87 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 3 Dạng 1: Xác định vectơ pháp tuyến và viết phương trình mặt phẳng có đáp án

Gọi $\overrightarrow{u}=\left(a;b;c\right)$  là một vectơ chỉ phương của $∆$ với $a^2+b^2+c^2>0$ .

Ta có $\overrightarrow{n_P}=\left(1;-3;5\right)$ .

Vì $\Delta \subset \left(P\right)$  nên $\overrightarrow{u}\perp \overrightarrow{n_P}\Rightarrow \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n_P}=0\iff a-3b+5c=0\iff a=3b-5c$ .(1)

Mặt cầu $\left(S\right)$  có tâm $O\left(0;0;0\right)$  và bán kính $R=2$ .

Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên AB

Ta có $\Delta OAB$  là tam giác đều cạnh R nên $OH=\frac{R\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$ .

Suy ra khoảng cách từ O đến đường thẳng $∆$ bằng $OH=\sqrt{3}$ .

Khi đó $\frac{\left|\left[\overrightarrow{u},\overrightarrow{OE}\right]\right|}{\left|\overrightarrow{u}\right|}=\sqrt{3}$

$\iff {\left(a-b\right)}^2+{\left(b-c\right)}^2+{\left(c-a\right)}^2=3\left(a^2+b^2+c^2\right)$

$\iff {\left(a+b+c\right)}^2=0\iff a+b+c=0$(2)

Thay (1) vào (2) ta được:

$3b-5c+b+c=0\iff b=c\Rightarrow a=-2c$

Thay $c=-1$  thì $b=-1$  và $a=2$ .

Ta được một vectơ chỉ phương của $∆$ là $\overrightarrow{u}=\left(2;-1;-1\right)$

Vậy phương trình của đường thẳng $∆$ là $\left\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=1-t\\ z=1-t\end{array}\right.$ .

Chọn C.

Đường thẳng $d$  có phương trình tham số là $\left\{\begin{array}{l}x=4-2t\\ y=-2+2t\\ z=-1+t\end{array}\right.\left(t\in ℝ\right)$ .

Lấy điểm $M=d\cap \left(P\right)\Rightarrow M\left(4-2t;-2+2t;-1+t\right)\in d$ . Thay đổi tọa độ điểm M vào phương trình mặt phẳng $\left(P\right)$  ta được:$4-2t-2+2t+1-t=0\iff t=2$ .

Suy ra $M\left(0;2;1\right)$ .

Do đó $d\cap \left(P\right)=M\left(0;2;1\right)$ .

Lấy $A\left(4;-2;-1\right)\in d$ . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng $\left(P\right)$ .

Đường thẳng AH đi qua $A\left(4;-2;-1\right)$  và nhận $\overrightarrow{n_{\left(P\right)}}=\left(1;1;-1\right)$  làm vectơ chỉ phương nên AH có phương trình là $\left\{\begin{array}{l}x=4+t_1\\ y=-2+t_1\\ z=-1-t_1\end{array}\right.\left(t_1\in ℝ\right)$ .

Suy ra $H\left(4+t_1;-2+t_1;-1-t_1\right)$ .

Thay tọa độ H vào phương trình mặt phẳng (P) được

$4+t_1-2+t_1+1+t_1-1=0\iff t_1=-\frac{2}{3}\Rightarrow H\left(\frac{10}{3};-\frac{8}{3};-\frac{1}{3}\right)$

MH là hình chiếu của d lên mặt phẳng (P),  đi qua $M\left(0;2;1\right)$  và nhận $\overrightarrow{MH}=\left(\frac{10}{3};-\frac{14}{3};-\frac{4}{3}\right)=-\frac{2}{3}\left(-5;7;2\right)$  là vectơ chỉ phương nên có phương trình là $\frac{x}{-5}=\frac{y-2}{7}=\frac{z-1}{2}$ .

Chọn B.

$d_1:\frac{x+1}{-1}=\frac{y-6}{2}=\frac{z}{1}\iff \left\{\begin{array}{l}x=-1-t\\ y=6+2t\\ z=t\end{array}\right.,t\in ℝ$

$M\in d_1\iff M\left(-1-t;6+2t;t\right)$

$$\begin{gathered} d_2:\frac{x-1}{-3}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z+4}{4}\iff \left\{\begin{array}{l}x=1-3t^{\text{'}}\\ y=2-t^{\text{'}}\\ z=-4+4t^{\text{'}}\end{array}\right.,t^{\text{'}}\in ℝ \\ N\in d_1\iff N\left(1-3t^{\text{'}};2-t^{\text{'}};-4+4t^{\text{'}}\right) \\ \overrightarrow{MN}=\left(2+t-3t^{\text{'}};-4-2t-t^{\text{'}};-4-t+4t^{\text{'}}\right) \end{gathered}$$

$\left(P\right):3x+y-2z=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}\left(3;1;-2\right)$ .

Đường thẳng $\left(d\right)$  vuông góc với $\left(P\right)$  cắt cả hai đường thẳng $d_1$  tại M và cắt $d_2$  tại N suy ra 

$\overrightarrow{MN}=k\overrightarrow{n}\iff \left\{\begin{array}{l}2+t-3t^{\text{'}}=3k\\ -4-2t-t^{\text{'}}=k\\ -4-t+4t^{\text{'}}=-2k\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}t=-2\\ t^{\text{'}}=1\\ k=-1\end{array}\right.$

$t=-2\Rightarrow M\left(1;2;-2\right)$

Do $\left(d\right)\perp \left(P\right)$  nên $\overrightarrow{u_d}=\overrightarrow{n_{\left(P\right)}}$ .

Phương trình đường thẳng d là $\left\{\begin{array}{l}x=1+3s\\ y=2+s\\ z=-2-2s\end{array}\right.;s\in ℝ$ .

Chọn $s=-1\Rightarrow A\left(-2;1;0\right)\in d\Rightarrow d:\frac{x+2}{3}=\frac{y-1}{1}=\frac{z}{-2}$ .

Chọn A.

Do $d\cap d_1=B\Rightarrow B\left(2m;m;m+2\right)\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\left(2m-1;m-2;m-1\right)$ .

d song song với mặt phẳng $\left(P\right)$  nên

$\overrightarrow{AB}.{\overrightarrow{n}}_{{}_{\left(P\right)}}=0\iff 1\left(2m-1\right)+1.\left(m-2\right)-\left(m-1\right)=0\iff m=1\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\left(1;-1;0\right)$

Vậy phương trình đường thẳng $\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=2-t\\ z=3\end{array}\right.$ .

Chọn C.

Ta có $N=\Delta \cap d\Rightarrow N\left(-2+2t;1+t;1-t\right)$ .

A là trung điểm của $MN\Rightarrow M\left(4-2t;5-t;3+t\right)$.

Mà $M\in \left(P\right)$  nên tọa độ M thỏa phương trình (P), ta được:

$2\left(4-2t\right)-\left(5-t\right)+\left(3+t\right)-10=0\iff t=-2\Rightarrow N\left(-6;-1;3\right),M\left(8;7;1\right)$

Suy ra $\overrightarrow{MN}=\left(14;8;-2\right)$ .

Đường thẳng $∆$ đi qua hai điểm M và N nên có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\frac{1}{2}\overrightarrow{NM}=\left(7;4;-1\right)$  nên có phương trình là $\frac{x+6}{7}=\frac{y+1}{4}=\frac{z-3}{-1}$.

 

Chọn A.

Ta có: ${\Delta }_1\text{//}{\Delta }_3$ .

Gọi (P) là mặt phẳng chứa ${\Delta }_1$  và ${\Delta }_3\Rightarrow \left(P\right):x+2y-z+3=0$ .

Gọi $I={\Delta }_2\cap \left(P\right)\Rightarrow I\left(0;-1;1\right)$ .

Gọi $J={\Delta }_4\cap \left(P\right)\Rightarrow J\left(\frac{-2a+b+22}{6};\frac{3b-24}{6};\frac{-2a+7b-8}{6}\right)$ .

$\Rightarrow \overrightarrow{IJ}=\left(\frac{-2a+b+22}{6};\frac{3b-18}{6};\frac{-2a+7b-14}{6}\right)$

Để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì $\overrightarrow{IJ}$  phải cùng phương với $\overrightarrow{u_{{\Delta }_1}}=\left(1;-1;-1\right)$ .

Suy ra $\frac{-2a+b+22}{6}=\frac{3b-18}{-6}=\frac{-2a+7b-14}{-6}\iff a-2b=2$ .

Chọn A.