Bài 3: Hình thang cân

Xét hai tam giác vuông AHD và BKC:

$\angle$(AHD) = $\angle$(BKC) = ${90}^0$

AD = BC (tính chất hình thang cân)

$\angle$C = $\angle$D (gt)

Suy ra: $∆$AHD = $∆$BKC (cạnh huyền, góc nhọn)

⇒ HD = KC

Xét $∆$ADC và $∆$BCD, ta có:

AD = BC (tính chất hình thang cân)

$\angle$(ADC) = $\angle$(BCD) (gt)

DC chung

Do đó: $∆$ADC = $∆$BCD (c.g.c) ⇒ $\angle C_1$= $\angle D_1$

Trong $∆$OCD ta có: $\angle C_1$= $\angle D_1$ ⇒ $∆$OCD cân tại O ⇒ OC = OD (1)

AC = BD (tính chất hình thang cân) ⇒ AO + OC = BO + OD (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AO = BO.

$∆$ABC cân tại A

⇒$\angle$B = $\angle$C = (${180}^0$- $\angle$A) / 2 (tính chất tam giác cân) (1)

AB = AC (gt) ⇒ AM + BM = AN + CN

Mà BM = CN (gt) ⇒ AM = AN

⇒ $∆$AMN cân tại A

⇒$\angle M_1$ = $\angle N_1$ = (${180}^0$- $\angle$A) / 2 (tính chất tam giác cân) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $\angle M_1$ = $\angle$B

⇒ MN // BC (vì có cặp góc đồng vị bằng nhau)

Tứ giác BCNM là hình thang có $\angle$B = $\angle$C

Vậy BCNM là hình thang cân.

$\angle$B = $\angle$C = (${180}^0$ – ${40}^0$) / 2 = ${70}^0$

Mà $\angle M_2$+ $\angle$B = ${180}^0$ (hai góc trong cùng phía nên bù nhau)

Suy ra: $\angle M_2$ = ${180}^0$ - $\angle$B = ${180}^0$ – ${70}^0$ = ${110}^0$

$\angle N_2$= $\angle M_2$= ${110}^0$ (tính chất hình thang cân)

+) Do BE và CF lần lượt là tia phân giác của góc B và góc C nên ta có:

Mà tam giác ABC cân tại A nên $\angle$B = $\angle$C

Suy ra: $\angle$ABE = $\angle$ACF

Xét hai tam giác AEB và AFC

Có AB = AC ($∆$ABC cân tại A)

$\angle$ABE = $\angle$ACF (chứng minh trên)

$\angle$A là góc chung

⇒ $∆$AEB = $∆$AFC (g.c.g) ⇒ AE = AF ⇒ $∆$AEF cân tại A

⇒ $\angle$AFE = (${180}^0$− $\angle$A) / 2 và trong tam giác $∆$ABC: $\angle$B = (${180}^0$− ∠A) / 2

⇒$\angle$AFE = $\angle$B ⇒ FE//BC ( có hai góc ở vị trí đồng vị bằng nhau).

⇒ Tứ giác BFEC là hình thang.

Vì FE//BC nên ta có: $\angle$FEB = $\angle$EBC (so le trong)

Lại có: $\angle$FBE = $\angle$EBC ( vì BE là tia phân giác của góc B)

⇒$\angle$FBE = $\angle$FEB

⇒ $∆$FBE cân ở F ⇒ FB = FE

⇒ Hình thang BFEC là hình thang cân có đáy nhỏ bằng cạnh bên (đpcm)

Từ B kẻ đường thẳng song song với AC cắt đường thẳng DC tại K.

Ta có hình thang ABKC có hai cạnh bên BK // AC nên AC = BK

Mà AC = BD (gt)

Suy ra: BD = BK do đó $∆$BDK cân tại B

⇒ $\angle D_1$ = $\angle$K (tính chất hai tam giác cân)

Ta lại có: $\angle C_1$ = $\angle$K (hai góc đồng vị)

Suy ra:  $\angle D_1$ = $\angle C_1$ 

Xét $∆$ACD và $∆$BDC:

AC = BD (gt)

$\angle C_1$ = $\angle D_1$ (chứng minh trên)

CD chung

Do đó $∆$ACD = $∆$BDC (c.g.c) ⇒ $\angle$(ADC) = $\angle$(BCD)

Hình thang ABCD có $\angle$(ADC) = $\angle$(BCD) nên là hình thang cân.

Giả sử hình thang ABCD có AB // CD và $\angle$D = ${50}^0$

Vì $\angle$C = $\angle$D (tính chất hình thang cân)

⇒ $\angle$C = ${50}^0$

$\angle$A + $\angle$D = ${180}^0$ (hai góc trong cùng phía)

⇒ $\angle$A = ${180}^0$ - $\angle$D = ${180}^0$ – ${50}^0$ = ${130}^0$

$\angle$B = $\angle$A (tính chất hình thang cân)

Suy ra: $\angle$B = ${130}^0$

Ta có:

AB = AD (gt)

AD = BC (tính chất hình thang cân)

⇒ AB = BC do đó ΔABC cân tại B

⇒ $\angle$BAC = $\angle$BCA (tính chất tam giác cân) (*)

ABCD là hình thang có đáy là AB nên AB // CD

$\angle$BAC = $\angle$DCA (hai góc so le trong) (**)

Từ (*) và (**) suy ra: $\angle$BCA = $\angle$DCA (cùng bằng $\angle$BAC)

Vậy CA là tia phân giác của $\angle$BCD.

Ta có: OA = OC (gt)

⇒ $∆$OAC cân tại O

⇒$\angle A_1$= (${180}^0$ - $\angle$(AOC) ) / 2 (tính chất tam giác cân) (1)

OB = OD (gt)

⇒ $∆$OBD cân tại O

⇒ $\angle B_1$= (${180}^0$ - $\angle$(BOD) )/2 (tính chất tam giác cân) (2)

$\angle$(AOC) = $\angle$(BOD) (đối đỉnh) (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra: $\angle A_1$ = $\angle B_1$

⇒ AC // BD (vì có cặp góc ở vị tri so le trong bằng nhau)

Suy ra: Tứ giác ACBD là hình thang

Ta có: AB = OA + OB

CD = OC + OD

Mà OA = OC, OB = OD

Suy ra: AB = CD

Vậy hình thang ABCD là hình thang cân.

AD = AE (gt)

⇒ $∆$ADE cân tại A ⇒$\angle$(ADE) = (${180}^0$- $\angle$A )/2

$∆$ABC cân tại A ⇒ $\angle$(ABC) = (${180}^0$- $\angle$A )/2

Suy ra: $\angle$(ADE) = $\angle$(ABC)

⇒ DE // BC (Vì có cặp góc đồng vị bằng nhau)

Tứ giác BDEC là hình thang

$\angle$(ABC) = $\angle$(ACB) (tính chất tam giác cân) hay $\angle$(DBC) = $\angle$(ECB)

Vậy BDEC là hình thang cân.

Ta có: BD = DE ⇒ $∆$BDE cân tại D

$\angle B_1$ = $\angle E_1$

Mà $\angle E_1$ = $\angle B_2$(so le trong)

⇒ $\angle B_1$ = $\angle B_2$

DE = EC ⇒ $∆$DEC cân tại E

⇒ $\angle D_1$ = $\angle C_1$

$\angle D_1$ = $\angle C_2$ (so le trong)

⇒ $\angle C_1$ = $\angle C_2$

Vậy khi BE là tia phân giác của $\angle$(ABC) , CD là tia phân giác của $\angle$(ACB) thì BD = DE = EC

Ta có: $\angle$(ADC) = $\angle$(BCD) (gt)

⇒ $\angle$(ODC) = $\angle$(OCD)

⇒$∆$OCD cân tại O

⇒ OC = OD

OB + BC = OA + AD

Mà AD = BC (tính chất hình thang cân)

⇒ OA = OB

Xét $∆$ADC và $∆$BCD:

AD = BC (tính chất hình thang cân )

AC = BD (tính chất hình thang cân)

CD chung

Do đó $∆$ADC và $∆$BCD (c.c.c)

⇒ $\angle D_1$= $\angle C_1$

⇒$∆$EDC cân tại E

⇒ EC = ED nên E thuộc đường trung trực CD

OC = OD nên O thuộc đường trung trực CD

E $\ne$ O. Vậy OE là đường trung trực của CD.

Ta có: BD= AC (tính chất hình thang cân)

⇒ EB + ED = EA + EC mà ED = EC

⇒ EB = EA nên E thuộc đường trung trực AB

OA = OB (chứng minh trên ) nên O thuộc đường trung trực của AB

E $\ne$ O. Vậy OE là đường trung trực của AB.

Kẻ đường cao BK

Xét hai tam giác vuông AHD và BKC, ta có:

$\angle$(AHD) = $\angle$(BKC) = ${90}^0$

AD = BC (tỉnh chất hình thang-Cân)

$\angle$D = $\angle$C (gt)

Do đó: $∆$AHD = $∆$BKC (cạnh huyền, góc nhọn) ⇒ HD = KC.

Hình thang ABKH có hai cạnh bên song song nên AB = HK

a – b = DC – AB = DC – HK = HD + KC = 2HD ⇒ HD = (a – b) / 2

HC = DC – HD = a - (a – b) / 2 = (a + b) / 2

HD = (CD – AB) / 2 = (26 – 10) / 2 = 8 (cm)

Trong tam giác vuông AHD có $\angle$(AHD) = ${90}^0$

$A{D}^2=A{H}^2+H{D}^2$(định lý Pi-ta-go)

⇒ $A{H}^2=A{D}^2-H{D}^2$

$A{H}^2={17}^2-8^2$= 289 – 64 = 225

AH = 15 (cm)

Ta có: AD = BC = 3 (cm) (tính chất hình thang cân)

$\angle$(ABD) = $\angle$(BDC) (so le trong)

$\angle$(ADB) = $\angle$(BDC) ( do DB là tia phân giác của góc D )

⇒ $\angle$(ABD) = $\angle$(ADB)

⇒$∆$ABD cân tại A

⇒ AB = AD = 3 (cm)

$∆$BDC vuông tại B

$\angle$(BDC) + $\angle$C = ${90}^0$

$\angle$(ADC) = $\angle$C (gt)

Mà $\angle$(BDC) = 1/2 $\angle$(ADC) nên $\angle$(BDC) = 1/2 $\angle$C

$\angle$C + 1/2 $\angle$C = ${90}^0$ ⇒ $\angle$C = ${60}^0$

Từ B kẻ đường thẳng song song AD cắt CD tại E.

Hình thang ABED có hai cạnh bên song song nên AB = DE và AD = BE

⇒ DE = 3 (cm), BE = 3 (cm)

$\angle$(BEC) = $\angle$(ADC) (đồng vị)

Suy ra: $\angle$(BEC) = $\angle$C

⇒$∆$BEC cân tại B có $\angle$C = ${60}^0$

⇒$∆$BEC đều

⇒ EC = BC = 3 (cm)

CD = CE + ED = 3 + 3 = 6(cm)

Chu vi hình thang ABCD bằng:

AB + BC + CD + DA = 3 + 3 + 6 + 3 = 15 (cm)

Chọn A. $\angle$(C ) = ${110}^0$

Ta có : $\angle$(A )+ $\angle$(D )=${180}^0$ ( hai góc trong cùng phía)

=>$\angle$(D )= ${180}^0$-$\angle$(A )= ${180}^0$- ${70}^0$ =${110}^0$

mà $\angle$(C )= $\angle$(D ) (tính chất hình thang cân ) =>$\angle$(C )= $\angle$(D )= ${110}^0$

$∆$ACD = $∆$BDC (c.c.c)

Suy ra 

⇒ Tam giác ICD cân tại I.

do đó ID = IC (1)

Tam giác KCD có hai góc ở đáy bằng nhau $\angle$C = $\angle$D nên tam giác KCD cân tại K

⇒ KD = KC (2)

Từ (1) và (2) suy ra KI là đường trung trực của CD.

Chứng minh tương tự có IA = IB, KA = KB

Suy ra KI là đường trung trực của AB

Hình thang ABCD cân có AB // CD

⇒ $\angle$D = $\angle$C = ${60}^0$

DB là tia phân giác của góc D

⇒ $\angle$(ADB) = $\angle$(BDC)

$\angle$(ABD) = $\angle$(BDC) (hai góc so le trong)

Suy ra: $\angle$(ADB) = $\angle$(ABD)

⇒ $∆$ABD cân tại A ⇒ AB = AD (1)

Từ B kẻ đường thẳng song song với AD cắt CD tại E

Hình thang ABED có hai cạnh bên song song nên AB = ED, AD= BE (2)

$\angle$(BEC) = $\angle$(ADC) (đồng vị )

Suy ra: $\angle$(BEC) = $\angle$C = ${60}^0$

⇒$∆$ BEC đều ⇒ EC = BC (3)

AD = BC (tính chất hình thang cân) (4)

Từ (1), (2), (3) và (4) ⇒ AB = BC = AD = ED = EC

⇒ Chu vi hình thang bằng:

AB + BC + CD + AD = AB + BC + EC + ED + AD = 5AB

⇒AB = BC = AD = 20 : 5 = 4 (cm)

CD = CE + DE = 2 AB = 2.4 = 8 (cm)