Bài 2: Định lí đảo và hệ quả của định lí Ta-lét

Trong ΔABC, ta có: DM // BC (gt)

Nên  (Hệ quả định lí Ta-lét)

Suy ra :  (3)

Từ (1) và (3) suy ra: 

Suy ra: 

Trong ΔABC, ta có: EN // BC (gt)

Từ (2) và (4) suy ra:  hay 

Ta có: MN // BC (gt), áp dụng hệ quả của định lý Ta – lét suy ra:

Suy ra:  (Hệ quả định lí Ta-lét)

Trong ΔABC, ta có: MN // BC (gt)

Suy ra: 

Suy ra: 

Vậy NC = AC – AN = 18 – 12 = 6(cm)

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông AMN, ta có:

$M{N}^2=A{M}^2+A{N}^2={16}^2+{12}^2$ = 400

MN = 20cm

Trong ΔABC, ta có: MN // BC (gt)

Suy ra:

Vậy:

Ta có: AB // CD (gt), áp dụng hệ quả của định lý Ta – lét ta có:

Suy ra (hệ quả định lí ta-lét)

Vậy OA.OD = OB.OC

Trong ΔADB, ta có: MN // AB (gt)

Suy ra:  hệ quả định lí ta-lét) (1)

Trong ΔACB, ta có: PQ // AB (gt)

Suy ra:  Hệ quá định lí Ta-lét) (2)

Lại có: NQ // AB (gt)

       AB // CD (gt)

Suy ra: NQ // CD

Trong ΔBDC, ta có: NQ // CD (chứng minh trên)

Suy ra: (Định lí Ta-lét) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra  hay MN = PQ.

Kẻ đường chéo AC cắt EF tại I

Trong ΔADC, ta có: EI // CD

Suy ra: 

Suy ra: 

Lại có : 

Suy ra: 

Từ (1) và (2) suy ra: 

Trong ΔABC, ta có: FI // AB

Suy ra:  (định lí ta-lét) (3)

Trong ΔADC, ta có : EI // CD

Suy ra:  (định lí ta-lét) (4)

Từ (3) và (4) suy ra 

Trong ΔABC, ta có: IF // AB

Suy ra:  (định lí ta-lét)

Suy ra: 

Ta có: 

Suy ra: 

Từ (5) và (6) suy ra: 

Vậy: 

Trong ΔADB, ta có: MN // AB (gt)

Suy ra:  hệ quả định lí ta-lét) (1)

Trong ΔACB, ta có: PQ // AB (gt)

Suy ra:  Hệ quá định lí Ta-lét) (2)

Lại có: NQ // AB (gt)

       AB // CD (gt)

Suy ra: NQ // CD

Trong ΔBDC, ta có: NQ // CD (chứng minh trên)

Suy ra: (Định lí Ta-lét) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra  hay MN = PQ.

Kẻ đường chéo AC cắt EF tại I

Trong ΔADC, ta có: EI // CD

Suy ra: 

Suy ra: 

Lại có : 

Suy ra: 

Từ (1) và (2) suy ra: 

Trong ΔABC, ta có: FI // AB

Suy ra:  (định lí ta-lét) (3)

Trong ΔADC, ta có : EI // CD

Suy ra:  (định lí ta-lét) (4)

Từ (3) và (4) suy ra 

Trong ΔABC, ta có: IF // AB

Suy ra:  (định lí ta-lét)

Suy ra: 

Ta có: 

Suy ra: 

Từ (5) và (6) suy ra: 

Vậy: 

Vì ABCD là hình thang cân có AB // CD nên:

AC = BD (1)

Xét ΔADC và ΔBCD, ta có:

AC = BD (chứng minh trên)

AD = BC (ABCD cân)

CD cạnh chung

Suy ra: $△$ADC = $△$BCD (c.c.c)

Suy ra : $\angle$(ACD) =$\angle$( BDC)

Hay $\angle$(OCD) = $\angle$( ODC)

Suy ra tam giác OCD cân tại O

Suy ra: OD = OC (tính chất tam giác cân) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: OA = OB

Ta có: 

Mà OA = OB ⇒ OM = ON

Lại có: MD = 3MO (gt) ⇒ NC = 3NO

Trong ΔOCD, ta có: 

Suy ra: MN // CD (Định lí đảo của định lí Ta-lét)

Ta có: OD = OM + MD = OM + 3OM = 4OM

Trong ΔOCD, ta có: MN // CD

Suy ra:  Hệ quả định lí Ta-lét)

Suy ra: 

Suy ra: MN = 1/4 CD = 1/4 .5,6 = 1,4 (cm)

Ta có: MB = MD (gt)

Suy ra: MB = 3OM hay OB = 2OM

Lại có: AB // CD (gt) suy ra: MN // AB

Ta có: MN // AB, áp dụng hệ quả định lý Ta – let ta được:

 (Hệ quả định lí Ta-lét)

Suy ra: 

Vậy: AB = 2MN = 2.1,4 = 2,8(cm)

Ta có: 

Vậy 

Gọi P là trung điểm của AD, nối PM

Trong ΔDAB ta có: 

Suy ra: 

Suy ra: PM // AB (Định lí đảo của định lí Ta-lét) (1)

Trong $△$ACD, ta có 

Suy ra: 

Suy ra: PN // CD (định lí đảo định lí Ta-lét) (2)

Từ (1) và (2) và theo tiên đề Ơ-clít suy ra P, M, N thẳng hàng.

Vậy MN // CD hay MN // AB.

Vì PM là đường trung bình của tam giác DAB nên:

PM = AB/2 (tính chất đường trung bình tam giác)

Vì PN là đường trung bình của tam giác ΔACD nên:

PN = CD/2 (tính chất đường trung hình tam giác)

Mà PN = PM + MN

Suy ra: MN = PN – PM = CD/2 - AB/2 = (CD-AB)/2

Trong ΔDAB, ta có: OM // AB (gt)

 (Hệ quả định lí Ta-lét) (1)

Trong ΔCAB, ta có: ON // AB (gt)

 (Hệ quả định lí Ta-lét) (2)

Trong ΔBCD, ta có: ON // CD (gt)

Suy ra:  (định lí Ta-lét) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: 

Vậy: OM = ON

* Cách dựng:

- Dựng hai tia chung gốc Ox và Oy phân biệt không đối nhau

- Trên tia Ox dựng đoạn OA = m và dựng đoạn AB = n sao cho A nằm giữa O và B

- Trên tia Oy dựng đoạn OC = p.

- Dựng đường thẳng AC

- Từ B dựng đường thẳng song song với AC cắt tia Oy tại D.

Đoạn thẳng CD = q cần dựng.

* Chứng minh:

Theo cách dựng, ta có: AC // BD.

Trong $△$OBD ta có: AC // BD

* Cách dựng:

- Dựng hai tia chung gốc ox và Oy

phân biệt không đối nhau.

- Trên Ox dựng đoạn OM = AB = 3cm

và dựng đoạn MN = CD = 5cm sao cho M nằm giữa O và N

- Trên tia Oy dựng đoạn OP = EF = 2cm.

- Dựng đường thẳng PM.

- Từ N dựng đường thẳng song song với PM cắt tia Oy tại Q.

Đoạn thẳng PQ = a cần dựng..

* Chứng minh:

Theo cách dựng, ta có: PM // NQ.

Trong ΔONQ ta có: PM // NQ

Chọn A

Chọn D

Vì M, N lần lượt là trung điểm của cạnh AC và AB nên đường thẳng MN song song với BC.

Do đó tứ giác BCMN là hình thang và có hai đường chéo BM và CN cắt nhau tại O.

Theo kết quả chứng minh ở bài tập số 9, ta có: OM.OC = ON.OB.

Vì OM ⊥ AB và ON ⊥ CD, mà AB // CD nên suy ra M, O, N thẳng hàng.

Mặt khác, do AB // CD nên theo Định lí Ta-lét ta có:

Từ đó, theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

Từ O kẻ đường thẳng song song với AB và CD cắt AD tại E, cắt BC tại F.

Áp dụng kết quả chứng minh ở bài 14 ta có:

OE = OF

Từ đó, ta có:

$S_{AEO}=S_{BFO}$ (1) (hai tam giác có cùng đường cao và hai đáy bằng nhau);

$S_{DEO}=S_{CFO}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra : $S_{OAD}=S_{OBC}$ (3)

Suy ra: OH.AD = OK.BC

⇔