Bài 12. Ước chung và ước chung lớn nhất

Số tự nhiên n được gọi là ước chung của hai số a và b nếu n vừa là ước của a vừa là ước của b.

Số lớn nhất trong các ước chung của a và b được gọi là ước chung lớn nhất của a và b.

Ước chung của hai số là ước của ước chung lớn nhất của chúng.

Tìm ước chung lớn nhất bằng cách phân tích các số ra thừa số nguyên tố

Bước 1. Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố

Bước 2. Chọn ra các thừa số nguyên tố chung

Bước 3. Với mỗi thừa số nguyên tố chung, ta chọn lũy thừa với số mũ nhỏ nhất

Bước 4. Lấy tích của các lũy thừa đã chọn, ta nhận được ước chung lớn nhất cần tìm

Hai số nguyên tố cùng nhau là hai số có ước chung lớn nhất bằng 1.

Hướng dẫn giải

Phân số tối giản là phân số có tử và mẫu là hai số nguyên tố cùng nhau.

Để rút gọn một phân số về phân số tối giản, ta chia cả tử và mẫu của phân số đó cho ước chung lớn nhất của chúng.

a) Số 8 là ước chung của 24 và 56 vì 8 vừa là ước của 24 vừa là ước của 56.

b) Số 8 không là ước chung của 14 và 48 vì 8 là ước của 48 nhưng không là ước của 14.

Số 7 là ước chung của 14; 49 và 63 vì 7 vừa là ước của 14, vừa là ước của 49 và vừa là ước của 63.

Vì ước chung của a và b đều là ước của ƯCLN(a, b) = 80 nên tất cả các số có hai chữ số là ước chung của a và b là: 10, 16, 20, 40, 80.

Ta có: 126 = 2 . 3² . 7.

           162 = 2 . 3⁴.

Chọn ra các thừa số nguyên tố chung của 126 và 162 là 2 và 3.

Số mũ nhỏ nhất của thừa số nguyên tố 2 là 1.

Số mũ nhỏ nhất của thừa số nguyên tố 3 là 2.

Vậy ƯCLN(126, 162) = 2¹ . 3² = 18.

Hai số 24 và 35 có nguyên tố cùng nhau vì ƯCLN(24, 35) = 1.

Số 1 là ước chung của hai số tự nhiên bất kì vì 1 là ước của mọi số tự nhiên.

a) ƯC(440, 495) = {1; 5; 11; 55}.

b) ƯCLN(440, 495) = 55.

a) Ta có 31 là số nguyên tố;

              22 = 2 . 11;

              34 = 2 . 17.

Vậy ƯCLN(31, 22) = 1;

ƯCLN(31, 34) = 1;

ƯCLN(22, 34) = 2.

b) Ta có 105 = 3 . 5 . 7;

              128 = 2⁷;

              135 = 3³ . 5.

Vậy ƯCLN(105, 128) = 1;

ƯCLN(105, 135) = 3 . 5 = 15;

ƯCLN(128, 135) = 1.

Ta có: 126 = 2 . 3² . 7.

           150 = 2 . 3 . 5².

Vậy ƯCLN(126, 150) = 2 . 3 = 6.

Do ước chung của 126 và 150 là ước của ƯCLN(126; 150) nên tất cả các ước chung của 126 và 150 là: 1; 2; 3; 6.

Để số bạn nam cũng như số bạn nữ được chia đều vào các đội thì số đội phải là ước chung của 24 và 30.

Để số đội được chia là nhiều nhất thì số đội phải là ước chung lớn nhất của 24 và 30.

Mà ước chung lớn nhất của 24 và 30 là 6 nên số đội chơi nhiều nhất được chia là 6 đội.

Để chia khu đất ấy thành những mảnh hình vuông bằng nhau thì độ dài cạnh hình vuông phải là ước chung của 48 và 42.

Mà ước chung của 48 và 42 là 1; 2; 3; 6 nên số cách có thể chia được là 4 cách.

Mà ước chung lớn nhất của 48 và 42 là 6 nên với cách chia độ dài cạnh của mảnh đất hình vuông bằng 6 m thì cạnh của mảnh đất hình vuông là lớn nhất.

Để dựng các cột điện trang trí xung quanh vườn sao cho mỗi góc vườn có một cột và khoảng cách giữa các cột liên tiếp bằng nhau thì khoảng cách giữa hai cột liên tiếp phải là ước chung của 42 và 36.

Để chi phí làm là thấp nhất thì khoảng cách giữa các cột điện phải là ước chung lớn nhất của 42 và 36.

Mà ước chung lớn nhất của 42 và 36 là 6 nên khoảng cách giữa hai cột điện để chi phí làm là ít nhất là 6 m.

Khi đó số cột điện cần dựng là 2.(42 + 36) : 6 = 26 cột.

Để số học sinh nam và số học sinh nữ được chia đều vào các nhóm thì số nhóm phải là ước chung của 72 và 120.

Ta có 72 = 2³ . 3² và 120 = 2³ . 3 . 5

Nên ƯCLN(72, 120) = 2³ . 3 = 8 . 3 = 24.

Suy ra ƯC(72, 120) = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24}.

Mà số địa điểm cần đến lớn hơn 10 và nhỏ hơn 20 nên số nhóm là 12.