Bài 4: Diện tích hình thang

Hình đa giác đã cho gồm một hình thang và một hình tam giác.

Diện tích phần hình thang là $S_1$, tam giác là $S_2$, ta có:

Tam giác có chiều cao h ứng với cạnh đáy là 70 m

Diện tích tam giác là: 

Suy ra: Chiều cao h của tam giác là: 

Vậy x = 45 + 30 = 75 (m)

Trên cạnh CD ta lấy 1 điểm E bất kỳ (E khác C và D). Nối BE. Từ A kẻ đường thẳng song song với BE cắt đường thẳng CD tại F.

Tứ giác ABEF có các cạnh đối song song với nhau nên ABEF là hình bình hành

$S_{ABEF}$ = AD.EF = AD. AB ( AB = EF vì ABEF là hình bình hành)

Diện tích hình chữ nhật: $S_{ABCD}$ = AB.AD

⇒ $S_{ABCD}$ = $S_{ABEF}$

Có thể vẽ được vô số hình như vậy.

Vẽ cung tròn tâm B bán kính 5cm cắt CD tại 2 điểm E và E'.

Nối BE, từ A kẻ đường thẳng song song với BE cắt CD tại F.

Nối BE', từ A kẻ đường thẳng song song với BE' cắt CD tại F'.

Ta có hình bình hành ABEF và hình bình hành ABE'F' có cạnh AB = 5cm, BE = 5cm, BE' = 5cm có diện tích bằng điện tích hình chữ nhật ABCD.

Có thể vẽ được hai hình như vậy.

Giả sử hình thang vuông ABCD có:

$\angle$A = $\angle$D = ${90}^0$; $\angle$C = ${45}^0$

Kẻ BE ⊥ CD

Tam giác vuông BEC có $\angle$(BEC) = ${90}^0$cân tại E ⇒ BE = EC

Hình thang ABCD có hai cạnh bên AD // BE (vì cùng vuông góc với DC) ⇒ DE = AB = 2cm

EC = DC – DE = 4 – 2 = 2 (cm) ⇒ BE = 2cm ( vì tam giác BEC là tam giác vuông cân).

SABCD = 1/2 .BE(AB+ CD) = 1/2 .2.(2 + 4) = 6 ($c{m}^2$)

Giả sử hình thang ABCD có đáy AB = 7cm và CD = 9cm , cạnh bên BC = 8cm, $\angle$C = ${30}^0$

Kẻ BE ⊥ CD. Tam giác vuông GBE có $\angle$E = ${90}^0$, $\angle$C = ${30}^0$

Suy ra $\angle$(CBE) = ${60}^0$ nên nó là một nửa tam giác đều có cạnh là CB.

⇒ BE = 1/2 CB = 4 (cm)

Vậy 

Giả sử hình thang ABCD có AB // CD, đường trung bình là MN. Gọi I là trung điểm của MN, đường thẳng bất kỳ đi qua I cắt AB tại P và CD tại Q.

Ta có hai hình thang APQD và BPQC có cùng đường cao.

MI là đường trung bình của hình thang APQD.

Suy ra: MI = 1/2 (AP + QD)

IN là đường trung bình của hình thang BPQC.

Suy ra: IN = 1/2 (BP + QC)

$S_{APQD}$ = 1/2 (AP + QD).AH = MI.AH (1)

$S_{BPQC}$ = 1/2 (BP + QC).AH = IN.AH (2).

IM = IN (gt) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: $S_{APQD}=S_{BPQC}$, các giá trị này không phụ thuộc vào vị trí của P và Q.

Gọi O là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ABCD, khoảng cách từ O đến cạnh AB là OH = 2cm , đến cạnh BC là OK = 3cm

* Kéo dài OH cắt cạnh CD tại H'.

Ta có OH ⊥ BC

⇒ OH' ⊥ CD và OH' = 2cm

Suy ra HH' bằng đường cao của hình bình hành.

$S_{ABCD}$ = HH'.AB ⇒ 

* Kéo dài OK cắt AD tại K'.

Ta có: OK ⊥ BC ⇒ OK' ⊥ CD và OK' = 3 (cm)

Suy ra KK' là đường cao của hình bình hành.

$S_{ABCD}$ = KK'.AB ⇒ 

Chu vi của hình bình hành ABCD là (6 + 4).2 = 20 (cm).

* Xét hình chữ nhật ABCD có chiều dài AB = a, chiều rộng AD = b.

Ta có: $S_{ABCD}$ = ab.

* Hình bình hành MNPQ có góc M là góc tù, MN = a, cạnh MQ = b

Kẻ đường cao MH. Ta có: $S_{MNPQ}$ = MH.a

Theo bài ra, ta có: MH.a = 1/2 ab

Suy ra: MH = 1/2 b hay MH = MQ/2

Tam giác MHQ vuông tại H và MH = MQ/2

Cạnh đối diện góc nhọn bằng một nửa cạnh huyền nên $\angle$(MQH) = ${30}^0$

Vậy góc nhọn của hình bình hành bằng ${30}^0$.

Giả sử hình bình hành ABCD cói AB = 8cm, AD = 6cm.

Kẻ AH ⊥ CD, AK ⊥ BC.Ta có 5 < 6, 5 < 8

Đường cao là cạnh góc vuông nhỏ hơn cạnh huyền thỏa mãn có hai trường hợp:

*Trường hợp 1: AK = 5cm

Ta có: $S_{ABCD}$ = AK.BC = 5.6 = 30 ($c{m}^2$)

$S_{ABCD}$ = AH.AD = 8.AH

Suy ra: 8.AH = 30 ⇒ AH = 30/8 = 15/4 (cm)

*Trường hợp 2: AH = 5cm

Ta có: $S_{ABCD}$ = AH.CD= 5.8 = 40 ($c{m}^2$)

$S_{ABCD}$ = AK.BC = 6.AH

Suy ra: 6.AK = 40 ⇒ AK = 40/6 = 20/3 (cm)

Vậy đường cao thứ hai có độ dài là 15/4 cm hoặc 20/3 cm

Bài toán có hai đáp số.

Hình chữ nhật có hai cạnh là a và b nên $S_{chữ nhật}$ = ab

Hình bình hành có hai cạnh là a và b. Kẻ đường cao ứng với cạnh bằng ạ thì h < b (vì cạnh góc vuông nhỏ hơn cạnh huyền).

Nếu kẻ đường cao ứng với cạnh bằng b thì h < a (cạnh góc vuông nhỏ hơn cạnh huyền).

Diện tích của hình bình hành là: $S_{hình bình hành}$ = a.h = b.h'

Mà h < b và h' < a nên $S_{hình bình hành}$ < $S_{chữ nhật}$

Áp dụng công thức tính diện tích hình thang.

S = (a+b)/2.h = (10+6)/2. 5 = 40($c{m}^2$)

Xét hình thang cân ABCD có AB // CD

Đáy nhỏ CD = 6cm, cạnh bên AD = 5cm

Đường cao DH = 4cm. Kẻ CK ⊥ AB

Ta có tứ giác CDHK là hình chữ nhật

HK = CD = 6cm

$△$AHD vuông tại H. Theo định lý Pi-ta-go ta có: $A{D}^2=A{H}^2+D{H}^2$

⇒ $A{H}^2=A{D}^2-D{H}^2$ = $5^2-4^2$ = 25 – 16 = 9 ⇒ AH = 3cm

Xét hai tam giác vuông DHA và CKB :

$\angle$(DHA)= $\angle$(CKB)= ${90}^0$

AD = BC (tính chất hình thang cân)

$\angle$A = $\angle$B(gt)

Do đó: $△$DHA = $△$CKB (cạnh huyền, góc nhọn)

⇒ KB = AH = 3 (cm)

AB = AH + HK + KB = 3 + 6 + 3 = 12 (cm)

$S_{ABCD}$ = (AB + CD) / 2. DH = (12 + 6) / 2. 4 = 36( $c{m}^2$)

Gọi F là trung điểm của cạnh bên BC. Cắt hình thang theo đường DF đưa ghép về như hình vẽ bên, điểm C trung với điểm B, D trùng với E.

Vì AB // CD ⇒ $\angle$(ABC) = ${180}^0$⇒ A, B, E thẳng hàng

$\angle$(ABF) + $\angle$(DFC) = ${180}^0$

⇒ D, F, E thẳng hàng

$△$DFC = $△$EFB (g.c.g)

$S_{DFC}=S_{EFB}$

Suy ra: $S_{ABCD}=S_{ADE}$

$△$DFC = $△$EFB⇒ DC = BE

AE = AB + BE = AB + DC

$S_{ADE}$ = 1/2 DH. AE = 1/2 DH. (AB + CD)

Vậy : $S_{ABCD}$ = 1/2 DH. (AB + CD)

Dựa trên hình vẽ câu a ta chọn điểm K là trung điểm AE.

$△$DMC có CM = 2/3BC

Hình bình hành ABCD và ΔDMC có chung đường cao kẻ từ đỉnh D đến BC.

Gọi độ dài đường cao là h, BC = a

Ta có diện tích hình bình hành ABCD là S = a h

$S_{DMC}$ = 1/2 h. 2/3 a = 1/3 ah = 1/3 S

$S_{ABMD}$ = $S_{ABCD}$ - $S_{DMC}$ = s - 1/3 S = 2/3 S

$S_{ABC}$ = 1/3 $S_{ABCD}$ = S/2

CN = 1/3 BC , NT // AB.

Theo tính chất đường thẳng song song cách đều ⇒ CT = 1/3 AC

$△$ABC và $△$BTC có chung chiều cao kẻ từ đỉnh B, đáy CT = 1/3 AC

⇒ $S_{BTC}$ = 1/3 $S_{ABC}$ = 1/3 . S/2 = S/6

$△$BTC và $△$TNC có chung chiều cao kẻ từ đỉnh T, cạnh đáy CN = 1/3 CB

⇒ $S_{TNC}$ = 1/3 $S_{BTC}$ = 1/3 . S/6 = S/18

$S_{ABNT}$ = $S_{ABC}$ - $S_{TNC}$ = S/2 - S/18 = 9S/18 - S/18 = 4S/9