87 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 3 Dạng 1: Xác định vectơ pháp tuyến và viết phương trình mặt phẳng có đáp án

Ta có x−13=3y2=3−z1⇔x−19=y2=z−3−3.

Vậy một vectơ chỉ phương của đường thẳng là a→=9;2;−3.

Chọn B.

Vì ∆ vuông góc với mặt phẳng α nên vectơ chỉ phương của ∆ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng α.

Chọn A.

Ta có OA→=2i→+3j→−5k→⇒A2;3;−5;

OB→=−2j→−4k→⇒B0;−2;−4

Suy ra AB→=−2;−5;1.

Suy ra đường thẳng AB có một vectơ chỉ phương là u→2;5;−1.

Chọn A.

Phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm M2;−1;3 và có vectơ chỉ phương u→1;2;−4 là x−21=y+12=z−3−4.

Chọn D.

Gọi uΔ→ là vectơ chỉ phương của đường thẳng Δ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ta có vectơ pháp tuyến của mặt phẳng P: nP→=3;−4;7.

Vì Δ⊥PA∈Δ⇒uΔ→=nP→=3;−4;7A1;2;3∈Δ nên phương trình tham số của ∆ là x=1+3ty=2−4tz=3+7t t∈ℝ.

Chọn B.

Mặt phẳng P có một vectơ pháp tuyến là nP→=2;2;1.

Mặt phẳng (Q) có một vectơ pháp tuyến là nQ→=2;−1;2

Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là ud→.

Do đường thẳng d song song với (P) và (Q) nên

ud→⊥nP→ud→⊥nQ→⇒ud→=nP→,nQ→=5;−2;−6

Suy ra đường thẳng d đi qua A1;2;3 và có vectơ chỉ phương ud→=5;−2;−6.

Phương trình chính tắc của d là x−15=y−2−2=z−3−6.

Chọn D.

Gọi ∆ là đường thẳng đi qua điểm A và song song với BC.

Ta có: BC→=0;−2;−4.

Do ∆ song song với BC nên một vectơ chỉ phương của ∆ là uΔ→=0;1;2.

Vậy phương trình tham số của đường thẳng ∆ là x=1y=4+tz=−1+2t.

Chọn A.

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là n1→=1;0;1.

Mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến là n2→=1;−2;−1.

Ta có n1→,n2→=2;2;−2.

Gọi u→ là một vectơ chỉ phương của ∆ thì u→⊥n1→ và u→⊥n2→.

Suy ra u→ cùng phương với n1→,n2→. Chọn u→=1;1;−1

Lấy M2;1;3 thuộc mặt phẳng (P) và (Q).

Đường thẳng ∆ đi qua M2;1;3 có một vectơ chỉ phương u→=1;1;−1.

Vậy phương trình ∆ là: x−21=y−11=z−3−1.

Chọn C.

Ta có AB→=−4;2;2⇒AB=16+4+4=26.

AC→=−2;−2;4⇒AC=4+4+16=26

BC→=2;−4;2⇒BC=4+16+4=26

Vậy tam giác ABC đều nên tâm đường tròn ngoại tiếp là trọng tâm G0;1;1.Ta có AB→,AC→=12;12;12=121;1;1.

Đường thẳng d đi qua G0;1;1 và có vectơ chỉ phương cùng phương với AB→,AC→, do đó chọn u→=1;1;1.

Phương trình đường thẳng d là x=ty=1+tz=1+t.

Với t=−1, ta có điểm A−1;0;0∈d.

Vậy đường thẳng d đi qua A−1;0;0 và có vectơ chỉ phương u→=1;1;1.

Chọn B.

Gọi I là trung điểm của HK.

Do MH=NK nên ΔHMI=ΔKNI⇒IM=IN. Khi đó I thuộc mặt phẳng Q là mặt phẳng trung trực của đoạn MN.

Ta có Q đi qua trung điểm của MN là điểm J2;3;4 và nhận n→=12MN→=1;1;1 làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình là Q:x+y+z−9=0.

Mà I∈A⊂P. Suy ra I∈d=P∩Q:x+y+z−9=0x+2y+3z−14=0

Tìm được 0;13;−4∈d và vectơ chỉ phương của d là 1;−2;1.

Vậy d:x=ty=13−2tz=−4+t.

Chọn A.

Gọi u→=a;b;c là một vectơ chỉ phương của ∆ với a2+b2+c2>0.

Ta có nP→=1;−3;5.

Vì Δ⊂P nên u→⊥nP→⇒u→.nP→=0⇔a−3b+5c=0⇔a=3b−5c.(1)

Mặt cầu S có tâm O0;0;0 và bán kính R=2.

Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên AB

Ta có ΔOAB là tam giác đều cạnh R nên OH=R32=3.

Suy ra khoảng cách từ O đến đường thẳng ∆ bằng OH=3.

Khi đó u→,OE→u→=3

⇔a−b2+b−c2+c−a2=3a2+b2+c2

⇔a+b+c2=0⇔a+b+c=0(2)

Thay (1) vào (2) ta được:

3b−5c+b+c=0⇔b=c⇒a=−2c

Thay c=−1 thì b=−1 và a=2.

Ta được một vectơ chỉ phương của ∆ là u→=2;−1;−1

Vậy phương trình của đường thẳng ∆ là x=1+2ty=1−tz=1−t.

Chọn C.

Đường thẳng d có phương trình tham số là x=4−2ty=−2+2tz=−1+t t∈ℝ.

Lấy điểm M=d∩P⇒M4−2t;−2+2t;−1+t∈d. Thay đổi tọa độ điểm M vào phương trình mặt phẳng P ta được:4−2t−2+2t+1−t=0⇔t=2 .

Suy ra M0;2;1.

Do đó d∩P=M0;2;1.

Lấy A4;−2;−1∈d. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng P.

Đường thẳng AH đi qua A4;−2;−1 và nhận nP→=1;1;−1 làm vectơ chỉ phương nên AH có phương trình là x=4+t1y=−2+t1z=−1−t1 t1∈ℝ.

Suy ra H4+t1;−2+t1;−1−t1.

Thay tọa độ H vào phương trình mặt phẳng (P) được

4+t1−2+t1+1+t1−1=0⇔t1=−23⇒H103;−83;−13

MH là hình chiếu của d lên mặt phẳng (P),  đi qua M0;2;1 và nhận MH→=103;−143;−43=−23−5;7;2 là vectơ chỉ phương nên có phương trình là x−5=y−27=z−12.

Chọn B.

Gọi I=d1∩Δ, I1+t,−1+2t,−t⇒AI→=t;2t−1;−t−2  là một vectơ chỉ phương của ∆.

Do u→d2=1;2;2 là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d2 và Δ⊥d2.

Suy ra AI→.u→d2=0⇔t+22t−1+2−t−2=0⇔3t−6=0⇔t=2.

Vậy AI→=2;3;−4. Phương trình đường thẳng ∆ cần tìm là x−12=y3=z−2−4.

Chọn C.

d1:x+1−1=y−62=z1⇔x=−1−ty=6+2tz=t, t∈ℝ

M∈d1⇔M−1−t;6+2t;t

d2:x−1−3=y−2−1=z+44⇔x=1−3t'y=2−t'z=−4+4t', t'∈ℝN∈d1⇔N1−3t';2−t';−4+4t'MN→=2+t−3t';−4−2t−t';−4−t+4t'

P:3x+y−2z=0 có vectơ pháp tuyến n→3;1;−2.

Đường thẳng d vuông góc với P cắt cả hai đường thẳng d1 tại M và cắt d2 tại N suy ra 

MN→=kn→⇔2+t−3t'=3k−4−2t−t'=k−4−t+4t'=−2k⇔t=−2t'=1k=−1

t=−2⇒M1;2;−2

Do d⊥P nên ud→=nP→.

Phương trình đường thẳng d là x=1+3sy=2+sz=−2−2s; s∈ℝ.

Chọn s=−1⇒A−2;1;0∈d⇒d:x+23=y−11=z−2.

Chọn A.

Do d∩d1=B⇒B2m;m;m+2⇒AB→=2m−1;m−2;m−1.

d song song với mặt phẳng P nên

AB→.n→P=0⇔12m−1+1.m−2−m−1=0⇔m=1⇒AB→=1;−1;0

Vậy phương trình đường thẳng x=1+ty=2−tz=3.

Chọn C.

Ta có N=Δ∩d⇒N−2+2t;1+t;1−t.

A là trung điểm của MN⇒M4−2t;5−t;3+t.

Mà M∈P nên tọa độ M thỏa phương trình (P), ta được:

24−2t−5−t+3+t−10=0⇔t=−2⇒N−6;−1;3,M8;7;1

Suy ra MN→=14;8;−2.

Đường thẳng ∆ đi qua hai điểm M và N nên có một vectơ chỉ phương u→=12NM→=7;4;−1 nên có phương trình là x+67=y+14=z−3−1.

Chọn A.

Mặt cầu S có tâm I2;3;5 và bán kính R=10.

Mặt phẳng α có vectơ pháp tuyến n→=2;−2;1.

Gọi H,K lần lượt là hình chiếu vuông góc của I lên ∆ và mặt phẳng α.

⇒IK⊥α nên phương trình đường thẳng IK đi qua I và vuông góc với mặt phẳng α là x=2+2ty=3−2tz=5+t.

Tọa độ điểm K là nghiệm hệ phương trình x=2+2ty=3−2tz=5+t2x−2y+z+15=0⇒K−2;7;3.

Vì Δ⊂α nên IH≥IK. Do đó IH nhỏ nhất khi H trùng với K.

Để MN lớn nhất thì IH  phải nhỏ nhất.

Khi đó đường thẳng ∆ cần tìm đi qua A và K. Ta có AK→=1;4;6.

Đường thẳng ∆ có phương trình là: x+31=y−34=z+36.

Chọn A.

Ta có phương trình tham số của ∆ là: x=2+2ty=4−tz=2−t⇒C2+2t;4−t;2−t.

Gọi M là trung điểm của AC nên M=2+t;7−t2;5−t2.

Vì M∈d nên 2+t−3−1=7−t2−32=5−t2−2−1⇔t−1−1=1−t4=1−t−2⇒t=1.

Suy ra C4;3;1.

Phương trình mặt phẳng P đi qua A và vuông góc với ∆ là: 2x−y−z+2=0.

Gọi H là giao điểm của P và ∆⇒H2;4;2 .

Gọi A' là điểm đối xứng với A qua đường phân giác ∆, suy ra H là trung điểm AA'⇒A'2;5;1.

Do A'∈BC nên đường thẳng BC có vectơ chỉ phương là CA'→=−2;2;0=2−1;1;0.

Suy ra phương trình của đường thẳng BC là x=4−ty=3+tz=1.

Vì B=BM∩BC⇒B2;5;1=A'.

Đường thẳng AB có một vectơ chỉ phương là AB→=0;2;−2=20;1;−1.

Chọn C.

Phương trình tham số của đường thẳng AB có dạng: x=4ty=−2tz=−2+6t.

Để đường thẳng d thỏa mãn bài toán thì ta có hình vẽ tương ứng

Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng AB và ∆ là MN với M0;−5;1,N3;1;1.

Để d gần đường thẳng AB nhất thì d phải đi qua điểm D nằm trên đoạn MN mà DN=dd,Δ=5,MN=35. Do đó MN→=3DN→⇒D=2;−1;1.

Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là ud→=2;−1;1.

Suy ra phương trình tham số của d là x=2+2ty=−1−tz=1+t

Đường thẳng d cắt Oxy tại điểm có z=1+t=0⇒t=−1⇒x=0y=0.

Vậy giao điểm của d và Oxy là 0;0;0.

Chọn D.

Ta có: Δ1//Δ3.

Gọi (P) là mặt phẳng chứa Δ1 và Δ3⇒P:x+2y−z+3=0.

Gọi I=Δ2∩P⇒I0;−1;1.

Gọi J=Δ4∩P⇒J−2a+b+226;3b−246;−2a+7b−86.

⇒IJ→=−2a+b+226;3b−186;−2a+7b−146

Để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì IJ→ phải cùng phương với uΔ1→=1;−1;−1.

Suy ra −2a+b+226=3b−18−6=−2a+7b−14−6⇔a−2b=2.

Chọn A.

Chọn B

Chọn B

Chọn B

Chọn B

Chọn B

Chọn C

Chọn C

Chọn C

Chọn B

Chọn B

Chọn D

Chọn D

Chọn A

Chọn D

Chọn D

Chọn C

Chọn D

Chọn B

Chọn C

Chọn B