87 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 3 Dạng 4: Vị trí tương đối có đáp án
22 câu hỏi
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:x+11=y−3=z−5−1 và mặt phẳng P:3x−3y+2z−6=0.
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
dcắt và không vuông góc với (P).
dsong song với (P).
dvuông góc với (P).
dnằm trong (P).
Đường thẳng d nhận u→=1;−3;−1 làm một vectơ chỉ phương.
Mặt phẳng P nhận n→=3;−3;2 làm một vectơ pháp tuyến.
Do u→.n→≠0 và hai vectơ này không cùng phương nên đường thẳng d cắt và không vuông góc với (P).
Chọn A.
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng có phương trình d:x−21=y−11=z−1−1 và mặt phẳng P:x+my+m2−1z−7=0 với m là tham số thực. Tìm m sao cho đường thẳng d song song với mặt phẳng (P).
m=1.
m=−1.
m=−1m=2.
m=2.
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là u→=1;1;−1 và mặt phẳng P có vectơ pháp tuyến là n→=1;m;m2−1.
d//P⇔u→⊥n→⇔u→.n→=0⇔1+m−m2+1=0⇔m2−m−2=0⇔m=−1m=2
Thử lại ta thấy với m=−2 thì d⊂P(loại). Vậy m=−1.
Chọn B.
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d:x−12=y−24=z−31 và mặt phẳng α:x−y+2z−5=0, mệnh đề nào dưới đây là đúng?
d//α.
d⊂α.
dcắt α và không vuông góc với α.
d⊥α.
Ta có d:x=1+2ty=2+4tz=3+t, t∈ℝ.
Xét hệ phương trình: x=1+2t 1y=2+4t 2z=3+t 3x−y+2z−5=0 *
Thay (1), (2), (3) vào (*) ta được 1+2t−2+4t+23+t−5=0.
Phương trình này có vô số nghiệm.
Do đó, đường thẳng d nằm trong mặt phẳng α.
Chọn B.
Tọa độ giao điểm M của đường thẳng d:x−124=y−93=z−11 và mặt phẳng P:3x+5y−z−2=0 là
1;0;1.
0;0;−2.
1;1;6.
12;9;1.
Gọi M4t+12;3t+9;t+1∈d.
Ta có M∈P⇒34t+12+53t+9−t+1−2=0⇔t=−3.
Suy ra M0;0;−2.
Chọn B.
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng P:x+2y−z−1=0, Q:2x+y−z+2=0
và hai đường thẳng Δ1:x2=y−11=z+12, Δ2:x1=y−2−1=z−12.
Đường thẳng ∆ song song với hai mặt phẳng P,Q và cắt Δ1,Δ2 tương ứng tại H,K. Độ dài đoạn HK bằng
8117.
5.
6.
117.
Ta có u→=nP→,nQ→=−1;−1;−3.
Gọi H2t;1+t;−1+2t; Km;2−m;1+2m
⇒HK→=m−2t;1−m−t;2+2m−2t
Vì ∆ song song với 2 mặt phẳng P,Q nên HK→=ku→ nên
m−2t1=1−m−t1=2+2m−2t3
Tính ra được m=27; t=−37. Suy ra HK=8117.
Chọn A.
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng P:2m2+m+2x+m2−1y+m+2z+m2+m+1=0
luôn chứa đường thẳng ∆ cố định khi m thay đổi. Khoảng cách từ gốc tọa độ đến ∆ là?
13.
23.
23.
23.
Ta có: 2m2+m+2x+m2−1y+m+2z+m2+m+1=0, ∀m∈ℝ
⇔m22x+y+1+m2x+z+1+4x−y+2z+1=0, ∀m∈ℝ⇔2x+y+1=02x+z+1=04x−y+2z+1=0⇔2x+y+1=02x+z+1=0⇔y=z2x+y+1=0
Vậy P luôn chứa đường thẳng Δ cố định: x=−t2−12y=tz=t
Đường thẳng ∆ đi qua A−12;0;0 và có vectơ chỉ phương uΔ→=−12;1;1.
Vậy khoảng cách từ gốc tọa độ đến ∆ là: dO;Δ=OA→,uΔ→uΔ→=23.
Chọn C.
Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng
d1:x−11=y+12=z−21 và d2:x+34=y+98=z+2m2 m≠0
Tập hợp các giá trị m thỏa mãn d1//d2 có số phần tử là:
1.
0.
3.
2.
Đường thẳng d1 đi qua A1;−1;2 và có vectơ chỉ phương là u1→=1;2;1.
Đường thẳng d2 đi qua B−3;−9;−2 và có vectơ chỉ phương là u2→=4;8;m2.
Đường thẳng d1//d2 khi và chỉ khi u1→ cùng phương với u2→ và hai đường thẳng d1 và d2 không trùng nhau.
Vì −3−11=−9+12=−2−21 nên B nằm trên đường thẳng d1.
Do đó hai đường thẳng này luôn có điểm chung là B nên hai đường thẳng không thể song song.
Chọn B.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng
d:x=1+ty=2+3tz=3−t và d':x=2−2t'y=−2+t'z=1+3t'
Tìm tọa độ giao điểm M của d và d'.
M=0;−1;4.
M=−1;0;4.
M=4;0;−1.
M=0;4;−1.
Tọa độ giao điểm M của d và d' ứng với t và t' là nghiệm của hệ phương trình:
1+t=2−2t'2+3t=−2+t'3−t=1+3t'⇔t+2t'=13t−t'=−4t+3t'=2⇔t=−1t'=1
Vậy M=0;−1;4.
Chọn A.
Trong không gian tọa độ Oxyz, xét vị trí tương đối của hai đường thẳng Δ1:x−12=y+12=z3, Δ2:x−3−1=y−3−2=z+21
Δ1song song với Δ2.
Δ1chéo với Δ2.
Δ1cắt Δ2.
Δ1trùng với Δ2.
Vì 2−1≠2−2 nên vectơ chỉ phương u1→=2;2;3 của đường thẳng Δ1 không cùng phương với vectơ chỉ phương u2→=−1;−2;1 của Δ2.
Suy ra Δ1 chéo với Δ2 hoặc Δ1 cắt Δ2.
Lấy M1;−1;0∈Δ1, N3;3;−2∈Δ2. Ta có MN→=2;4;−2.
Khi đó u1→,u2→.MN→=0.
Suy ra u1→,u2→,MN→ đồng phẳng.
Vậy Δ1 cắt Δ2.
Chọn C.
Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A(0,0,-2) và đường thẳng ∆ có phương trình là x+22=y−23=z+32.
Phương trình mặt cầu tâm A, cắt ∆ tại hai điểm A và B sao cho BC=8 là
x+22+y−32+z+12=16.
x2+y2+z+22=25.
x+22+y2+z2=25.
x2+y2+z+22=16.
Gọi S là mặt cầu tâm A0;0;−2 và có bán kính R.
Đường thẳng ∆ đi qua M−2;2;−3 có vectơ chỉ phương u→=2;3;2.
Gọi H là trung điểm BC nên AH⊥BC.
Ta có AH=dA,Δ=MA→.u→u→.
Với MA→=2;−2;1u→=2;3;2⇒MA→.u→=−7;−2;10⇒AH=−72+−22+10222+32+22=3.
Bán kính mặt cầu (S) là: R=AB=AH2+HB2=32+42=5.
Vậy phương trình mặt cầu (S) là: x2+y2+z+22=25.
Chọn B.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu S:x−12+y+12+z−22=9 và điểm M1;3;−1. Biết rằng các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ M tới mặt cầu đã cho luôn thuộc một đường tròn C có tâm Ja;b;c.
Giá trị 2a+b+c bằng
13425.
11625.
8425.
6225.
Ta có mặt cầu S có tâm I1;−1;2 và bán kính R=3.
Khi đó IM=5>R⇒M nằm ngoài mặt cầu.
Phương trình đường thẳng MI là x=1x=−1+4tz=2−3t.
Tâm Ja;b;c nằm trên MI nên J1;−1+4t;2−3t.
Xét ΔMHI vuông tại H có
MI=5; IH=3⇒MH=MI2−HI2=4
Mặt khác M1;3;−1J1;−1+4t;2−3t⇒MJ=−4+4t2+3−3t2.
MJ.MI=MH2⇒MJ=165⇔−4+4t2+3−2t2=25625⇔25t2−50t+36925=0⇔t=925t=4125
Suy ra J1;1125;2325 hoặc J1;13925;−7325.
+) Với J1;1125;2325 thì IJ=95<IM (nhận).
+) Với J1;13925;−7325 thì IJ=415>IM (loại).
Vậy J1;1125;2325 nên 2a+b+c=8425.
Chọn C.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình là x−12+y−22+z−32=143 và đường thẳng d có phương trình x−43=y−42=z−42. Gọi Ax0;y0;z0,x0>0 là điểm nằm trên đường thẳng d sao cho từ A kẻ được ba tiếp tuyến đến mặt cầu (S) có các tiếp điểm B,C,D sao cho ABCD là tứ diện đều.
Giá trị của biểu thức P=x0+y0+z0 là
6.
16.
12.
8.
Gọi I là tâm mặt cầu thì I1;2;3.
Gọi O là giao điểm của mặt phẳng BCD và đoạn AI.
Vì theo giả thiết AB=AC=AD và IB=IC=ID=143 nên AI vuông góc với mặt phẳng BCD tại O. Khi đó O là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔBCD.
Đặt AI=xx>143.
Ta có AB=AI2−IB2=x2−143
IB2=IO.IA⇒OI=143x⇒OB=IB2−IO2=143−143x2⇒BD2=OB2+OD2−2OB.OD.cos120°=3OB2⇒BD=3OB⇒BD=3OB=3.143−1969x2
Do ABCD là tứ diện đều nên
AB=BD⇒x2−143=3143−1969x2⇔x2−143=14−1963x23x4−56x2+196=0⇔x2=143x2=14⇒x=14
A∈d nên A4+3t;4+2t;4+t.
Suy ra AI=14⇔4+3t−12+4+2t−22+4+t−32=14
⇔t+1=1⇔t=0t=−2⇒A4;4;4A−2;0;2
Do x0>0 nên điểm A có tọa độ A4;4;4.
Suy ra P=12.
Chọn C.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm P,Q,R lần lượt di động trên ba trục tọa độ Ox,Oy,Oz (không trùng với gốc tọa độ O) sao cho 1OP2+1OQ2+1OR2=18. Biết mặt phẳng PQR luôn tiếp xúc với mặt cầu S cố định. Đường thẳng d thay đổi nhưng luôn đi qua M12;32;0 và cắt S tại hai điểm A,B phân biệt. Diện tích lớn nhất của ΔAOB là
15.
5.
17.
7.
Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm O trên mặt phẳng PQR.
Dễ thấy 1OH2=1OP2+1OQ2+1OR2⇒1OH2=18⇒OH=22.
Khi đó PQR luôn tiếp xúc với mặt cầu (S) tâm O, bán kính R=22.
Ta có OM=14+34+0=1<R nên điểm M nằm trong mặt cầu S.
Gọi I là trung điểm của AB, do ΔOAB cân tại O nên SΔOAB=12OI.AB.
Đặt OI=x. Vì OI≤OM nên 0<x≤1 và AB=28−x2.
Ta có SΔOAB=12x.28−x2=x8−x2=8x2−x4.
Xét hàm số fx=8x2−x4, 0<x≤1.
Vì f'x=4x4−x2>0 với mọi x∈0;1 nên fx≤f1=7.
Suy ra diện tích của ΔOAB lớn nhất bằng 7 đạt được khi M là trung điểm của AB.
Chọn D.
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d đi qua điểm M và nhận vectơ a→ làm vectơ chỉ phương và đường thẳng d' đi qua điểm M' và nhận vectơ a'→ làm vectơ chỉ phương. Điều kiện để đường thẳng d song song với đường thẳng d' là
a→=ka'→,k≠0M∉d'.
a→=ka'→,k≠0M∈d'.
a→=a'→M∈d'.
a→≠ka'→,k≠0M∉d'.
Chọn A
Cho đường thẳng d:x−11=y−2−2=z−21 và điểm A1;2;1. Tìm bán kính của mặt cầu có tâm I nằm trên d, đi qua A và tiếp xúc với mặt phẳng P:x−2y+2z+1=0.
R=2.
R=4.
R=1.
R=3.
Chọn D
Cho đường thẳng d:x+13=y−2−2=z−22. Phương trình mặt cầu tâm I1;2;−1 cắt d tại các điểm A,B sao cho AB=23 là
x−12+y−22+z+12=25
x−12+y−22+z+12=4.
x−12+y−22+z+12=9.
x−12+y−22+z+12=16.
Chọn D
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt cầu
S1:x−12+y−12+z−22=16 và S2:x+12+y−22+z+12=9
cắt nhau theo giao tuyến là một đường tròn tâm là Ia;b;c. Giá trị a+b+c bằng
74.
−14.
103.
1.
Chọn D
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng P:m2+1x−2m2−2m+1y+4m+2z−m2+2m=0 luôn chứa một đường thẳng ∆ cố định khi m thay đổi. Đường thẳng d đi qua M1;−1;1 vuông góc với ∆ và cách O một khoảng lớn nhất có vectơ chỉ phương u→=−1;b;c. Giá trị của T=b+c bằng
12.
9.
11.
10.
Chọn C
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A3;0;0,B0;2;0,C0;0;6 và D1;1;1. Kí hiệu d là đường thẳng đi qua D sao cho tổng khoảng cách từ các điểm A,B,C đến d lớn nhất. Hỏi đường thẳng d đi qua điểm nào dưới đây?
M−1;−2;1.
N5;7;3.
P3;4;3.
Q7;13;5.
Chọn B
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng Δ:x−31=y−13=z−2−1. Có tất cả bao nhiêu giá trị thực của m để phương trình x2+y2+z2−4x+2my−2m+1z+m2+2m+8=0 là phương trình của một mặt cầu S sao cho có duy nhất một mặt phẳng chứa ∆ và cắt S theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng 1?
1.
6.
7.
2.
Chọn D
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm M6;0;0,N0;6;0,P0;0;6. Hai mặt cầu có phương trình S1:x2+y2+z2−2x−2y+1=0 và S2:x2+y2+z2−8x+2y+2z+1=0 cắt nhau theo đường tròn C. Hỏi có bao nhiêu mặt cầu có tâm thuộc mặt phẳng chứa C và tiếp xúc với ba đường thẳng MN,NP,PM?
1.
3.
Vô số.
4.
Chọn C
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2,1,3), B(6,5,5). Gọi (S) là mặt cầu đường kính AB. Mặt phẳng (P) vuông góc với AB tại H sao cho khối nón đỉnh A và đáy là hình tròn tâm H (giao của mặt cầu (S) và mặt phẳng (P)) có thể tích lớn nhất, biết rằng P:2x+by+cz+d=0 với b,c,d∈ℤ.
Tính S=b+c+d.
S=18.
S=−18.
S=−12.
S=24.
Chọn B
