Bài 2: Hình thang

Ta có: hình thang ABCD có AB // CD ⇒ $\angle$A + $\angle$D = ${180}^0$ (hai góc trong cùng phía)

Ta có: $\angle$A = 3$\angle$D (gt)

⇒ 3$\angle$D + $\angle$D = ${180}^0$ ⇒ 4$\angle$D = ${180}^0$ ⇒ $\angle$D = ${45}^0$ ⇒ $\angle$A = 3.${45}^0$ = ${135}^0$

$\angle$B + $\angle$C = ${180}^0$ (hai góc trong cùng phía)

$\angle$B - $\angle$C = ${30}^0$ (gt)

⇒ 2$\angle$B = ${180}^0$ + ${30}^0$ = ${210}^0$ ⇒ $\angle$B = ${105}^0$

$\angle$C = $\angle$B - ${30}^0$ = ${105}^0$ – ${30}^0$ = ${75}^0$

ΔBCD có BC = CD (gt) nên ΔBCD cân tại C.

⇒ $\angle B_1$= $\angle D_1$(tính chất tam giác cân)

Mà $\angle D_1$= $\angle D_2$( Vì DB là tia phân giác của góc D)

Suy ra: $\angle B_1$= $\angle D_2$

Do đó: BC // AD (vì có cặp góc ở vị trí so le trong bằng nhau)

Vậy ABCD là hình thang.

a. Tứ giác 1 có một cặp cạnh song song.

b. Tứ giác 3 có hai cặp cạnh song song.

c. Tứ giác 1 và 3 là hình thang.

Trong hình thang ABCD, ta có A và C là hai góc đối nhau.

- Trường hợp A và B là 2 góc kề với cạnh bên.

⇒ BC // AD

$\angle$A + $\angle$B = ${180}^0$ (hai góc trong cùng phía bù nhau)

⇒ $\angle$B = ${180}^0$ - $\angle$A = ${180}^0$ – ${60}^0$ = ${120}^0$

$\angle$C + $\angle$D = ${180}^0$ (hai góc trong cùng phía bù nhau)

⇒ $\angle$D = ${180}^0$ - $\angle$C = ${180}^0$ – ${130}^0={50}^0$

- Trường hợp A và D là 2 góc kề với cạnh bên.

⇒ AB // CD

$\angle$A + $\angle$D = ${180}^0$ (hai góc trong cùng phía bù nhau)

⇒ $\angle$D = ${180}^0$ - $\angle$A = ${180}^0$ – ${60}^0={120}^0$

$\angle$C + $\angle$B = ${180}^0$ (hai góc trong cùng phía bù nhau)

⇒ $\angle$B = ${180}^0$ - $\angle$C = ${180}^0$ – ${130}^0={50}^0$

Xét hình thang ABCD có AB //CD.

Ta có:

* $\angle$A và $\angle$D là hai góc kề với cạnh bên

⇒ $\angle$A + $\angle$D = ${180}^0$ (2 góc trong cùng phía) nên trong hai góc đó có nhiều nhất 1 góc nhọn và có nhiều nhất là 1 góc tù.

* $\angle$B và $\angle$C là hai góc kề với cạnh bên

⇒ $\angle$B + $\angle$C = ${180}^0$ (2 góc trong cùng phía) nên trong hai góc đó có nhiều nhất 1 góc nhọn và có nhiều nhất là 1 góc tù.

Vậy trong bốn góc là A, B, C, D có nhiều nhất là hai góc tù và có nhiều nhất là hai góc nhọn.

Giả sử hình thang ABCD có AB // CD

* Ta có: $\angle A_1$= $\angle A_2$= 1/2 $\angle$A (vì AE là tia phân giác của góc A)

$\angle D_1$= $\angle D_2$= 1/2 $\angle$D ( Vì DE là tia phân giác của góc D)

Mà $\angle$A + $\angle$D = ${180}^0$ (2 góc trong cùng phía bù nhau)

Suy ra:$\angle A_1$+ $\angle D_1$= 1/2 ($\angle$A + $\angle$D) = ${90}^0$

* Trong ΔAED, ta có:

$\angle$(AED) + $\angle A_1$+ $\angle D_1$= ${180}^0$ (tổng 3 góc trong tam giác)

⇒ $\angle$(AED) = ${180}^0$ – ($\angle A_1$+ $\angle D_1$) = ${180}^0$ - ${90}^0$ = ${90}^0$

Vậy AE ⊥ DE.

Đường thẳng đi qua I song song với BC cắt AB tại D và AC tại E, ta có các hình thang sau: BDEC, BDIC, BIEC

DE // BC (theo cách vẽ)

⇒ $\angle I_1$= $\angle B_1$(hai góc so le trong)

Mà $\angle B_1$= $\angle B_2$(gt)

Suy ra: $\angle I_1$= $\angle B_2$

Do đó: $∆$BDI cân tại D ⇒ DI = DB (1)

Ta có: $\angle I_2$= $\angle C_1$(so le trong)

$\angle C_1$= $\angle C_2$(gt)

Suy ra: $\angle I_2$= $\angle C_2$ do đó: $∆$CEI cân tại E

⇒ IE = EC (2)

DE = DI + IE (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra: DE = BD + CE

Vì ΔABC vuông cân tại A nên 

Lại có:  ( tính chất tam giác vuông).

Suy ra: $\angle C_1$= ${45}^0$

Vì $∆$BCD vuông cân tại B nên 

Lại có:  ( tính chất tam giác vuông).

Suy ra: $\angle C_2$= ${45}^0$

$\angle$(ACD) =$\angle C_1$+ $\angle C_2$= ${45}^0$ + ${45}^0$ = ${90}^0$

⇒ AC ⊥ CD

Mà AC ⊥ AB (gt)

Suy ra: AB //CD

Vậy tứ giác ABCD là hình thang vuông.

Kẻ BH ⊥ CD

Ta có: AD ⊥ CD ( Vì ABCD là hình thang vuông có $\angle$A = $\angle$D = ${90}^0$ )

Suy ra: BH // AD

Hình thang ABHD có hai cạnh bên song song nên HD = AB và BH = AD

AB = AD = 2cm (gt)

⇒ BH = HD = 2cm

CH = CD – HD = 4 – 2 = 2 (cm)

Suy ra: $∆$BHC vuông cân tại H

⇒ $\angle$C = ${45}^0$

$\angle$B + $\angle$C = ${180}^0$ (2 góc trong cùng phía bù nhau) ⇒ $\angle$B = ${180}^0$ – ${45}^0$ = ${135}^0$

Giả sử hình thang ABCD có AB // CD

Từ B kẻ đường thẳng song song với AD cắt CD tại E.

Hình thang ABED có hai cạnh bên song song nên AB = ED và AD = BE

Ta có: CD – AB = CD – ED = EC (1)

Trong $∆$BEC ta có:

BE + BC > EC (bất đẳng thức tam giác)

Mà BE = AD

Suy ra: AD + BC > EC (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AD + BC > CD – AB

Trên hình vẽ có tất cả 10 hình thang.

Đó là: ABCD, ABEF, ABGH, ABIK, DCEF, DCGH, DCIK, FEGH, FEIK, HGIK

Chọn C. (D ) = 45o

Ta có : hình thang ABCD CÓ BC//AD

=> $\angle$(C )+ $\angle$(D )= ${180}^0$ ( hai góc trong cùng phía bù nhau)

mà $\angle$C = 3$\angle$D nên 3$\angle$D+$\angle$D=${180}^0$ =>$\angle$D= ${45}^0$

Hình thang ABCD có AB // CD

⇒ có $\angle$A + $\angle$D = ${180}^0$ (hai góc trong cùng phía bù nhau)

$\angle$A - $\angle$D = ${40}^0$ (gt)

⇒ 2$\angle$A = ${220}^0$ ⇒ $\angle$A = ${110}^0$

$\angle$D = $\angle$A - ${40}^0$ = ${110}^0$ – ${40}^0$ = ${70}^0$

$\angle$A = 2$\angle$C (gt)

⇒ $\angle$C = $\angle$A /2 = ${110}^0$ : 2 = ${55}^0$

$\angle$B + $\angle$C = ${180}^0$ (hai góc trong cùng phía bù nhau)

⇒ $\angle$B = 180o- $\angle$C = ${180}^0$ – ${55}^0$ = ${125}^0$

Tam giác ABC vuông cân tại A

⇒ $\angle$(ACB) = ${45}^0$

Tam giác EAC vuông cân tại E

⇒ $\angle$(EAC) = ${45}^0$

Suy ra: $\angle$(ACB) = $\angle$(EAC)

⇒ AE // BC (vì có cặp góc ở vị trí so le trong bằng nhau)

nên tứ giác AECB là hình thang có $\angle$E = ${90}^0$. Vậy AECB là hình thang vuông

$\angle$E = $\angle$(ECB) = ${90}^0$, $\angle$B = ${45}^0$

$\angle$B + $\angle$(EAB) = ${180}^0$ (hai góc trong cùng phía bù nhau)

⇒ $\angle$(EAB) = ${180}^0$ - $\angle$B = ${180}^0$ – ${45}^0$ = ${135}^0$

Tam giác ABC vuông tại A. Theo định lí Py-ta-go ta có:

$A{B}^2+A{C}^2=B{C}^2$ mà AB = AC (gt)

⇒$2A{B}^2=B{C}^2=2^2=4$

$A{B}^2$ = 2 ⇒ AB= √2(cm) ⇒ AC = √2 (cm)

Tam giác AEC vuông tại E. Theo định lí Py-ta-go ta có:

$E{A}^2+E{C}^2=A{C}^2$, mà EA = EC (gt)

⇒ $2E{A}^2=A{C}^2$ = 2

$E{A}^2$ = 1

⇒ EA = 1(cm) ⇒ EC = 1(cm)