87 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 3 Dạng 5: Một số bài toán cực trị có đáp án
7 câu hỏi
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm M(-2,-2,1), A(1,2,-3) và đường thẳng d:x+12=y−52=z−1.Tìm một vectơ chỉ phương u→ của đường thẳng D đi qua , vuông góc với đường thẳng đồng thời cách điểm một khoảng bé nhất.
B. .C. .D. .
Xét là mặt phẳng qua và .
Mặt phẳng qua và có vectơ pháp tuyến nên có phương trình: .
Gọi lần lượt là hình chiếu của lên và D.
Khi đó nên đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi .
Đường thẳng đi qua và có vectơ chỉ phương nên có phương trình tham số là .
Vì nên .
Lại nên .
Vậy .
Chọn C.
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình x2+y2+z2−4x+2y−2z−3=0 và điểm A5;3;−2. Một đường thẳng d thay đổi luôn đi qua A và luôn cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt M,N.
Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức S=AM+4AN.
Smin=30.
Smin=20.
Smin=534−9.
Smin=34−3.
Mặt cầu S có tâm I2;−1;1, bán kính R=22+−12+12−−3=3.
Ta có: AI=2−52+−1−32+1+22=34>R nên A nằm ngoài mặt cầu S.
Ta lại có: S=AM+4AN.
Đặt AM=x, x∈34−3;34+3.
Mà AM.AN=AI2−R2=34−9=25⇒AN=25AM.
Do đó: S=fx=x+100x với x∈34−3;34+3.
Ta có: f'x=1−100x2=x2−100x<0 với x∈34−3;34+3.
Do đó: min34−3;34+3fx=f34+3=534−9.
Dấu “=” xảy ra ⇔A,M,N,I thẳng hàng và AM=34+3; AN=34−3.
Chọn C.
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(9,6,11), B(5,7,2) và điểm M di động trên mặt cầu S:x−12+y−22+z−32=36.
Giá trị nhỏ nhất của AM+2MBbằng
105.
226.
229.
102.
Mặt cầu S:x−12+y−22+z−32=36 có tâm I1;2;3 và bán kính R=6.
Ta có IA=12=2R.
Gọi E là giao điểm của IA và mặt cầu S suy ra E là trung điểm của IA nên E5;4;7.
Gọi F là trung điểm của IE suy ra F3;3;5.
Xét ΔMIF và ΔAIM có AIM^ chung và IFIM=IMIA=12.
Suy ra ΔMIFΔAIMc.g.c⇒MAMF=AIMI=2⇒MA=2MF.
Do đó AM+2MB=2MF+MB≥2BF=229 (theo bất đẳng thức tam giác).
Dấu “=” xảy ra khi M là giao điểm FB và mặt cầu S.
Chọn C.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2,-2,4), B(-3,3,-1) và đường thẳng d:x−52=y−2−1=z−1. Xét M là điểm thay đổi thuộc d, giá trị nhỏ nhất của 2MA2+3MB2 bằng
14.
160.
410
18.
Chọn B
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1,0,3), B(-3,1,3), C(1,5,1). Gọi Mx0;y0;z0 thuộc mặt phẳng tọa độ Oxy sao cho biểu thức T=2MA→+MB→+MC→ có giá trị nhỏ nhất. Giá trị của x0−y0 bằng
x0−y0=−85.
x0−y0=85.
x0−y0=−2.
x0−y0=2.
Chọn C
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1,2,-3),B(-2,-2,1) và mặt phẳng α có phương trình 2x+2y−z+9=0. Gọi M là điểm thay đổi trên mặt phẳng α sao cho M luôn nhìn đoạn AB dưới một góc vuông. Xác định phương trình đường thẳng MB khi MB đạt giá trị lớn nhất.
x=−2−ty=−2+2tz=1+2t.
x=−2+2ty=−2−tz=1+2t.
x=−2+ty=−2z=1+2t.
x=−2+ty=−2−tz=1.
Chọn C
Cho mặt cầu S:x−22+y−12+z−32=9 và hai điểm A1;1;3,B21;9;−13.
Điểm Ma;b;c thuộc mặt cầu S sao cho 3MA2+MB2 đạt giá trị nhỏ nhất.
Khi đó giá trị của biểu thức T=a.b.c bằng
3.
8.
6.
-18.
Chọn B
