x-1\right)}^3}{\left(4x+3\right)\left(x-5\right)}=\frac{\left(7x-1\right)\left(x-5\right)}{\left(4x+3\right)\left(x-5\right)}-\frac{x\left(4x+3\right)}{\left(4x+3\right)\left(x-5\right)} \end{gathered}$$

⇔ $x^3-{\left(x-1\right)}^3$ = (7x – 1)(x – 5) – x(4x + 3)

⇔ $x^3$ – $x^3$ + 3$x^2$ – 3x + 1 = 7$x^2$ – 35x – x + 5 – 4$x^2$ – 3x

⇔ 3$x^2$ – 7$x^2$ + 4$x^2$ – 3x + 35x + x + 3x = 5 – 1

⇔ 36x = 4 ⇔ x = 1/9 (thoả mãn)

Vậy phương trình có nghiệm x = 1/9

$$\begin{gathered} \frac{2x+1}{x-1}=\frac{5\left(x-1\right)}{x+1} ĐKXĐ:x\ne \pm 1 \\ \iff \frac{\left(2x+1\right)\left(x+1\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}=\frac{5\left(x-1\right)\left(x-1\right)}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)} \end{gathered}$$

⇔ (2x + 1)(x + 1) = 5(x – 1)(x – 1)

⇔ 2$x^2$ + 2x + x + 1 = 5$x^2$ – 10x + 5

⇔ 2$x^2$ – 5$x^2$ + 2x + x + 10x + 1 – 5 = 0

⇔ - 3$x^2$ + 13x – 4 = 0 ⇔ 3$x^2$ – x – 12x + 4 = 0

⇔ x(3x – 1) – 4(3x – 1) = 0 ⇔ (x – 4)(3x – 1) = 0

⇔ x – 4 = 0 hoặc 3x – 1 = 0

       x – 4 = 0 ⇔ x = 4 (thỏa mãn)

      3x – 1 = 0 ⇔ x = 1/3 (thỏa mãn)

Vậy phương trình có nghiệm x = 4 hoặc x = 1/3

$$\begin{gathered} \frac{x-3}{x-2}+\frac{x-2}{x-4}=-1 ĐKXĐ:x\ne 2 và x\ne 4 \\ \iff \frac{\left(x-3\right)\left(x-4\right)}{\left(x-2\right)\left(x-4\right)}+\frac{\left(x-2\right)\left(x-2\right)}{\left(x-4\right)\left(x-2\right)}=-\frac{\left(x-2\right)\left(x-4\right)}{\left(x-2\right)\left(x-4\right)} \end{gathered}$$

⇔ (x – 3)(x – 4) + (x – 2)(x – 2) = - (x – 2)(x – 4)

⇔ $x^2$ – 4x – 3x + 12 + $x^2$ – 2x – 2x + 4 = -$x^2$ + 4x + 2x – 8

⇔ 3$x^2$ - 17x + 24 = 0

⇔ 3$x^2$ – 9x – 8x + 24 = 0

⇔ 3x(x – 3) – 8(x – 3) = 0 ⇔ (3x – 8)(x – 3) = 0

⇔ 3x – 8 = 0 hoặc x – 3 = 0

      3x – 8 = 0 ⇔ x = 8/3 (thỏa mãn)

      x – 3 = 0 ⇔ x = 3 (thỏa mãn)

Vậy phương trình có nghiệm x = 8/3 hoặc x = 3

$$\begin{gathered} \frac{1}{x-1}+\frac{2x^2-5}{x^3-1}=\frac{4}{x^2+x+1} ĐKXĐ:x\ne 1 \\ \iff \frac{x^2+x+1}{x^3-1}+\frac{2x^2-5}{x^3-1}=\frac{4\left(x-1\right)}{x^3-1} \end{gathered}$$

⇔ $x^2$ + x + 1 + 2$x^2$ – 5 = 4(x – 1)

⇔ $x^2$ + x + 1 + 2$x^2$ – 5 = 4x – 4 ⇔ 3$x^2$ – 3x = 0 ⇔ 3x(x – 1) = 0

⇔ x = 0 (thỏa mãn) hoặc x – 1 = 0 ⇔ x = 1 (loại)

Vậy phương trình có nghiệm x = 0

$$\begin{gathered} \frac{13}{\left(x-3\right)\left(2x+7\right)}+\frac{1}{2x+7}=\frac{6}{x^2-9} ĐKXĐ:x\ne \pm 3 và x\ne -\frac{7}{2} \\ \iff \frac{13\left(x+3\right)}{\left(x^2-9\right)\left(2x+7\right)}+\frac{\left(x^2-9\right)}{\left(2x+7\right)\left(x^2-9\right)}=\frac{6\left(2x+7\right)}{\left(x^2-9\right)\left(2x+7\right)} \end{gathered}$$

⇔ 13(x + 3) + $x^2$ – 9 = 6(2x + 7)

⇔ 13x + 39 + $x^2$ – 9 = 12x + 42

⇔ $x^2$ + x – 12 = 0

⇔ $x^2$ – 3x + 4x – 12 = 0

⇔ x(x – 3) + 4(x – 3) = 0

⇔ (x + 4)(x – 3) = 0

⇔ x + 4 = 0 hoặc x – 3 = 0

      x + 4 = 0 ⇔ x = -4 (thỏa mãn)

      x – 3 = 0 ⇔ x = 3 (loại)

Vậy phương trình có nghiệm x = -4.

Khi a = - 3, ta có phương trình:

⇔ (3 – x)(x – 3) + ${\left(x+3\right)}^2$ = -24

⇔ 3x – 9 – $x^2$ + 3x + $x^2$ + 6x + 9 = -24 ⇔ 12x = - 24

⇔ x = -2 (thỏa mãn)

Vậy phương trình có nghiệm x = -2

Khi a = 1, ta có phương trình:

⇔ ${\left(x+1\right)}^2$ + (x – 1)(1 – x) = 4

⇔ $x^2$ + 2x + 1 + x – $x^2$ – 1 + x = 4

⇔ 4x = 4 ⇔ x = 1 (loại)

Vậy phương trình vô nghiệm.

Khi a = 0, ta có phương trình:

Phương trình nghiệm đúng với mọi giá trị của x $\ne$ 0

Vậy phương trình có nghiệm x ∈ R / x $\ne$ 0.

Thay x = 1/2 vào phương trình, ta có:

ĐKXĐ: 

⇔ (1 + 2a)(2a + 1) + (1 – 2a)(2a – 1) = 4a(3a + 1)

⇔ 2a + 1 + 4$a^2$ + 2a + 2a – 1 – 4$a^2$ + 2a = 12$a^2$ + 4a

⇔ 12$a^2$ – 4a = 0 ⇔ 4a(3a – 1) = 0 ⇔ 4a = 0 hoặc 3a – 1 = 0

⇔ a = 0 (thỏa mãn) hoặc a = 1/3 (thỏa mãn)

Vậy khi a = 0 hoặc a = 1/3 thì phương trình $\frac{x+a}{a-x}+\frac{x-a}{a+x}=\frac{a\left(3a+1\right)}{a^2-x^2}$ có nghiệm x = 1/2

Ta có: $x+\frac{1}{1+{\displaystyle \frac{x+1}{x-2}}}=x+\frac{x-2}{2x-1}=\frac{2\left(x^2-1\right)}{2x-1}$

ĐKXĐ của phương trình là x $\ne$ 2; x $\ne$ 1/2; x $\ne$ 1; x $\ne$ -1; x $\ne$ 13.

Ta biến đổi phương trình đã cho thành $\frac{2x-1}{x^2-1}=\frac{6}{3x-1}$

Khử mẫu và rút gọn:

(2x − 1)(3x − 1) = 6($x^2$ − 1)

⇔−5x + 1 = −6 ⇔ x = 7/5

Giá trị x = 7/5 thỏa mãn ĐKXĐ.

Vậy phương trình có nghiệm là x = 7/5

Cách 1. ĐKXĐ: x$\ne \pm$ 1. Biến đổi vế trái thành $\frac{4x}{x^2-1}.\frac{x-1}{2x}=\frac{2}{x+1}$

Ta đưa phương trình đã cho về dạng $\frac{2}{x+1}=\frac{x-1}{2\left(x+1\right)}$

Giải phương trình này bằng cách khử mẫu:

4(x + 1) = (x − 1)(x + 1)

⇔(x + 1)(x − 5) = 0

⇔x = −1 hoặc x = 5

Trong hai giá trị vừa tìm được, chỉ có x = 5 là thỏa mãn ĐKXĐ.

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất x = 5.

Cách 2. Đặt $\frac{x+1}{x-1}=y$ ta có phương trình $\frac{y-{\displaystyle \frac{1}{y}}}{1+y}=\frac{1}{2y}$

ĐKXĐ của phương trình này là y ≠ 0 và y ≠ −1. Giải phương trình này bằng cách khử mẫu:

2$y^2$ − 2 = 1 + y

⇔2($y^2$ − 1)−(y + 1) = 0

⇔(y + 1)(2y − 3) = 0

⇔y = −1 hoặc y = 3/2

Trong hai giá trị tìm được, chỉ có y = 3/2 là thỏa mãn ĐKXĐ

Vậy phương trình đã cho tương đương với phương trình $\frac{x+1}{x-1}=\frac{3}{2}$

Giải phương trình này ta được x = 5

ĐKXĐ: x∈{0;−1;−2;−3}. Ta biến đổi phương trình như sau:

Ta có:

(1) ⇔x = −5

Tóm lại, phương trình đã cho có tập nghiệm là S = {−5;−3/2}