Bài 3: Phương trình đưa về dạng ax + b = 0

Phân thức $\frac{\left(0,5\left(x+3\right)-2\right)}{\left(1,2\left(x+0,7\right)\right)-4\left(0,6x+0,9)\right)}$ xác định khi:

1,2(x + 0,7) – 4(0,6x + 0,9) $\ne$ 0

Ta giải phương trình: 1,2(x + 0,7) – 4(0,6x + 0,9) = 0

Ta có: 1,2(x + 0,7) – 4(0,6x + 0,9) = 0

⇔ 1,2x + 0,84 – 2,4x – 3,6 = 0

⇔ -1,2x – 2,76 = 0 ⇔ x = -2,3

Vậy khi x $\ne$ -2,3 thì phân thức B xác định.

$$\begin{gathered} \frac{5\left(x-1\right)+2}{6}-\frac{7x-1}{4}=\frac{2\left(2x+1\right)}{7}-5 \\ \iff \frac{5x-3}{6}-\frac{7x-1}{4}=\frac{4x+2}{7}-5 \end{gathered}$$

⇔ 14(5x – 3) – 21(7x – 1) = 12(4x + 2) – 5.84

⇔ 70x – 42 – 147x + 21 = 48x + 24 – 420

⇔ 70x – 147x – 48x = 24 – 420 + 42 – 21

⇔ -125x = -375

⇔ x = 3

Phương trình có nghiệm x = 3

$$\begin{gathered} \frac{3\left(x-3\right)}{4}+\frac{4x-10,5}{10}=\frac{3\left(x+1\right)}{5}+6 \\ \iff \frac{3x-9}{4}+\frac{4x-10,5}{10}=\frac{3x+3}{5}+6 \end{gathered}$$

⇔ 5(3x – 9) + 2(4x – 10,5) = 4(3x + 3) + 6.20

⇔ 15x – 45 + 8x – 21 = 12x + 12 + 120

⇔ 15x + 8x – 12x = 12 + 120 + 45 + 21

⇔ 11x = 198

⇔ x = 18

Phương trình có nghiệm x = 18

$$\begin{gathered} \frac{2\left(3x+1\right)+1}{4}-5=\frac{2\left(3x-1\right)}{5}-\frac{3x+2}{10} \\ \iff \frac{6x+3}{4}-5=\frac{6x-2}{5}-\frac{3x+2}{10} \\ \iff \frac{5\left(6x+3\right)-5.20}{20}=\frac{4\left(6x-2\right)-2\left(3x+2\right)}{20} \end{gathered}$$

⇔ 5. (6x +3) – 5.20 = 4( 6x – 2) – 2( 3x + 2)

⇔ 30x + 15 – 100 = 24x -8 – 6x -4

⇔ 30x – 85= 18x – 12

⇔ 30x – 18x = - 12 + 85

⇔ 12 x = 73

⇔ x = $\frac{73}{12}$

Vậy phương trình có nghiệm x = $\frac{73}{12}$

$$\begin{gathered} \frac{x+1}{3}+\frac{3\left(2x+1\right)}{4}=\frac{2x+3\left(x+1\right)}{6}+\frac{7+12x}{12} \\ \iff \frac{x+1}{3}+\frac{6x+3}{4}=\frac{5x+3}{6}+\frac{7+12x}{12} \end{gathered}$$

⇔ 4(x + 1) + 3(6x + 3) = 2(5x + 3) + 7 + 12x

⇔ 4x + 4 + 18x + 9 = 10x + 6 + 7 + 12x

⇔ 4x + 18x – 10x – 12x = 6 + 7 – 4 – 9

⇔ 0x = 0

Phương trình có vô số nghiệm.

Thay x = 2 vào phương trình (2x + 1)(9x + 2k) – 5(x + 2) = 40, ta có:

(2.2 + 1)(9.2 + 2k) – 5(2 + 2) = 40

⇔ (4 + 1)(18 + 2k) – 5.4 = 40

⇔ 5(18 + 2k) – 20 = 40

⇔ 90 + 10k – 20 = 40

⇔ 10k = 40 – 90 + 20

⇔ 10k = -30

⇔ k = -3

Vậy khi k = -3 thì phương trình (2x + 1)(9x + 2k) – 5(x + 2) = 40 có nghiệm x = 2.

Thay x = 1 vào phương trình 2(2x + 1) + 18 = 3(x + 2)(2x + k), ta có:

2(2.1 + 1) + 18 = 3(1 + 2)(2.1 + k)

⇔ 2(2 + 1) + 18 = 3.3(2 + k)

⇔ 2.3 + 18 = 9(2 + k)

⇔ 6 + 18 = 18 + 9k

⇔ 24 – 18 = 9k

⇔ 6 = 9k

⇔ k = $\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$

Vậy khi $k=\frac{2}{3}$ thì phương trình 2(2x + 1) + 18 = 3(x + 2)(2x + k) có nghiệm x = 1.

$$\begin{gathered} Ta có: A=B \\ \iff (x–3)(x+4)–2(3x–2)={(x–4)}^2 \\ \iff x^2+4x–3x–12–6x+4=x^2–8x+16 \\ \iff x^2–x^2+4x–3x–6x+8x=16+12–4 \\ \iff 3x=24 \\ \iff x = 8 \\ Vậy với x = 8 thì A = B \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} Ta có: A=B \\ \iff (x+2)(x–2)+3x^2={(2x+1)}^2+2x \iff x^2–4+3x^2=4x^2+4x+1+2x \\ \iff x^2+3x^2–4x^2–4x–2x=1+4 \\ \iff -6x=5 \\ \iff x = - 5/6 \\ Vậy với x=- 5/6 thì A = B. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} Ta có: A = B \\ \iff (x–1)(x^2+x+1)–2x=x(x–1)(x+1) \\ \iff x^3–1–2x=x(x^2–1) \\ \iff x^3–1–2x=x^3–x \\ \iff x^3–x^3–2x+x=1 \\ \iff -x=1\iff x=-1 \\ Vậy với x=-1 thì A = B \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} Ta có: A = B \\ \iff {(x+1)}^3–{(x–2)}^3=(3x–1)(3x+1) \\ \iff x^3+3x^2+3x+1–x^3+6x^2–12x+8=9x^2–1 \\ \iff x^3–x^3+3x^2+6x^2–9x^2+3x–12x=-1–1–8 \\ \iff -9x=-10 \\ \iff x = 10/9 \\ Vậy với x = 10/9 thì A = B. \end{gathered}$$

$\frac{2x}{3}+\frac{2x-1}{6}=4-\frac{x}{3}$

⇔ 2.2x + 2x – 1 = 4.6 – 2x

⇔ 4x + 2x – 1 = 24 – 2x

⇔ 6x + 2x = 24 + 1

⇔ 8x = 25 ⇔ x = 25/8

Phương trình có nghiệm x = 25/8

$$\begin{gathered} \frac{x-1}{2}+\frac{x-1}{4}=1-\frac{2\left(x-1\right)}{2} \\ \iff \frac{x-1}{2}+\frac{x-1}{4}=1-\frac{2x-2}{3} \end{gathered}$$

⇔ 6(x – 1) + 3(x – 1) = 12 – 4(2x – 2)

⇔ 6x – 6 + 3x – 3 = 12 – 8x + 8 ⇔ 6x + 3x + 8x = 12 + 8 + 6 + 3

⇔ 17x = 29 ⇔ x = 29/17

Phương trình có nghiệm x = 29/17

$\frac{2-x}{2001}-1=\frac{1-x}{2002}-\frac{x}{2003}$

Phương trình có nghiệm x = 2003

Nhân hai vế của phương trình (1) với 24, ta được:

7x/8 - 5(x - 9) = 1/6(20x + 1,5)

⇔21x − 120(x − 9) = 4(20x + 1,5)

⇔21x − 120x − 80x = 6 − 1080

⇔−179x = −1074 ⇔ x = 6

Vậy phương trình (1) có một nghiệm duy nhất x = 6.

Ta có:

2(a − 1)x − a(x − 1) = 2a + 3

⇔(a − 2)x = a + 3       (3)

Do đó, khi a = 2, phương trình (2) tương đương với phương trình 0x = 5.

Phương trình này vô nghiệm nên phương trình (2) vô nghiệm.

Theo điều kiện của bài toán, nghiệm của phương trình (2) bằng một phần ba nghiệm của phương trình (1) nên nghiệm đó bằng 2.

Suy ra, phương trình (3) có nghiệm x = 2

Thay giá trị x = 2 vào phương trình này, ta được (a − 2)2 = a + 3.

Ta coi đây là phương trình mới đối với ẩn a. Giải phương trình mới này: (a − 2)2 = a + 3 ⇔ a = 7

Khi a = 7, dễ thử thấy rằng phương trình (a − 2)x = a + 3 có nghiệm x = 2, nên phương trình (2) cũng có nghiệm x = 2.

Đặt  ta có phương trình 6u – 8 = 3u + 7.

Giải phương trình này:

6u – 8 = 3u + 7

⇔ 6u – 3u = 7 + 8

⇔ 3u = 15 ⇔ u = 5

Vậy (16x + 3)/7 = 5 ⇔ 16x + 3 = 35

⇔ 16x = 32 ⇔ x = 2

⇔ (16x + 3)/7 = 5 ⇔ 16x + 3 = 35

⇔ 16x = 32 ⇔ x = 2

Nếu đặt u = x$\sqrt{2}$ − 1 thì x$\sqrt{2}$ = u + 1 nên phương trình có dạng

($\sqrt{2}$ + 2)u = 2(u + 1) − $\sqrt{2}$ (1)

Ta giải phương trình (1):

(1) ⇔ $\sqrt{2}$u + 2u = 2u + 2 − $\sqrt{2}$

⇔ $\sqrt{2}$u = 2 − $\sqrt{2}$

⇔ $\sqrt{2}$u = $\sqrt{2}$($\sqrt{2}$ − 1) ⇔ u = $\sqrt{2}$ − 1

⇔ x$\sqrt{2}$ − 1 = $\sqrt{2}$ − 1

⇔ x$\sqrt{2}$ =$\sqrt{2}$

⇔ x = 1

Đặt 

Suy ra 

Phương trình đã cho trở thành:

0,05.2u = 3,3 − u ⇔ 0,1u = 3,3 – u ⇔ 1,1u = 3,3 ⇔ u = 3.

Do đó: 

⇔ x – 2010 = 0

⇔ x = 2010.