87 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 3 Dạng 3: Khoảng cách có đáp án
10 câu hỏi
Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A(1,1,-1) cho trước, nằm trong mặt phẳng P:2x−y−z−2=0 và cách điểm M0;2;1 một khoảng lớn nhất.
x−11=y−1−3=z+1−1.
x−11=y−13=z+11.
x−11=y−13=z+1−1.
x−1−1=y−13=z+1−1.
Ta gọi B là hình chiếu của M lên đường thẳng d khi đó MB≤MA.
Suy ra MBmax=MA nên đường thẳng d đi qua điểm A và vuông góc với MA.
Đồng thời đường thẳng d nằm trong mặt phẳng P nên ta có
ud→=MA→,nP→=1;3;−1
Chọn C.
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2,1,-2), B(5,1,1) và mặt cầu S:x2+y2+z2+6y+12z+9=0. Xét đường thẳng d đi qua A và tiếp xúc với (S) sao cho khoảng cách từ B đến d nhỏ nhất. Phương trình của đường thẳng d là
x=2y=1+tz=−2+2t.
x=2y=1−4tz=−2+t.
x=2+2ty=1−2tz=−2+t.
x=2+ty=1+4tz=−2−t.
Mặt cầu S:x2+y2+z2+6y+12z+9=0 có tâm I0;−3;−6 bán kính R=6.
IA=6=R⇒A∈S, IB=310>R nên B nằm ngoài (S).
Đường thẳng d đi qua A và tiếp xúc với (S) nên d nằm trong mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) tại A.
Mặt phẳng (P) đi qua A và nhận IA→ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là x+2y+2z=0.
Gọi H là hình chiếu của B lên (P) thì tọa độ của H4;−1;−1.
Ta có: dB;d≥dB;P=BH.
Vậy khoảng cách từ B đến d nhỏ nhất khi d đi qua H. Ta có ud→=AH→=2;−2;1.
Suy ra phương trình đường thẳng d là: x=2+2ty=1−2tz=−2+t.
Chọn C.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A1;1;0,B2;1;1,C0;1;2,D1;−1;1. Khoảng cách giữa AB và CD là
13.
3.
6.
32.
Ta có AB→=1;0;1CD→=1;−2;−1⇒AB→,CD→=2;2;−2.
Suy ra dAB,CD=AB→,CD→.AC→AB→,CD→=3.
Chọn B.
Cho phương trình mặt phẳng (P): 2x+y+z-3=0, đường thẳng d':x−11=y2=z1 và điểm A0;2;1. Viết phương trình đường thẳng d đi qua A, nằm trong (P) sao cho khoảng cách d và d' đạt giá trị lớn nhất.
x1=y−27=z−1−9.
x1=y+27=z−19.
x1=y+2−7=z−19.
x1=y+2−7=z−1−9.
Gọi d1 là đường thẳng đi qua A và song song với d'.
Phương trình của d1 là: x=ty=2+2tz=1+t.
Trên đường thẳng d1 lấy điểm B1;0;0.
Gọi Q là mặt phẳng chứa d và d1.
Ta có dd,d'=dd',Q=dB,Q.
Do d1 cố định cho nên dd,d'=dB,Q≤dB,d1.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi nQ→=BH→ trong đó H là hình chiếu của B lên d1.
Ta tìm được H−23;23;13 nên BH→=−53;23;13⇒nQ→=−5;2;1.
Ta có ud→=nP→;nQ→=1;7;−9.
Vậy phương trình của đường thẳng d là x1=y−27=z−1−9.
Chọn A.
Cho phương trình mặt phẳng (P): 2x+y+z-3=0, đường thẳng d':x−11=y2=z1 và điểm A0;2;1. Viết phương trình đường thẳng d đi qua A, nằm trong (P) sao cho khoảng cách d và d' đạt giá trị lớn nhất.
x1=y−27=z−1−9.
x1=y+27=z−19.
x1=y+2−7=z−19.
x1=y+2−7=z−1−9.
Gọi d1 là đường thẳng đi qua A và song song với d'.
Phương trình của d1 là: x=ty=2+2tz=1+t.
Trên đường thẳng d1 lấy điểm B1;0;0.
Gọi Q là mặt phẳng chứa d và d1.
Ta có dd,d'=dd',Q=dB,Q.
Do d1 cố định cho nên dd,d'=dB,Q≤dB,d1.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi nQ→=BH→ trong đó H là hình chiếu của B lên d1.
Ta tìm được H−23;23;13 nên BH→=−53;23;13⇒nQ→=−5;2;1.
Ta có ud→=nP→;nQ→=1;7;−9.
Vậy phương trình của đường thẳng d là x1=y−27=z−1−9.
Chọn A.
Trong không gian Oxyz, cho điểm P(a,b,c). Khoảng cách từ điểm P đến trục tọa độ Oy bằng
a2+c2.
b.
b.
a2+c2.
Chọn A
Trong không gian Oxyz, khoảng cách giữa đường thẳng d:x+1−2=y−22=z+33 và mặt phẳng P:x−2y+2z−5=0 bằng
163.
2.
53.
3.
Chọn A
Trong không gian Oxyz, khoảng cách giữa hai đường thẳng d1:x+73=y−5−1=z−94 và d2:x3=y+4−1=z+184 bằng
30.
20.
25.
15.
Chọn C
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M(-2,-2,1), A(1,2,-3) và đường thẳng d:x+12=y−52=z−1.Tìm vectơ chỉ phương u→ của đường thẳng ∆ qua M, vuông góc với đường thẳng d đồng thời cách điểm A một khoảng nhỏ nhất.
u→2;2;−1.
u→3;4;−4.
u→2;1;6.
u→1;0;2.
Chọn D
Phương trình đường thẳng d đi qua O và vuông góc với Δ:x−12=y+1−1=z2 và cách điểm M(3,1,0) một khoảng nhỏ nhất là
x−17=y14=z10.
x5=y9=z−13.
x9=y5=z−13.
x17=y14=z−10.
Chọn D
