Bài 4: Diện tích hình thang

Hình đa giác đã cho gồm một hình thang và một hình tam giác.

Diện tích phần hình thang là $S_1$, tam giác là $S_2$, ta có:

Tam giác có chiều cao h ứng với cạnh đáy là 70 m

Diện tích tam giác là: 

Suy ra: Chiều cao h của tam giác là: 

Vậy x = 45 + 30 = 75 (m)

Trên cạnh CD ta lấy 1 điểm E bất kỳ (E khác C và D). Nối BE. Từ A kẻ đường thẳng song song với BE cắt đường thẳng CD tại F.

Tứ giác ABEF có các cạnh đối song song với nhau nên ABEF là hình bình hành

$S_{ABEF}$ = AD.EF = AD. AB ( AB = EF vì ABEF là hình bình hành)

Diện tích hình chữ nhật: $S_{ABCD}$ = AB.AD

⇒ $S_{ABCD}$ = $S_{ABEF}$

Có thể vẽ được vô số hình như vậy.

Vẽ cung tròn tâm B bán kính 5cm cắt CD tại 2 điểm E và E'.

Nối BE, từ A kẻ đường thẳng song song với BE cắt CD tại F.

Nối BE', từ A kẻ đường thẳng song song với BE' cắt CD tại F'.

Ta có hình bình hành ABEF và hình bình hành ABE'F' có cạnh AB = 5cm, BE = 5cm, BE' = 5cm có diện tích bằng điện tích hình chữ nhật ABCD.

Có thể vẽ được hai hình như vậy.

Giả sử hình thang vuông ABCD có:

$\angle$A = $\angle$D = ${90}^0$; $\angle$C = ${45}^0$

Kẻ BE ⊥ CD

Tam giác vuông BEC có $\angle$(BEC) = ${90}^0$cân tại E ⇒ BE = EC

Hình thang ABCD có hai cạnh bên AD // BE (vì cùng vuông góc với DC) ⇒ DE = AB = 2cm

EC = DC – DE = 4 – 2 = 2 (cm) ⇒ BE = 2cm ( vì tam giác BEC là tam giác vuông cân).

SABCD = 1/2 .BE(AB+ CD) = 1/2 .2.(2 + 4) = 6 ($c{m}^2$)

Giả sử hình thang ABCD có đáy AB = 7cm và CD = 9cm , cạnh bên BC = 8cm, $\angle$C = ${30}^0$

Kẻ BE ⊥ CD. Tam giác vuông GBE có $\angle$E = ${90}^0$, $\angle$C = ${30}^0$

Suy ra $\angle$(CBE) = ${60}^0$ nên nó là một nửa tam giác đều có cạnh là CB.

⇒ BE = 1/2 CB = 4 (cm)

Vậy 

Giả sử hình thang ABCD có AB // CD, đường trung bình là MN. Gọi I là trung điểm của MN, đường thẳng bất kỳ đi qua I cắt AB tại P và CD tại Q.

Ta có hai hình thang APQD và BPQC có cùng đường cao.

MI là đường trung bình của hình thang APQD.

Suy ra: MI = 1/2 (AP + QD)

IN là đường trung bình của hình thang BPQC.

Suy ra: IN = 1/2 (BP + QC)

$S_{APQD}$ = 1/2 (AP + QD).AH = MI.AH (1)

$S_{BPQC}$ = 1/2 (BP + QC).AH = IN.AH (2).

IM = IN (gt) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: $S_{APQD}=S_{BPQC}$, các giá trị này không phụ thuộc vào vị trí của P và Q.

Gọi O là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ABCD, khoảng cách từ O đến cạnh AB là OH = 2cm , đến cạnh BC là OK = 3cm

* Kéo dài OH cắt cạnh CD tại H'.

Ta có OH ⊥ BC

⇒ OH' ⊥ CD và OH' = 2cm

Suy ra HH' bằng đường cao của hình bình hành.

$S_{ABCD}$ = HH'.AB ⇒ 

* Kéo dài OK cắt AD tại K'.

Ta có: OK ⊥ BC ⇒ OK' ⊥ CD và OK' = 3 (cm)

Suy ra KK' là đường cao của hình bình hành.

$S_{ABCD}$ = KK'.AB ⇒ 

Chu vi của hình bình hành ABCD là (6 + 4).2 = 20 (cm).

* Xét hình chữ nhật ABCD có chiều dài AB = a, chiều rộng AD = b.

Ta có: $S_{ABCD}$ = ab.

* Hình bình hành MNPQ có góc M là góc tù, MN = a, cạnh MQ = b

Kẻ đường cao MH. Ta có: $S_{MNPQ}$ = MH.a

Theo bài ra, ta có: MH.a = 1/2 ab

Suy ra: MH = 1/2 b hay MH = MQ/2

Tam giác MHQ vuông tại H và MH = MQ/2

Cạnh đối diện góc nhọn bằng một nửa cạnh huyền nên $\angle$(MQH) = ${30}^0$

Vậy góc nhọn của hình bình hành bằng ${30}^0$.

Giả sử hình bình hành ABCD cói AB = 8cm, AD = 6cm.

Kẻ AH ⊥ CD, AK ⊥ BC.Ta có 5 < 6, 5 < 8

Đường cao là cạnh góc vuông nhỏ hơn cạnh huyền thỏa mãn có hai trường hợp:

*Trường hợp 1: AK = 5cm

Ta có: $S_{ABCD}$ = AK.BC = 5.6 = 30 ($c{m}^2$)

$S_{ABCD}$ = AH.AD = 8.AH

Suy ra: 8.AH = 30 ⇒ AH = 30/8 = 15/4 (cm)

*Trường hợp 2: AH = 5cm

Ta có: $S_{ABCD}$ = AH.CD= 5.8 = 40 ($c{m}^2$)

$S_{ABCD}$ = AK.BC = 6.AH

Suy ra: 6.AK = 40 ⇒ AK = 40/6 = 20/3 (cm)

Vậy đường cao thứ hai có độ dài là 15/4 cm hoặc 20/3 cm

Bài toán có hai đáp số.