87 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 3 Dạng 2: Các vấn đề về góc có đáp án
8 câu hỏi
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng Δ:x+31=y−11=z+24 và mặt phẳng P:x+y−2z+6=0. Biết ∆ cắt mặt phẳng P tại A,M thuộc ∆ sao cho AM=23. Tính khoảng cách từ M tới mặt phẳng (P).
2.
2.
3.
3.
Đường thẳng Δ:x+31=y−11=z+24 có vectơ chỉ phương u→=1;1;4.
Mặt phẳng P:x+y−2z+6=0 có vectơ chỉ phương n→=1;1;−2.
sinΔ,P=cosu→,n→=u→.n→u→.n→=13=sinφ
Suy ra dM,Δ=MH=MA.sinφ=23.13=2.
Chọn B.
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng P:x−z.sinα+cosα=0; Q:y−z.cosα−sinα=0; α∈0;π2.
Góc giữa d và trục Oz là:
30°.
45°.
60°.
90°.
Mặt phẳng P có vectơ pháp tuyến là nP→=1;0;−sinα.
Mặt phẳng Q có vectơ pháp tuyến là nQ→=0;1;−cosα.
d là giao tuyến của (P) và (Q) nên vectơ chỉ phương của d là:
ud→=nP→,nQ→=sinα;cosα;1
Vectơ chỉ phương của (Oz) là uOz→=0;0;1.
Suy ra cosd,Oz=0.sinα+0.cosα+1.1sin2α+cos2α+12.0+0+12=12⇒d,Oz=45°.
Vậy góc giữa d và trục Oz là 45°.
Chọn B.
Trong không gian Oxyz, d là đường thẳng đi qua điểm A(1,-1,2), song song với mặt phẳng P:2x−y−z+3=0, đồng thời tạo với đường thẳng Δ:x+11=y−1−2=z2 một góc lớn nhất. Phương trình đường thẳng d là
x−1−4=y+15=z−23.
x−14=y+1−5=z−23.
x+14=y+15=z−2−3.
x−14=y+15=z−23.
Mặt phẳng P:2x−y−z+3=0 có một vectơ pháp tuyến là n→P=2;−1;−1.
Đường thẳng Δ:x+11=y−1−2=z2 có một vectơ chỉ phương là u→Δ=1;−2;2.
Giả sử đường thẳng d có vectơ chỉ phương là u→d.
Do 0°≤d,Δ≤90° mà theo giả thiết d tạo ∆ góc lớn nhất nên d,Δ=90°⇒u→d⊥u→Δ.
Lại có d//P nên u→d⊥n→P. Do đó chọn u→d=u→Δ,n→P=4;5;3.
Vậy phương trình đường thẳng d là x−14=y+15=z−23.
Chọn D.
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d:x+24=y−1−4=z+23 và mặt phẳng P:2x−y+2z+1=0. Đường thẳng ∆ đi qua E−2;1;−2, song song với P có một vectơ chỉ phương u→=m;n;1, đồng thời tạo với d góc bé nhất. Tính T=m2−n2.
T=−5.
T=4.
T=3.
T=−4.
Mặt phẳng P có vectơ pháp tuyến là n→=2;−1;2; đường thẳng d có vectơ chỉ phương là v→=4;−4;3.
Δ//P⇒u→⊥n→⇔2m−n+2=0⇔n=2m+2
Mặt khác ta có: cosΔ;d^=u→.v→u→v→=4m−4n+3m2+n2+1.42+−42+32
=4m+5415m2+8m+5=141.4m+525m2+8m+5=141.16m2+40m+255m2+8m+5
Vì 0°≤Δ,d^≤90° nên Δ,d^ bé nhất khi và chỉ khi cosΔ,d^ lớn nhất.
Xét hàm số ft=16t2+40t+255t2+8t+5⇒f't=−72t2−90t5t2+8t+52.
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên ta có: maxft=f0=5.
Suy ra Δ,d^ bé nhất khi m=0⇒n=2.
Do đó T=m2−n2=−4.
Chọn D.
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:x−21=y−1−2=z+13 và mặt phẳng α:−x+2y−3z=0. Gọi φ là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng α. Khi đó góc φ bằng
0°.
45°.
90°.
60°.
Chọn C
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng Δ1:x−1−2=y+21=z−32 và Δ2:x+31=y−11=z+2−4. Góc giữa hai đường thẳng Δ1,Δ2 bằng
30°.
45°.
60°.
135°.
Chọn B
Trong không gian Oxyz, hai đường thẳng d1:x−21=y+12=z−31 và d2:x+51=y+32=z−5m tạo với nhau góc 60°, giá trị của tham số m bằng
m=−1.
m=32.
m=12.
m=1.
Chọn A
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu S:x−12+y2+z+22=4 và đường thẳng d:x=2−ty=tz=m−1+t.
Tổng tất cả các giá trị thực của tham số m để d cắt (S) tại hai điểm phân biệt A,B và các mặt phẳng tiếp diện của (S) tại A,B tạo với nhau một góc lớn nhất bằng
-1,5.
3.
-3.
-2,25.
Chọn C
