87 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 3 Dạng 3: Khoảng cách có đáp án

Mặt cầu $\left(S\right):x^2+y^2+z^2+6y+12z+9=0$ có tâm $I\left(0;-3;-6\right)$ bán kính $R=6$.

$IA=6=R\Rightarrow A\in \left(S\right),IB=3\sqrt{10}>R$ nên B nằm ngoài (S).

Đường thẳng d đi qua A và tiếp xúc với (S) nên d nằm trong mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) tại A.

Mặt phẳng (P) đi qua A và nhận $\overrightarrow{IA}$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là $x+2y+2z=0$.

Gọi H là hình chiếu của B lên (P) thì tọa độ của $H\left(4;-1;-1\right)$.

Ta có: $d\left(B;d\right)\ge d\left(B;\left(P\right)\right)=BH$.

Vậy khoảng cách từ B đến d nhỏ nhất khi d đi qua H. Ta có $\overrightarrow{u_d}=\overrightarrow{AH}=\left(2;-2;1\right)$.

Suy ra phương trình đường thẳng d là: $\left\{\begin{array}{l}x=2+2t\\ y=1-2t\\ z=-2+t\end{array}\right.$.

Chọn C.

Ta có $\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{AB}=\left(1;0;1\right)\\ \overrightarrow{CD}=\left(1;-2;-1\right)\end{array}\right.\Rightarrow \left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}\right]=\left(2;2;-2\right)$.

Suy ra $d\left(AB,CD\right)=\frac{\left|\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}\right].\overrightarrow{AC}\right|}{\left|\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}\right]\right|}=\sqrt{3}$.

Chọn B.

Gọi $d_1$ là đường thẳng đi qua A và song song với d'.

Phương trình của $d_1$ là: $\left\{\begin{array}{l}x=t\\ y=2+2t\\ z=1+t\end{array}\right.$.

Trên đường thẳng $d_1$ lấy điểm $B\left(1;0;0\right)$.

Gọi $\left(Q\right)$ là mặt phẳng chứa d và $d_1$.

Ta có $d\left(d,d^{\text{'}}\right)=d\left(d^{\text{'}},\left(Q\right)\right)=d\left(B,\left(Q\right)\right)$.

Do $d_1$ cố định cho nên $d\left(d,d^{\text{'}}\right)=d\left(B,\left(Q\right)\right)\le d\left(B,d_1\right)$.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\overrightarrow{n_{\left(Q\right)}}=\overrightarrow{BH}$ trong đó H là hình chiếu của B lên $d_1$.

Ta tìm được $H\left(\frac{-2}{3};\frac{2}{3};\frac{1}{3}\right)$ nên $\overrightarrow{BH}=\left(\frac{-5}{3};\frac{2}{3};\frac{1}{3}\right)\Rightarrow \overrightarrow{n_{\left(Q\right)}}=\left(-5;2;1\right)$.

Ta có $\overrightarrow{u_d}=\left[\overrightarrow{n_{\left(P\right)}};\overrightarrow{n_{\left(Q\right)}}\right]=\left(1;7;-9\right)$.

Vậy phương trình của đường thẳng d là $\frac{x}{1}=\frac{y-2}{7}=\frac{z-1}{-9}$.

Chọn A.

Gọi $d_1$ là đường thẳng đi qua A và song song với d'.

Phương trình của $d_1$ là: $\left\{\begin{array}{l}x=t\\ y=2+2t\\ z=1+t\end{array}\right.$.

Trên đường thẳng $d_1$ lấy điểm $B\left(1;0;0\right)$.

Gọi $\left(Q\right)$ là mặt phẳng chứa d và $d_1$.

Ta có $d\left(d,d^{\text{'}}\right)=d\left(d^{\text{'}},\left(Q\right)\right)=d\left(B,\left(Q\right)\right)$.

Do $d_1$ cố định cho nên $d\left(d,d^{\text{'}}\right)=d\left(B,\left(Q\right)\right)\le d\left(B,d_1\right)$.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\overrightarrow{n_{\left(Q\right)}}=\overrightarrow{BH}$ trong đó H là hình chiếu của B lên $d_1$.

Ta tìm được $H\left(\frac{-2}{3};\frac{2}{3};\frac{1}{3}\right)$ nên $\overrightarrow{BH}=\left(\frac{-5}{3};\frac{2}{3};\frac{1}{3}\right)\Rightarrow \overrightarrow{n_{\left(Q\right)}}=\left(-5;2;1\right)$.

Ta có $\overrightarrow{u_d}=\left[\overrightarrow{n_{\left(P\right)}};\overrightarrow{n_{\left(Q\right)}}\right]=\left(1;7;-9\right)$.

Vậy phương trình của đường thẳng d là $\frac{x}{1}=\frac{y-2}{7}=\frac{z-1}{-9}$.

Chọn A.