Bài 4: Bất phương trình bạc nhất một ẩn

Ta có: x – 2 > 4 ⇔ x > 4 + 2 ⇔ x > 6

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: {x|x > 6}

Ta có: x + 5 < 7 ⇔ x < 7 – 5 ⇔ x < 2

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: {x|x < 2}

Ta có: x – 4 < -8 ⇔ x < -8 + 4 ⇔ x < -4

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: {x|x < -4}

Ta có: x + 3 > -6 ⇔ x > -6 – 3 ⇔ x > -9

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: {x|x > -9}

Ta có: 3x < 2x + 5 ⇔ 3x – 2x < 5 ⇔ x < 5

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: {x|x < 5}

Ta có: 2x + 1 < x + 4 ⇔ 2x – x < 4 – 1 ⇔ x < 3

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: {x|x < 3}

Ta có: -4x – 2 > -5x + 6 ⇔ -4x + 5x > 6 + 2 ⇔ x > 8

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: {x|x > 8}

Ta có: 1/2 x > 3 ⇔ 1/2 x.2 > 3.2 ⇔ x > 6

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: {x|x > 6}

Ta có: -1/3 x < -2 ⇔ -1/3 x.(-3) > (-2).(-3) ⇔ x > 6

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: {x|x > 6}

Ta có: 2/3 x > -4 ⇔ 2/3 x. 3/2 > -4. 3/2 ⇔ x > -6

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: {x|x > -6}

Ta có: -3/5 x > 6 ⇔ -3/5 x.(-5/3 ) < 6.(-5/3 ) ⇔ x < -10

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: {x|x < -10}

Ta có: 3x < 18

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: {x|x < 6}

Ta có: -2x > -6

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: {x|x < 3}

Ta có: 0,2x > 8 ⇔ 0,2x.5 > 8.5 ⇔ x > 40

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: {x|x > 40}

Ta có: -0,3x < 12

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: {x|x > -40}

Nhân hai vế của bất phương trình 2x < 3 với 1,5.

Cộng hai vế của bất phương trình x – 5 < 12 với 10.

Nhân hai vế của bất phương trình -3x < 9 với -2.

Ta có: 2x $\le$16 ⇔ x $\le$ 8

x + 2 $\le$ 10 ⇔ x $\le$ 8

Như vậy cả hai bạn đều phát biểu đúng.

Ta có: 2x – 4 < 0 ⇔ 2x < 4 ⇔ x < 2

Ta có: 3x + 9 > 0 ⇔ 3x > -9 ⇔ x > -3

Ta có: -3x + 12 > 0 ⇔ -3x > -12 ⇔ x < 4

Ta có: 3x + 2 > 8 ⇔ 3x > 8 – 2 ⇔ 3x > 6 ⇔ x > 2

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: {x|x > 2}

Ta có: 4x – 5 < 7 ⇔ 4x < 7 + 5 ⇔ 4x < 12 ⇔ x < 3

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: {x|x < 3}

Ta có: -2x + 1 < 7 ⇔ -2x < 7 – 1 ⇔ -2x < 6 ⇔ x > -3

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: {x|x > -3}

Ta có: 13 – 3x > -2 ⇔ -3x > -2 – 13 ⇔ -3x > -15 ⇔ x < 5

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: {x|x < 5}

Ta có:

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: {x|x < -6}

Ta có: 5 + 2/3 x > 3 ⇔ 2/3 x > 3 – 5 ⇔ 2/3 x. 3/2 > -2. 3/2 ⇔ x > -3

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: {x|x > -3}

Ta có:

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: {x|x > 1/2 }

Ta có: 6 - 3/5 x < 4 ⇔ -3/5 x < 4 – 6 ⇔ -3/5 x.(-5/3 ) > -2.(-5/3 ) ⇔ x > 10/3

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: {x|x > 10/3 }

Ta có: 7x – 2,2 < 0,6

⇔ 7x < 0,6 + 2,2

⇔ 7x < 2,8

⇔ x < 0,4

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: {x|x < 0,4}

Ta có: 1,5 > 2,3 – 4x

⇔ 4x > 2,3 - 1,5

⇔ 4x > 0,8

⇔ x > 0,2

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: {x|x > 0,2}

Bất phương trình bậc nhất một ẩn có tập nghiệm biểu diễn bởi hình vẽ là:

2x – 8 $\ge$ 0

Bất phương trình bậc nhất một ẩn có tập nghiệm biểu diễn bởi hình vẽ là:

3x – 15 < 0

Ta có:

⇔ 3x – 1 > 8

⇔ 3x > 8 + 1

⇔ 3x > 9 ⇔ x > 3

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: {x|x > 

Ta có:

⇔ 2x + 4 < 9

⇔ 2x < 9 – 4

⇔ 2x < 5 ⇔ x < 2,5

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: {x|x < 2,5}

Ta có:

⇔ 1 – 2x > 12

⇔ -2x > 12 – 1

⇔ -2x > 11 ⇔ x < -5,5

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: {x|x < -5,5}

⇔ 6 – 4x < 5

⇔ -4x < 5 – 6

⇔ -4x < -1 ⇔ x > 1/4

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: {x|x > 1/4 }

Ta có: ${\left(x-1\right)}^2$ < x(x + 3) ⇔ $x^2$ – 2x + 1 < $x^2$ + 3x

⇔ $x^2$ – 2x + 1 – $x^2$ – 3x < 0

⇔ -5x + 1 < 0 ⇔ 5x > 1 ⇔ x > 1/5.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: {x| x > 1/5}

Ta có: (x – 2)(x + 2) > x(x – 4) ⇔ $x^2$ – 4 > $x^2$ – 4x

⇔ $x^2$ – 4 – $x^2$ + 4x > 0

⇔ 4x – 4 > 0 ⇔ x > 1

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: {x|x > 1}

Ta có: 2x + 3 < 6 – (3 – 4x) ⇔ 2x + 3 < 6 – 3 + 4x

⇔ 2x – 4x < 3 – 3

⇔ -2x < 0 ⇔ x > 0

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: {x|x > 0}

Ta có: -2 – 7x > (3 + 2x) – (5 – 6x) ⇔ -2 – 7x > 3 + 2x – 5 + 6x

⇔ -7x – 2x – 6x > 3 – 5 + 2

⇔ -15x > 0 ⇔ x < 0

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: {x|x < 0}

⇔ 5 – 2x > 10x – 4

⇔ -2x – 10x > -4 – 5⇔ -12x > -9⇔ x < 3/4

Vậy với x < 3/4 thì giá trị phân thức (5 - 2x)/6 lớn hơn giá trị phân thức (5x - 2)/3

⇔ 3 – 2x < 20x + 25⇔ -2x – 20x < 25 – 3

⇔ -22x < 22⇔ x > -1

Vậy với x > -1 thì giá trị phân thức (1,5 - x)/5 nhỏ hơn giá trị phân thức 4x + 5)/2 .

Ta có: 5 – 3x < (4 + 2x) – 1 ⇔ 5 – 3x < 4 + 2x – 1

⇔ -3x – 2x < 4 – 1 – 5 ⇔ -5x < -2 ⇔ x > 2/5

Vậy chỉ có giá trị 2/3 > 2/5 nên trong các số đã cho thì số 2/3 là nghiệm của bất phương trình.

Ta có, quy tắc chuyển vế của phương trình giống quy tắc chuyển vế của bất phương trình, nhưng quy tắc nhân hai vế của phương trình với cùng một số khác 0 không thể chuyển thành quy tắc nhân hai vế của bất phương trình với cùng một số khác 0, bởi vì bất phường trình sẽ đổi chiều khi ta nhân hai vế của nó với một số âm.

Thay giá trị của x vào từng vế của bất phương trình:

x = -5 vế trái: 2.(-5) + 1 = -10 + 1 = -9

vế phải: 2.[(-5) + 1] = 2.(-4) = -8

Vì -9 < -8 nên x = -5 không phải là nghiệm của bất phương trình.

x = 0 vế trái: 2.0 + 1 = 1

vế phải: 2.(0 + 1) = 2

Vì 1 < 2 nên x = 0 không phải là nghiệm của bất phương trình.

x = -8 vế trái: 2.(-8) + 1 = -16 + 1 = -15

vế phải: 2.[(-8) + 1] = 2.(-7) = -14

Vì -15 < -14 nên x = -8 không là nghiệm của bất phương trình.

Ta có: 2x + 1 > 2(x + 1)

      ⇔ 2x + 1 > 2x + 2

      ⇔ 0x > 1

Vậy bất phương trình vô nghiệm.

Ta có: 5 + 5x < 5(x + 2)

⇔ 5 + 5x < 5x + 10

⇔ 5x – 5x < 10 – 5

⇔ 0x < 5

Bất kì giá trị nào của x cũng thỏa mãn vế trái nhỏ hơn vế phải.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là tập số thực R.

Ta có: x < 5 ⇔ (a – b)x < 5(a – b)

⇒ a – b > 0 ⇔ a > b

Ta có: x > 2 ⇔ (a – b)x < 2(a – b)

⇒ a – b < 0 ⇔ a < b

Ta có: 5,2 + 0,3x < - 0,5

⇔ 0,3x < - 0,5 – 5,2

⇔ 0,3x < - 5,7

⇔ x < -19

Vậy số nguyên lớn nhất cần tìm là -20

Ta có: 1,2 – (2,1 – 0,2x) < 4,4

⇔ 1,2 -2,1 + 0,2x < 4,4

⇔ 0,2x < 4,4 – 1,2 + 2,1

⇔ 0,2x < 5,3

⇔ x < 53/2

Vậy số nguyên lớn nhất thỏa mãn điều kiện là số 26.

Ta có: 0,2x + 3,2 > 1,5

       ⇔ 0,2x > 1,5 – 3,2

       ⇔ 0,2x > - 1,7

       ⇔ x > - 17/2

Vậy số nguyên bé nhất cần tìm là – 8.

Ta có: 4,2 – (3 – 0,4x) > 0,1x + 0,5

       ⇔ 4,2 – 3 + 0,4x > 0,1x + 0,5

       ⇔ 0,4x – 0,1x > 0,5 – 1,2

       ⇔ 0,3x > - 0,7

       ⇔ x > - 7/3

Vậy số nguyên bé nhất cần tìm là -2.

Ta có x – 3 = 2m + 4

      ⇔ x = 2m + 4 + 3

      ⇔ x = 2m + 7

Phương trình có nghiệm số dương khi 2m + 7 > 0 ⇔ m > - 7/2

Ta có: 2x – 5 = m + 8

      ⇔ 2x = m + 8 + 5

      ⇔ 2x = m + 13

      ⇔ x = (m + 13)/2

Phương trình có nghiệm số âm khi (m + 13)/2 < 0 ⇔ m + 13 < 0 ⇔ m < -13

Ta có: ${\left(x+2\right)}^2$ < 2x(x + 2) + 4

      ⇔ $x^2$ + 4x + 4 < 2$x^2$ + 4x + 4

      ⇔ $x^2$ + 4x – 2$x^2$ – 4x < 4 – 4

      ⇔ -$x^2$ < 0

      ⇔ $x^2$ > 0

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: {x|x ≠ 0}

Ta có: (x + 2)(x + 4) > (x – 2)(x + 8) + 26

      ⇔ $x^2$ + 6x + 8 > $x^2$ + 6x + 10

      ⇔ $x^2$ + 6x - $x^2$ - 6x > 10 - 8

       ⇔ 0x > 2

Vậy bất phương trình vô nghiệm.

⇔ 2 – 4x – 16 < 1 – 5x

⇔ -4x + 5x < 1 – 2 + 16

⇔ x < 15

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: {x|x < 15}

⇔ 3x – 3 – 12 > 4x + 4 + 96

⇔ 3x – 4x > 4 + 96 + 3 + 12

⇔ -x > 115 ⇔ x < -115

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: {x|x < -115}

Ta có: 3(5 – 4n) + (27 + 2n) > 0

      ⇔ 15 – 12n + 27 + 2n > 0

      ⇔ -10n + 42 > 0

      ⇔ -10n > -42

      ⇔ n < 4,2

Vậy các số tự nhiên cần tìm là 0; 1; 2; 3; 4.

Ta có: ${\left(n+2\right)}^2$ – (n – 3)(n + 3) $\le$ 40

       ⇔ $n^2$ + 4n + 4 – $n^2$ + 9 $\le$ 40

       ⇔ 4n < 40 – 13

       ⇔ n < 27/4

Vậy các số tự nhiên cần tìm là 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6.

Chọn D

Chọn B

x – 2 = 3m + 4

⇔x = 3m + 6

Phương trình x – 2 = 3m + 4 có nghiệm lớn hơn 3 khi và chỉ khi: 3m + 6 > 3.

Giải: 3m + 6 > 3 có m > -1

Vậy với m > -1 thì phương trình ẩn x là x – 2 = 3m + 4 có nghiệm lớn hơn 3.

Phương trình 3 - 2x = m - 5 có nghiệm nhỏ hơn -2 khi và chỉ khi:

Với m > 12 thì phương trình ẩn x là 3 – 2x = m – 5 có nghiệm nhỏ hơn -2

Giải bất phương trình 2x + 1 > 3 ta tìm được tập nghiệm là x > 1

Ta kiểm tra được x = -2 là nghiệm của bất phương trình |x| > 1 nhưng không là nghiệm của 2x + 1 > 3 (không thuộc tập nghiệm x > 1)

Vậy hai bất phương trình 2x + 1 > 3 và |x| > 1 không tương đương.

Kiểm tra được giá trị x = -4 là nghiệm của 3x – 9 < 0 nhưng không là nghiệm của $x^2$ < 9.

Vậy hai bất phương trình 3x – 9 < 0 và $x^2$ < 9 không tương đương.