Bài 5: Những hằng đẳng thức đáng nhớ (tiếp)

(a + b)(a2 – ab + b2 ) = a(a2 – ab + b2 ) + b(a2 – ab + b2 )

= a3 – a2b + ab2 + ba2 – ab2 + b3

= a3 + b3

Tổng của lập phương hai biểu thức bằng tích của tổng hai biểu thức và bình phương thiếu của hiệu hai biểu thức đó

(a - b)(a2 + ab + b2 ) = a(a2 + ab + b2 ) - b(a2 + ab + b2 )

= a3 + a2 b + ab2 - ba2 - ab2 - b3

= a3 - b3

Hiệu của lập phương hai biểu thức bằng tích của hiệu hai biểu thức và bình phương thiếu của tổng hai biểu thức đó

(2x + y)(4x2 – 2xy + y2) – (2x – y)(4x2 + 2xy + y2)

= (2x + y)[(2x)2 – 2x.y + y2] – (2x – y)[(2x)2 + 2x.y + y2]

= [(2x)3 + y3] – [(2x)3 – y3]

= (2x)3 + y3 – (2x)3 + y3

= 2y3

Biến đổi vế phải ta được:

(a + b)3 – 3ab(a + b)

= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 – 3a2b – 3ab2

= a3 + b3

Vậy a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b)

Biến đổi vế phải ta được:

(a – b)3 + 3ab(a – b)

= a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 + 3a2b – 3ab2

= a3 – b3

Vậy a3 – b3 = (a – b)3 + 3ab(a – b)

Với ab = 6, a + b = –5, ta được:

a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b) = (–5)3 – 3.6.(–5) = –53 + 3.6.5 = –125 + 90 = –35

a) Ta có thể nhận thấy đây là hằng đẳng thức (6).

27x3 + y3

= (3x)3 + y3

= (3x + y)[(3x)2 – 3x.y + y2] (Áp dụng HĐT (6) với A = 3x, B = y)

= (3x + y)(9x2 – 3xy + y2)

Vậy ta cần điền :

b) Ta có thể nhận thấy đây là hằng đẳng thức (7)

8x3 – 125

= (2x)3 – 53

= (2x – 5).[(2x)2 + (2x).5 + 52] (Áp dụng HĐT (7) với A = 2x, B = 5)

= (2x – 5).(4x2 + 10x + 25)

Vậy ta cần điền :

(2 + xy)2

= 22 + 2.2.xy + (xy)2 (Áp dụng HĐT (1))

= 4 + 4xy + x2y2

(5 – 3x)2

= 52 – 2.5.3x + (3x)2 (Áp dụng HĐT (2))

= 25 – 30x + 9x2

(5 – x2)(5 + x2)

= 52 – (x2)2 (Áp dụng HĐT (3))

= 25 – x4

(5x – 1)3

= (5x)3 – 3.(5x)2.1 + 3.5x.12 – 13 (Áp dụng HĐT (5))

= 125x3 – 75x2 + 15x – 1

(2x – y).(4x2 + 2xy + y2)

= (2x – y).[(2x)2 + 2x.y + y2]

= (2x)3 – y3 (Áp dụng HĐT (7))

= 8x3 – y3

(x + 3)(x2 – 3x + 9)

= (x + 3)(x2 – x.3 + 32)

= x3 + 33 (Áp dụng HĐT (6))

= x3 + 27

(a + b)2 – (a – b)2

= [(a + b) – (a – b)].[(a + b) + (a – b)]

(Áp dụng HĐT (3) với A = a + b; B = a – b)

= 2b.2a

= 4ab

(a + b)3 – (a – b)3 – 2b3

= (a3 + 3a2b + 3ab2 + b3) – (a3 – 3a2b + 3ab2 – b3) – 2b3 (Áp dụng HĐT (4) và (5))

= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 – a3 + 3a2b – 3ab2 + b3 – 2b3

= (a3 – a3) + (3a2b + 3a2b) + (3ab2 – 3ab2) + (b3 + b3 – 2b3)

= 6a2b

(x + y + z)2 – 2.(x + y + z).(x + y) + (x + y)2

= [(x + y + z) – (x + y)]2 (Áp dụng HĐT (2) với A = x + y + z ; B = x + y)

= z2.

342 + 68.66 + 662

= 342 + 2.34.66 + 662

= (34 + 66)2

= 1002

= 10000

742 – 48.74 + 242

= 742 – 2.74.24 + 242

= (74 – 24)2

= 502

= 2500

x2 + 4x + 4

= x2 + 2.x.2 + 22

= (x + 2)2

Tại x = 98, giá trị biểu thức bằng (98 + 2)2 = 1002 = 10000

x3 + 3x2 + 3x + 1

= x3 + 3.x2.1 + 3.x.12 + 13

= (x + 1)3

Tại x = 99, giá trị biểu thức bằng (99 + 1)3 = 1003 = 1000000

(a – b)3 = [(–1)(b – a)]3 =(–1)3(b – a)3 = –1.(b – a)3 = –(b – a)3 (đpcm)

(–a – b)2 = [(– 1).(a + b)]2 = (–1)2(a + b)2 = 1.(a + b)2 = (a + b)2 (đpcm)