Bài 3. Phép cộng, phép trừ phân số

a) $\frac{7}{-27}+\frac{-8}{27}=\frac{-7}{27}+\frac{-8}{27}=\frac{-15}{27}=\frac{-5}{9}$.

c) $\frac{-17}{13}+\frac{25}{101}+\frac{4}{13}=\left(\frac{-17}{13}+\frac{4}{13}\right)+\frac{25}{101}$

$=\frac{-13}{13}+\frac{25}{101}=(-1)+\frac{25}{101}$

$=\frac{-101}{101}+\frac{25}{101}=\frac{-76}{101}$.

d) $\frac{-13}{7}+\frac{3}{5}+\frac{-1}{7}=\left(\frac{-13}{7}+\frac{-1}{7}\right)+\frac{3}{5}$

$=\frac{-14}{7}+\frac{3}{5}=(-2)+\frac{3}{5}$

$=\frac{-10}{5}+\frac{3}{5}=\frac{-7}{5}$.

e) $\frac{-5}{9}+\frac{8}{15}+\frac{4}{-9}+\frac{7}{15}$

$=\left(\frac{-5}{9}+\frac{-4}{9}\right)+\left(\frac{8}{15}+\frac{7}{15}\right)$

$=\frac{-9}{9}+\frac{15}{15}=(-1)+1=0$.

a) Ta có:

$A=\frac{1}{2}+\frac{-3}{8}+\frac{5}{9}=\frac{36}{72}+\frac{-27}{72}+\frac{40}{72}=\frac{49}{72}$

và $B=\frac{13}{-30}+\frac{17}{45}+\frac{-7}{18}=\frac{-39}{90}+\frac{34}{90}+\frac{-35}{90}=\frac{-40}{90}=\frac{-4}{9}$.

Do $\frac{49}{72}>0$ và $\frac{-4}{9}<0$ nên $\frac{49}{72}>\frac{-4}{9}$.

Vậy A > B.

b) Ta có:

$C=\frac{12}{25}+\frac{-8}{15}+\frac{-4}{9}=\frac{108}{225}+\frac{-120}{225}+\frac{-100}{225}=\frac{-112}{225}$ 

và $D=\frac{-5}{12}+\frac{4}{9}+\frac{11}{-6}=\frac{-15}{36}+\frac{16}{36}+\frac{-66}{36}=\frac{-65}{36}$.

Vì – 112 > – 225 nên $\frac{-112}{225}>\frac{-225}{225}=-1$ 

và – 65 < – 36 nên $\frac{-65}{36}<\frac{-36}{36}=-1$

Suy ra $\frac{-112}{225}>-1>\frac{-65}{36}$ hay C > – 1 > D.

Vậy C > D.

c) Ta có:

$M=\frac{1}{3}+\frac{2}{-5}+\frac{7}{2}=\frac{10}{30}+\frac{-12}{30}+\frac{105}{30}=\frac{103}{30}=3\frac{13}{30}$

và $N=\frac{19}{-7}+\frac{21}{5}+\frac{-2}{7}=\left(\frac{-19}{7}+\frac{-2}{7}\right)+\frac{21}{5}$

         $=\frac{-21}{7}+\frac{21}{5}=(-3)+\frac{21}{5}=\frac{-15}{5}+\frac{21}{5}=\frac{6}{5}=1\frac{1}{5}$.

Do đó $3\frac{13}{30}>3>1\frac{1}{5}$ hay M > N.

Vậy M > N.

d) Ta có:

$P=\frac{34}{24}+\frac{-8}{15}+\frac{1}{10}=\frac{17}{12}+\frac{-8}{15}+\frac{1}{10}=\frac{85}{60}+\frac{-32}{60}+\frac{6}{60}=\frac{59}{60}<1$

và $Q=\frac{8}{21}+1+\frac{1}{-21}=\left(\frac{8}{21}+\frac{-1}{21}\right)+1=\frac{7}{21}+1=\frac{1}{3}+1=1\frac{1}{3}>1$.

Do đó P < 1 < Q.

Vậy P < Q.

Đặt $A=\frac{20}{11}+\frac{20}{31}+\frac{20}{51}$.

“Làm trội” mỗi phân số để tính toán cho đơn giản:

$\frac{20}{11}<\frac{20}{10}=2;\frac{20}{31}<\frac{20}{30}=\frac{2}{3};\frac{20}{51}<\frac{20}{50}=\frac{2}{5}$.

Do đó $A<2+\frac{2}{3}+\frac{2}{5}$.

Suy ra $A<\frac{30}{15}+\frac{10}{15}+\frac{6}{15}=\frac{46}{15}=3\frac{1}{15}$.

Ta so sánh $3\frac{1}{15}$ và $\frac{7}{2}=3\frac{1}{2}$$$.

Do 15 > 2 nên $\frac{1}{15}<\frac{1}{2}$ do đó $3\frac{1}{15}<3\frac{1}{2}=\frac{7}{2}$ 

Hay $A<3\frac{1}{15}<\frac{7}{2}$.

Vậy tổng của ba phân số $\frac{20}{11};\frac{20}{31};\frac{20}{51}$  nhỏ hơn $\frac{7}{2}$ 

Ta thực hiện các phép tính:

a) Ta có:

$\frac{-5}{7}+1+\frac{30}{-7}\le x\le \frac{-1}{6}+\frac{1}{3}+\frac{5}{6}$

$\frac{-5}{7}+\frac{7}{7}+\frac{-30}{7}\le x\le \frac{-1}{6}+\frac{2}{6}+\frac{5}{6}$

$\frac{-28}{7}\le x\le \frac{6}{6}$

–4 ≤ x ≤ 1

Mà x ∈ ℤ, suy ra x ∈ {–4; –3; –2; –1; 0; 1}.

Vậy x ∈ {–4; –3; –2; –1; 0; 1}.

b) Ta có:

$\frac{-8}{13}+\frac{7}{17}+\frac{21}{13}\le x\le \frac{-9}{14}+3+\frac{5}{-14}$

$\left(\frac{-8}{13}+\frac{21}{13}\right)+\frac{7}{17}\le x\le \left(\frac{-9}{14}+\frac{-5}{14}\right)+3$

$\frac{13}{13}+\frac{7}{17}\le x\le \frac{-14}{14}+3$

$1+\frac{7}{17}\le x\le -1+3$

$1+\frac{7}{17}\le x\le 2$

Do đó 1 < x ≤ 2.

Mà x ∈ ℤ, suy ra x = 2.

Vậy x = 2.

Giả sử các phân số có tử là 5 có dạng $\frac{5}{x}$ (x ∈ ℤ, x ≠ 0).

Ta có $\frac{-1}{2}<\frac{5}{x}<\frac{-1}{3}$ suy ra $\frac{5}{-10}<\frac{5}{x}<\frac{5}{-15}$ 

Do đó –10 > x > –15.

Mà x ∈ ℤ, suy ra x ∈ {–11; –12; –13; –14}.

Khi đó các phân số cần tìm là $\frac{5}{-11};\frac{5}{-12};\frac{5}{-13};\frac{5}{-14}$.

Tổng các phân số trên là:

$\frac{5}{-11}+\frac{5}{-12}+\frac{5}{-13}+\frac{5}{-14}$

$=\frac{-5460}{12012}+\frac{-5005}{12012}+\frac{-4620}{12012}+\frac{-4290}{12012}$

$=\frac{-19375}{12012}$.

Vậy tổng cần tìm bằng $\frac{-19375}{12012}$.

Cả ba ô tô chuyển được số long nhãn là:

$\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{2}{9}=\frac{15}{45}+\frac{9}{45}+\frac{10}{45}=\frac{34}{45}$ (số long nhãn trong kho).

Vậy cả ba ô tô chuyển được $\frac{34}{45}$ số long nhãn trong kho.

Do người thứ hai khởi hành sau người thứ nhất 2 giờ nên sau khi người thứ hai đi được 1 giờ thì người thứ nhất đã đi được 3 giờ.

Người thứ nhất đi xe đạp từ A đến B hết 5 giờ nên trong 1 giờ người đi xe đạp đi được $\frac{1}{5}$ quãng đường. Do đó trong 3 giờ người đi xe đạp đi được $\frac{3}{5}$ quãng đường.

Người thứ hai đi xe máy từ B về A hết 2 giờ nên trong 1 giờ người đi xe máy đi được $\frac{1}{2}$ quãng đường.

Tổng quãng đường hai người đã đi là:

$\frac{3}{5}+\frac{1}{2}=\frac{6}{10}+\frac{5}{10}=\frac{11}{10}$ (quãng đường).

Vì $\frac{11}{10}>1$ nên tổng quãng đường hai người đi được đã lớn hơn quãng đường AB, do đó hai người đã gặp nhau.

Vậy sau khi người thứ hai đi được 1 giờ thì hai người đã gặp nhau.

Số học trò học Toán, học Nhạc và đang suy nghĩ là:

$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{7}=\frac{14}{28}+\frac{7}{28}+\frac{4}{28}=\frac{25}{28}$ (số học trò).

Số học trò còn lại là: $1-\frac{25}{28}=\frac{3}{28}$ (số học trò).

Do đó $\frac{3}{28}$ số học trò tương ứng với 3 người.

Vậy số học trò của Py-ta-go là 28 người.

Có 5 quả cam chia đều cho 6 người thì mỗi người được $\frac{5}{6}$ quả cam.

Ta có: $\frac{5}{6}=\frac{3+2}{6}=\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$.

Do đó mỗi người được $\frac{1}{2}$ quả cam và $\frac{1}{3}$ quả cam nữa.

Vì vậy để không phải cắt bất kì một quả cam nào thành 6 phần bằng nhau ta sẽ chia như sau:

Lấy 3 quả cam, mỗi quả chia thành 2 phần bằng nhau thì có đủ 6 phần cho 6 người.

Lấy 2 quả cam còn lại, mỗi quả chia 3 thì được 6 phần bằng nhau cũng đủ chia cho 6 người.

Áp dụng quy tắc cho tháp số thứ nhất:

$\frac{-9}{34}+\frac{3}{17}=\frac{-9}{34}+\frac{6}{34}=\frac{-3}{34}$;

$\frac{3}{17}+\frac{1}{2}=\frac{6}{34}+\frac{17}{34}=\frac{23}{34}$;

$\frac{-3}{34}+\frac{23}{34}=\frac{20}{34}=\frac{10}{17}$;

Áp dụng quy tắc cho tháp số thứ hai:

$\frac{7}{36}+\frac{-8}{9}=\frac{7}{36}+\frac{-32}{36}=\frac{-25}{36}$;

$\frac{-8}{9}+\frac{-7}{18}=\frac{-16}{18}+\frac{-7}{18}=\frac{-23}{18}$;

$\frac{-25}{36}+\frac{-23}{18}=\frac{-25}{36}+\frac{-46}{36}=\frac{-71}{36}$.

Vậy ta điền được các phân số vào tháp số như sau: