Gọi số tổ có thể chia được là x (x > 1)

Vì số nam nữ được chia đều vào các tổ nên 54 ⋮ x; 45 ⋮ x

Hay x ∈ ƯCLN(54, 45)

Mà: 54 = 2.3³; 45 = 5.3²

Nên ƯCLN(54, 45) = 3² = 9

Vậy có thể chia đội nhiều nhất thành 9 tổ

Khi đó mỗi tổ sẽ có: 6 nam (54 : 9 = 6) và 5 nữ (45 : 9 = 5).

Gọi số sách ngăn A và ngăn B lần lượt là a, b:

Theo đề, ta có: $\left\{\begin{array}{l}a=\frac{2}{3}b\\ a-3=\frac{3}{7}\left(b+3\right)\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a-\frac{2}{3}b=0\\ a-\frac{3}{7}b=\frac{30}{7}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=12\\ b=18\end{array}\right.$

Vậy ngăn A có 12 quyển; ngăn B có 18 quyển.

Tổng số sách của 2 ngăn là: 12 + 18 = 30 (quyển).

Một hình chóp có tất cả 2022 cạnh tức là hình chóp có đáy có: $\frac{2022}{2}=1011$ cạnh.

Tức là đáy có 1011 điểm ở đáy

Kết hợp với 1 đỉnh

Vậy hình chóp có: 1011 + 1 = 1012 (đỉnh).

Giả sử chiều rộng của hình chữ nhật là b (cm, b > 0).

Diện tích của hình chữ nhật là: a = 16. b

Mà theo bài toán a là một số tự nhiên từ 220 đến 228 nên hay . Do đó:

Phép chia 220: 16 = 13 (dư 12)

Phép chia 228: 16 = 14 (dư 4)

Vì nên suy ra b = 14 cm.

Vậy chiều rộng của hình chữ nhật là 14cm.

30 ngày chở hết số hàng:

70.30 = 2100 (hàng)

6 ngày chở hết số hàng:

70.6 = 420 (hàng)

Số hàng còn lại:

2100 – 420 = 1680 (hàng)

Số hàng còn lại chở trong số ngày:

1680 : (70 - 10) = 28 (ngày)

Số xe còn lại phải vận chuyển hết số hàng còn lại trong bao có số ngày:

28 - (30 - 4) = 4 (ngày)

Đáp số: 4 ngày.

Chu vi khu vườn là:

(15 + 8).2 = 46 (m)

Hàng rào dài số mét là:

46 – 2 = 44 (m)

Diện tích hàng rào là:

44.1 = 44 (m²)

Tổng chi phí mua lưới sắt là:

44 . 20000 = 880000 (đồng).

Nửa chu vi của khu vườn hình chữ nhật là:

140 : 2 = 70 (m)

Ta có sơ đồ sau:

Theo sơ đồ, tổng số phần bằng nhau là:

3 + 4 = 7 (phần)

Chiều rộng của khu vườn là:

70 : 7 × 3 = 30 (m)

Chiều dài của khu vườn là:

70 – 30 = 40 (m)

Diện tích của khu vườn là:

30 × 40 = 1200 (m²)

Đáp số: 1200 m².

Diện tích mảnh đất là:

8.6 = 48 (m²)

Diện tích lối đi là:

1.8 = 8 (m²)

Diện tích trồng rau là:

48 – 8 = 40 (m²).

Diện tích mảnh đất được chia là:

14 . 3 = 42 (m²)

Chiều dài mảnh đất nếu chiều rộng là 6m là:

42 : 6 = 7 (m)

Đáp số: 7m.

a) Bạn đó đạt số phần trăm kế hoạch là:

207 : 180 = 1,15 = 115%

b) Bạn đó vượt mức số phần trăm so với kế hoạch là:

115 - 100 = 15 %.

Đáp án đúng là: A

Gọi số bao loại X và số bao loại Y lần lượt là x bao và y bao (x, y ∈ ℕ).

Mỗi bao loại X chứa 2 đơn vị chất dinh dưỡng A, 2 đơn vị chất dinh dưỡng B và 2 đơn vị chất dinh dưỡng C nên x bao loại X chứa 2x đơn vị chất dinh dưỡng A, 2x đơn vị chất dinh dưỡng B và 2x đơn vị chất dinh dưỡng C.

Mỗi bao loại Y chứa 1 đơn vị chất dinh dưỡng A, 9 đơn vị chất dinh dưỡng B và 3 đơn vị chất dinh dưỡng C nên y bao loại Y chứa y đơn vị chất dinh dưỡng A, 9y đơn vị chất dinh dưỡng B và 3y đơn vị chất dinh dưỡng C.

Hỗn hợp thu được chứa tối thiểu 12 đơn vị chất dinh dưỡng A, 36 đơn vị chất dinh dưỡng B và 24 đơn vị chất dinh dưỡng C nên 2x + y ≥ 12; 2x + 9y ≥ 36; 2x + 3y ≥ 24.

Khi đó ta có hệ bất phương trình sau:$\left\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ y\ge 0\\ 2x+y\ge 12\\ 2x+9y\ge 36\\ 2x+3y\ge 24\end{array}\right.$

F(x; y) = 250x + 200y (triệu đồng).

Biểu diễn tập nghiệm của các bất phương trình trên mặt phẳng tọa độ:

• Đường thẳng d₁: x = 0 là đường thẳng trùng với trục Oy.

Chọn điểm I(5; 5) ∉ d₁ và thay vào biểu thức x ta được 5 > 0.

Suy ra miền nghiệm của bất phương trình x ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ d₁ chứa điểm I(5; 5).

• Đường thẳng d₂: y = 0 là đường thẳng trùng với trục Ox.

Chọn điểm I(5; 5) ∉ d₂ và thay vào biểu thức y ta được 5 > 0.

Suy ra miền nghiệm của bất phương trình y ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ d₂ chứa điểm I(5; 5).

• Vẽ đường thẳng d₃: 2x + y = 12 bằng cách vẽ đường thẳng đi qua hai điểm (6; 0) và (5; 2).

Chọn điểm I(5; 5) ∉ d₃ và thay vào biểu thức 2x + y ta được 2 . 5 + 5 = 15 > 12.

Suy ra miền nghiệm của bất phương trình 2x + y ≥ 12 là nửa mặt phẳng bờ d₃ chứa điểm I(5; 5).

• Vẽ đường thẳng d₄: 2x + 9y = 36 bằng cách vẽ đường thẳng đi qua hai điểm (0; 4) và (4,5; 3).

Chọn điểm I(5; 5) ∉ d₄ và thay vào biểu thức 2x + 9y ta được 2 . 5 + 9 . 5 = 55 > 36.

Suy ra miền nghiệm của bất phương trình 2x + 9y ≥ 36 là nửa mặt phẳng bờ d₄ chứa điểm I(5; 5).

• Vẽ đường thẳng d₅: 2x + 3y = 24 bằng cách vẽ đường thẳng đi qua hai điểm (3; 6) và (6; 4).

Chọn điểm I(5; 5) ∉ d₅ và thay vào biểu thức 2x + 3y ta được 2 . 5 + 3 . 5 = 25 > 24.

Suy ra miền nghiệm của bất phương trình 2x + 3y ≥ 24 là nửa mặt phẳng bờ d₅ chứa điểm I(5; 5).

Khi đó miền nghiệm của hệ là miền không bị gạch như hình vẽ dưới đây:

Miền nghiệm của hệ được giới hạn bởi các điểm (0; 12); (3; 6); (9; 2); (18; 0).

Ta có:

F(0; 12) = 250 . 0 + 200 . 12 = 2 400;

F(3; 6) = 250 . 3 + 200 . 6 = 1 950;

F(9; 2) = 250 . 9 + 200 . 2 = 2 650;

F(18; 0) = 250 . 18 + 200 . 0 = 4 500.

Khi đó ta thấy F(x; y) đạt giá trị nhỏ nhất bằng 1 950 tại x = 3; y = 6.

Vậy chi phí nhỏ nhất để mua hai loại thức ăn là 1,95 triệu đồng.

Gọi số tổ chia được nhiều nhất là x (x là số tự nhiên)

Chia 28 học sinh nữ vào x tổ nên 28 chia hết cho x

Chia 24 học sinh nam vào x tổ nên 24 chia hết cho x

Suy ra x là ước chung của 24 và 28

Mà số tổ chia được là lớn nhất nên x = ƯCLN(24, 28)

Ta có: 24 = 2³.3; 28 = 2².7

⇒ ƯCLN(24, 28) = 2² = 4

Suy ra: x ∈ Ư(4) = {1; 2; 4}

Để mỗi tổ có ít học sinh nhất thì x lớn nhất. Nên x = 4.

Vậy có thể chia được nhiều nhất thành 4 tổ.

Khi đó mỗi tổ có 7 học sinh nữ và 6 học sinh nam.

Nửa chu vi của mảnh đất là: 96 : 2 = 48 (m).

Tổng số phần bằng nhau là: 5 + 3 = 8 (phần)

Chiều dài của mảnh đất là: 48 : 8 . 5 = 30 (m).

Chiều rộng của mảnh đất là: 48 – 30 = 18 (m).

Diện tích mảnh đất là: 30 . 18 = 540 (m²).

Diện tích phần đất xây nhà là: $540.\frac{1}{12}=45\left(m^2\right)$(m²).

Đáp số: 45m².

Chiều dài của thửa ruộng là:

250 : (3 + 2) . 3 = 150 (m)

Chiều rộng của thửa ruộng đó là:

250 – 150 = 100 (m)

Diện tích của thửa ruộng đó là:

150.100 = 15000 (m²)

Trên thửa ruộng đó thu hoạch được:

65 . (15000 : 100) = 9750 (kg)

Đáp số: 9750 kg thóc.

a) Sau 1 năm thì người đó nhận được số tiền ở ngân hàng A là:

200.(100% + 7%) = 214 (triệu đồng)

b) Sau 1 năm thì người đó nhận được số tiền ở ngân hàng B là:

200.(100% + 6%) + 3 = 215 (triệu đồng)

Ta có: 215 triệu > 214 triệu 

Suy ra: Người đó nên gửi tiền ở ngân hàng B để có số tiền nhận về nhiều hơn sau một năm.

Sau 6 tháng, người đó được lĩnh số tiền là:

100000000.(1 + 0,4%)⁶ ≈ 102424000 (đồng).

Đổi: 73kg = 0,73 tạ

Cả 2 lần xay số tạ gạo là: 

25 + 20,2 = 45,2 (tạ)

Cả 2 lần thu được số tạ gạo là: 

45,2 . 0,73 = 32,99 (tạ).

Gọi x (kg) là khối lượng sản phẩm A, y (kg) là khối lượng sản phẩm B mà công ty sản xuất.

Hiển nhiên x ≥ 0 và y ≥ 0.

Số nguyên liệu loại I cần dùng để sản xuất ra x kg sản phẩm A là 2x (kg).

Số nguyên liệu loại I cần dùng để sản xuất ra y kg sản phẩm B là y (kg).

Tổng nguyên liệu loại I cần dùng là 2x + y (kg).

Mặt khác, số nguyên liệu dự trữ loại I là 8 kg, nên ta có bất phương trình : 2x + y ≤ 8.

Tương tự,

Số nguyên liệu loại II cần dùng để sản xuất ra x kg sản phẩm A là 4x (kg).

Số nguyên liệu loại II cần dùng để sản xuất ra y kg sản phẩm B là 4y (kg).

Tổng nguyên liệu loại II cần dùng là 4x + 4y (kg).

Số nguyên liệu dự trữ loại II là 24 kg, nên ta có bất phương trình : 4x + 4y ≤ 24, tức là x + y ≤ 6.

Số nguyên liệu loại III cần dùng để sản xuất ra x kg sản phẩm A là x (kg).

Số nguyên liệu loại III cần dùng để sản xuất ra y kg sản phẩm B là 2y (kg).

Tổng nguyên liệu loại III cần dùng là x + 2y (kg).

Số nguyên liệu dự trữ loại III là 8 kg, nên ta có bất phương trình : x + 2y ≤ 8.

Vậy ta có hệ bất phương trình sau :$\left\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ y\ge 0\\ 2x+y\le 8\\ x+y\le 6\\ x+2y\le 8\end{array}\right.$

Biểu diễn miền nghiệm của hệ này trên mặt phẳng tọa độ Oxy ta được hình sau :

Miền nghiệm của hệ là miền tứ giác OABC (bao gồm các cạnh) với các đỉnh O(0 ; 0) ; A (0 ; 4); $B\left(\frac{8}{3};\frac{8}{3}\right)$ ; C(4 ; 0).

Gọi F là số tiền lãi thu được (đơn vị: triệu đồng), ta có:

Tiền lãi thu được từ x kg sản phẩm loại A là: 30x (triệu đồng)

Tiền lãi thu được từ y kg sản phẩm loại B là: 50y (triệu đồng).

Khi đó F = 30x + 50y

Tính giá trị của F tại các đỉnh của tứ giác OABC:

Tại O(0; 0) : F = 30.0 +50.0 = 0;

Tại A(0; 4) : F = 30 . 0 + 50 . 4 = 200;

Công thức của phép tính cộng: a + b = Tổng

Trong đó a và b là số hạng. Giá trị của tổng sẽ bằng kết quả của phép tính a + b

Dạng bài một phép cộng có tổng bằng một số hạng nghĩa là Tổng = a hoặc bằng b.

Một số ví dụ của dạng bài toán này:

2 + 0 = 2

15 + 0 = 15

0 + 20 = 15

0 + 1 = 1

Gọi số cần tìm có dạng $\overline{abcd}\left(a,b,c,d\in \mathbb{N};0\le a,b,c,d\le \mathrm{9,}a\ne 0\right)$

TH1: Trong 4 chữ số a, b, c, d có 3 chữ số bằng 0 ⇒ b = c = d = 0, a = 7

Do đó có 1 số thỏa mãn.

TH2: Trong 4 chữ số a, b, c, d có 2 chữ số bằng 0.

- Chọn vị trí cho 2 chữ số 0 có $C_3^2=3$ cách.

- Tổng hai chữ số còn lại là 7, ta có

7 = 6 + 1 = 5 + 2 = 4 + 3 = 3 + 4 = 2 + 5 = 1 + 6

nên có 6 cách chọn 2 chữ số còn lại.

Do đó trường hợp này có 18 số.

TH3: Trong 4 chữ số a, b, c, d có 1 chữ số bằng 0.

- Chọn vị trí cho 1 chữ số 0 có $C_3^1=3$ cách.

- Tổng 3 chữ số còn lại bằng 7, ta có:

7 = 1 + 1 + 5 = 1 + 2 + 4 = 1 + 3 + 3 = 2 + 2 + 3

 + Với bộ số (1;2;4) có 3! = 6 cách chọn 3 chữ số còn lại.

   + Với 3 bộ số còn lại có: $\frac{3!}{2!}=3$ cách chọn 3 chữ số còn lại.

Do đó trường hợp này có: 3.(6 + 3.3) = 45 số.

TH4: Trong 4 chữ số a, b, c, d  không có chữ số nằm bằng 0.

Ta có: 7 = 1 + 1 + 1 + 4

7 = 1 + 1 + 2 + 3

7 = 1 + 2 + 2 + 2

   + Với bộ số (1; 1; 1; 4), có 4! 3! = 4 cách chọn 4 chữ số a, b, c, d.

   + Với bộ số (1; 1; 2; 3), có 4! 2! = 12 cách chọn 4 chữ số a, b, c, d.

   + Với bộ số (1; 2; 2; 2), có 4! 3! = 4 cách chọn 4 chữ số a, b, c, d.

Do đó trường hợp này có 4 + 12 + 4 = 20 số thỏa mãn.

Vậy có tất cả:  1 + 18 + 45 + 20 = 84 số.

Gọi số cây trồng được là a (cây, a ∈ ℕ^*).

Vì lớp 6A trồng được 45 cây, lớp 6B trồng được 48 cây.

⇒ 45 ⋮ a; 48 ⋮ a

Ta có: 45 = 3² . 5

48 = 2⁴ . 3

ƯCLN (45, 48 ) = 3

a ∈ Ư(3) = {1, 3}

+ Trường hợp mỗi bạn trồng 1 cây:

Lớp 6A có số học sinh tham gia lao động trồng cây là: 45 : 1 = 45 (học sinh).

Lớp 6B có số học sinh tham gia lao động trồng cây là: 48 : 1 = 48 (học sinh).

+ Trường hợp mỗi bạn trồng 3 cây:

Lớp 6A có số học sinh tham gia trồng cây là: 45 : 3 = 15 (học sinh).

Lớp 6B có số học sinh tham gia trồng cây là: 48 : 3 = 16 (học sinh).

Gọi số đó là a

* a chia cho 6 dư 4

⇒ a - 4 chia hết cho 6

⇒ a - 4 + 12 chia hết cho 6

⇒ a + 8 chia hết cho 6

* a chia cho 7 dư 6

⇒ a - 6 chia hết cho 7

⇒ a - 6 + 14 chia hết cho 7

⇒ a + 8 chia hết cho 7

* a chia cho 11 dư 3

⇒ a - 3 chia hết cho 11

⇒ a - 3 + 11 chia hết cho 11

⇒ a + 8 chia hết cho 11

Vậy a + 8 chia hết cho 6;7;11

⇒ a + 8 chia hết cho BCNN(6, 7, 11)

Ta có: 6 = 2.3; 7 = 7; 11 = 11

BCNN(6, 7, 11) = 2.3.7.11 = 462

⇒ a + 8 chia hết cho 462.

Tức là a chia 462 dư 8.

Chiều rộng thửa ruộng hình chữ nhật là:

$75.\frac{3}{5}=45\left(m\right)$

Diện tích thửa ruộng là:

75.45 = 3375 (m²).

Chiều rộng thửa ruộng là:

150 : 5 = 30 (m)

Diện tích thửa ruộng là:

30 . 150 = 4500 (m²)

Số kg thóc thu hoạch được là:

4500 : 10 . 5 = 2250 (kg) = 22,5 tạ.

Chiều rộng thửa ruộng là:

(150 -  62 ) : 2 = 44 (m)

Chiều dài thửa ruộng là:

150 - 44 = 106 (m)

Diện tích thửa ruộng là:

44 . 106 = 4664 (m²)

Số học sinh nữ là: 476 − 43 = 433 học sinh.

Đáp số: 433 học sinh nữ.

Mua $2\frac{1}{2}kg$ đường hết số tiền là:

22000.$2\frac{1}{2}=22000.\frac{5}{2}=55000$ (đồng).

Tổng 5 túi xà phòng và 1m vải hết số tiền là:

64000 + 71000 = 135000 (đồng)

Tổng 1 túi xà phòng và 1m vải hết số tiền là:

135000 : 5 = 27000 (đồng)

Tiền mua 1m vải nhiều hơn tiền mua 1 túi xà phòng là:

71000 – 64000 = 7000 (đồng)

Giá tiền 1 túi xà phòng là:

(27000 − 7000) : 2 = 10000 (đồng)

Giá tiền 1m vải là:

27000 – 10000 = 17000 (đồng)

Vậy giá tiền 1 túi xà phòng: 10000 đồng; giá tiền 1m vải: 17000 đồng.

Với p = 2 ta có 2^p + p² = 12  không là số nguyên tố

Với p = 2 ta có 2^p + p² = 17 là số nguyên tố

Với p > 3 ta có p² + 2^p = (p² – 1) + (2^p + 1 )

Vì p lẽ và p không chia hết cho 3 nên p² – 1 chia hết cho 3 và 2^p + 1 chia hết cho 3. Do đó  2^p + p²  là hợp số

Vậy với p = 3 thì 2^p + p²  là số nguyên tố.

sin2x = 1

⇔  $2x=\frac{\pi }{2}+k2\pi$

⇔ $x=\frac{\pi }{4}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

$si{n}^{6}x+co{s}^{6}x+3sinxcosx-\frac{m}{4}+2=0$

⇔ $1-\frac{3}{4}{\sin }^{2}2x+\frac{3}{2}\sin 2x-\frac{m}{4}+2=0$

⇔ 3sin²2x – 6sin2x – m – 4 = 0

⇔ 3sin²2x – 6sin2x – 4 = m

Đặt t = sin2x (-1 ≤ m ≤ 1)

Khi đó: 3t² – 6t – 4 = m

Xét sự biến thiên hàm số f(t) = 3t² – 6t – 4

f’(t) = 6t – 6

f’(t) = 0 thì 6t – 6 = 0 ⇔ t = 1

Khi đó f (1) = −7 và f (−1) = 5 

Vậy PT có nghiệm khi −7 ≤ m ≤ 5

Kết luận: Có 13 giá trị nguyên của m.

333⁴⁴⁴ = 333^4.111 = (333⁴)¹¹¹

 444³³³ = (444³)¹¹¹

Ta so sánh 333⁴ và 444³

333⁴ = (3.111)⁴ = 3⁴.111⁴ = 81.111⁴

444³ = 111³.4³ = 64.111³

Mà 81.111⁴ > 64.111³ nên 333⁴ > 444³

⇒ (333⁴)¹¹¹ > (444³)¹¹¹

Vậy 333⁴⁴⁴ > 444³³³.

A = (9xy² – 6x²y) : (-3xy) + (6x²y + 2x⁴) : (2x²)

A = 3xy(3y – 2x) : (-3xy) + (3y + x²)

A = 2x – 3y + 3y + x²

A = x² + 2x

A = (x + 1)² – 1

Vì (x + 1)² ≥ 0 với mọi x nên (x + 1)² – 1 ≥ -1 với mọi x

Vậy GTNN của A là -1 khi x = -1.

Do $\left\{\begin{array}{l}\left|\sin x\right|\le 1\\ \left|\cos x\right|\le 1\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{\sin }^{9}x\le {\sin }^{2}x\\ {\cos }^{12}x\le {\cos }^{2}x\end{array}\right.$

Suy ra: y = sin⁹x + cos¹²x ≤ sin²x + cos²x = 1

Vậy y_max = 1 khi $\left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}\sin x=0\\ \cos x=\pm 1\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l}\cos x=0\\ \sin x=\pm 1\end{array}\right.\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=k\pi \\ x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

x⁵ + y² = xy² + 1

⇔ x⁵ – 1 = xy² – y²

⇔ (x – 1)(x⁴ + x³ + x² + x + 1) = y²(x – 1)

⇔ (x - 1)(x⁴ + x³ + x² + x + 1 – y²) = 0

⇔ $\left[\begin{array}{l}x=1\left(1\right)\\ x^4+x^3+x^2+x+1=y^2\left(2\right)\end{array}\right.$

Với (1) ta thu được mọi y ∈ ℤ đều thỏa mãn

Vậy (x; y) = (1; y) (y ∈ ℤ)

Với (2):

Phương trình tương đương: 4y² = 4x⁴ + 4x³ + 4x² + 4x + 4

Dùng phương pháp kẹp ta có: (2x² + x + 2)² ≥ (2y)² ≥ (2x² + x)²

Do đó:

$\left[\begin{array}{l}{\left(2y\right)}^2={\left(2x^2+x+1\right)}^2\\ {\left(2y\right)}^2={\left(2x^2+x+2\right)}^2\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}4\left(x^4+x^3+x^2+x+1\right)={\left(2x^2+x+1\right)}^2\\ 4\left(x^4+x^3+x^2+x+1\right)={\left(2x^2+x+2\right)}^2\end{array}\right.$

⇔$\left[\begin{array}{l}{x}^2-2x+3=0\\ 5x^2=0\end{array}\right.\iff x=0\Rightarrow y=\pm 1$

Vậy ta có cặp (x; y) = (0; 1), (0; -1).

+ Nếu y = 0 thì x² – 5x + 7 = 1

⇔ x² – 5x + 6 = 0

⇔ $\left[\begin{array}{l}x=2\\ x=3\end{array}\right.$

+ Nếu y = 1 thì x² – 5x + 7 = 3

⇔ x² – 5x + 4 = 0

⇔ $\left[\begin{array}{l}x=1\\ x=4\end{array}\right.$

+ Nếu y > 1 thì 3^y = (x – 2)(x – 3) + 1

Suy ra: x ≡ 1 (mod 3)

Hay x = 3k + 1 (k ∈ ℕ)

Thay vào ta có: 9k² – 9k + 3 = 3^y

⇔ 3k² – 3k + 1 = 3^y-1

Nhận thấy 3^y-1 chia hết cho 3 mà 3k² – 3k + 1 ≡ 1 (mod 3)

Nên vô lý

Vậy (x;y) ∈ {(2;0), (3;0), (1;1), (4;1)}.

17²⁰⁰² = 17²⁰⁰⁰.17² = (17⁴)⁵⁰⁰.289 = (…..1). 289 = (…..9)

Vậy chữ số tận cùng của 17²⁰⁰² là 9.

A = 5 – 2x² – 4y² + 4xy – 8x – 12y

A = 5 – [(x² – 4xy + 4y²) + (-6x + 12y) + (x² + 14x + 49) – 49]

A = 5 – [(x – 2y)² – 6(x – 2y) + (x + 7)² – 49]

A = 5 – [(x – 2y + 3)² + (x + 7)²] + 58

A = 63 - [(x – 2y + 3)² + (x + 7)²]

Vì (x – 2y + 3)² + (x + 7)² ≥ 0 với mọi x, y nên 63 - [(x – 2y + 3)² + (x + 7)²] ≤ 63 với mọi x, y.

Hay A ≤ 63

Vậy GTLN của A là 63 khi $\left\{\begin{array}{l}x-2y+3=0\\ x=-7\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=-7\\ y=-2\end{array}\right.$.

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

x³ – 2mx² + (m + 2)x = 0

⇔ x(x² – 2mx + m + 2) = 0

⇔ $\left[\begin{array}{l}x=0\\ x^2-2mx+m+2=0\left(*\right)\end{array}\right.$

Phương trình có 3 nghiệm phân biệt khi (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 0

Suy ra: $\left\{\begin{array}{l}\Delta \text{'}=m^2-m-2>0\\ m+2\ne 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m\ne -2\\ \left[\begin{array}{l}m>2\\ m<-1\end{array}\right.\end{array}\right.$.

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

m(x + 1) – 2 = x³ + 3x² – 4

⇔ x³ + 3x² – mx – m – 2 = 0

⇔ (x + 1)(x² + 2x - m – 2) = 0

⇔ $\left[\begin{array}{l}x=-1\\ x^2+2x-m-2=0\end{array}\right.$

Phương trình có 3 nghiệm phân biệt khi x² + 2x – m – 2 = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác -1.

Suy ra: $\left\{\begin{array}{l}\Delta \text{'}=1+m+2=m+3>0\\ 1-2-m\ne 0\end{array}\right.\iff m>-3$

Vậy m > -3.

Giả sử phương trình có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số nhân, khi đó:

$\left\{\begin{array}{l}{x}_1{x}_3={x_2}^2\\ x{}_1+x_2+x_3=-2\\ x_1{x}_2+x_2{x}_3+x_3{x}_1=m+1\end{array}\right.$

Từ x₁ + x₂ + x₃ = -2 nên x₁ + x₃ = -2 – x₂

Ta có: x₁x₂ + x₂x₃ + x₃x₁ = m + 1

⇔ x₂(-2 – x₂) + x₂² = m + 1

⇔ -2x₂ = m + 1

⇔ $x_2=-\frac{m+1}{2}$

Thay vào phương trình ta có: ${\left(-\frac{m+1}{2}\right)}^3+2.{\left(-\frac{m+1}{2}\right)}^2+\left(m+1\right)\left(-\frac{m+1}{2}\right)+2\left(m+1\right)=0$

Giải phương trình trên ta được: m = -1; m = 3; m = -4.

+ Ngược lại: Với m = -1 thay vào phương trình đã cho ta được:

x³ + 2x² = 0 ⇔ $\left[\begin{array}{l}{x}_2=x_3=0\\ x_1=-2\end{array}\right.$

Ba nghiệm này lập thành cấp số nhân với công bội q = 0 (thỏa mãn)

+ Với m = 3 thay vào phương trình đã cho ta được: x³ + 2x² + 4x + 8 = 0

⇔ x = -2 (loại)

+ Với m = - 4 thay vào phương trình đã cho ta được: x³ + 2x² – 3x - 6 = 0

⇔ $\left[\begin{array}{l}x=\pm \sqrt{3}\\ x=-2\end{array}\right.$ (không thỏa mãn)

Vậy m = -1.

Nếu n = 2k + 1

⇒ 9 +2^2k+1 = 2.4^k + 9 chia 3 dư 2 nên không thể là số chính phương

⇒ n = 2k

Đặt 9 + 2^2k = x²

⇒ (x − 2^k)(x + 2^k) = 1.9 = 3.3

Do 0 < x − 2^k < x + 2^k nên ta có:

$\left\{\begin{array}{l}x-2^k=1\\ x+2^k=9\end{array}\right.\Rightarrow {2.2}^k=8\Rightarrow 2^k=4=2^2\Rightarrow k=2\Rightarrow n=4$

Vậy n = 4.

Đặt 3^x + 171 = y²

Do 171 chia hết cho 3; 3^x chia hết cho 3 ⇒ y chia hết cho 3 

⇒ y² chia hết cho 9

Mà 171 cũng chia hết cho 9 

⇒ 3^x cũng phải chia hết cho 9 

⇒ x là số chẵn.

Đặt x = 2a; y = 3b với a, b nguyên dương

3^2a + 171 = (3b)²

⇔ 3^2a-2 + 19 = b²

⇔ b² - 3^2a-2 = 19

⇔ (b – 3^a-1)(b + 3^a-1) = 19*

Do b + 3^a-1 > b - 3^a-1 với mọi a, b nguyên dương nên b - 3^a-1 = 1; b + 3^a-1 = 19

Suy ra: b = 10; 3^a-1 = 9

Khi đó: x = 6; y = 30.

Vậy (x; y) = (6; 30).

n² + 10n = n.n + 10n = n.(n + 10)

Để n(n + 10) là số nguyên tố ⇒ n + 10 là số nguyên số

Mà nếu n + 10 là số nguyên tố thì n(n+10) không nguyên tố

Suy ra: n = 1

Vậy giá trị duy nhất của n là n = 1.

Ta có: y’ = -3x² – 6x

Xét y’ = 0

⇔ -3x² – 6x = 0

⇔ $\left[\begin{array}{l}x=0\in \left[-1;1\right]\\ x=-2\notin \left[-1;1\right]\end{array}\right.$

f(-1) = m – 2; f(0) = m; f(1) = m – 4

Ta thấy: m – 4 = min{f(-1); f(0); f(1)}

Suy ra: m – 4 = 0 hay m = 4

Vậy m = 4.

y = mx² - (m² + 1)x + 3

Do a = m > 0 (1)

Hàm số đồng biến trên miền $\left(-\frac{b}{2a};+\infty \right)=\left(\frac{m^2+1}{2m};+\infty \right)$

Để hàm số đồng biến trên (1; +∞) điều kiện là (1; +∞) ⊂ $\left(\frac{m^2+1}{2m};+\infty \right)$

Suy ra: $\frac{m^2+1}{2m}\le 1$

⇔ m² + 1 ≤ 2m

⇔ m² – 2m + 1 ≤ 0

⇔ (m – 1)² ≤ 0

⇔ m – 1 ≤ 0

⇔ m ≤ 1 (2)

Từ (1) và (2) ta có: 0 < m ≤ 1

Vậy 0 < m ≤ 1.

Đáp án A.

Hàm số xác định trên ℝ

Suy ra: x² – 2x + m > 0, ∀x ∈ ℝ

⇔ $\left\{\begin{array}{l}\Delta \text{'}<0\\ a>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{1}^2-m<0\\ 1>0\end{array}\right.\iff m>1$.

x³ – 4x = 0

⇔ x(x² – 4) = 0

⇔ x(x – 2)(x + 2) = 0

⇔ $\left[\begin{array}{l}x=0\\ x=2\\ x=-2\end{array}\right.$

Vậy x ∈ {0; 2; -2}.

Tích của hai số nhỏ hơn 0 khi và chỉ khi hai số đó trái dấu

Mà x + 2 > x – 1

Nên x – 1 < 0 và x + 2 > 0

Suy ra: -2 < x < 1.

Vậy -2 < x < 1.

A = 3 + 3² + 3³ + … + 3⁹⁹

3A = 3² + 3³ + 3⁴ … + 3¹⁰⁰

3A – A = (3² + 3³ + 3⁴ … + 3¹⁰⁰) – (3 + 3² + 3³ + … + 3⁹⁹)

2A = 3¹⁰⁰ – 3

$A=\frac{3^{100}-3}{2}$.

Tổng của 10 số chính phương đầu tiên là: $\frac{10\left(10+1\right)\left(2.10+1\right)}{6}=385$.

Tập xác định: D = ℝ

Ta có: y = cos²x – 1 $=\frac{1+\cos 2x}{2}-1=\frac{1}{2}\cos 2x-\frac{1}{2}$

Với mọi x ∈ ℝ thì x + π ∈ ℝ

$f\left(x+\pi \right)=\frac{1}{2}\cos \left(2x+2\pi \right)-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\cos 2x-\frac{1}{2}=f\left(x\right)$

Suy ra hàm số tuần hoàn với chu kì T = π

Vậy hàm số tuần hoàn với chu kì T = π.

x⁶ – 1

= (x³)² – 1²

= (x³ – 1)(x³ + 1)

= (x – 1)(x² + x + 1)(x + 1)(x² – x + 1).

x² + (2m – 8)x + 8m³ = 0 (*)

Để (*) có nghiệm thì ∆' ≥ 0 ⇔ (m – 4)² + 8m³ ≥ 0

Với x₁ và x₂ là các nghiệm của (*), theo định lý Vi-ét và kết hợp với đề bài, có:

$\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=8-2m\left(1\right)\\ x_1{x}_2=-8m^3\left(2\right)\\ x_1={x_2}^2\left(3\right)\end{array}\right.$

Thay (3) vào (2) ta có: x₂³ = -8m³

Suy ra: x₂ = -2m

⇒ x₁ = 4m²

Thay vào (1) ta có: 4m² – 2m = 8 – 2m

⇔ 4m² = 8

⇔ m² = 2

⇔ $m=\pm \sqrt{2}$

Vậy $m=\pm \sqrt{2}$.

Ta có: x² + 3 = x² – 1 + 4 = (x – 1)(x + 1) + 4

Vì (x – 1)(x + 1) chia hết cho x + 1

Nên 4 ⋮ (x + 1) hay x + 1 ∈ Ư(4) = {1; 4; -1; -4; 2; -2}.

Vậy x ∈ {0; 3; -2; -5; 1; -3}.

x² + 4x – 12 = 0

⇔ (x² + 4x + 4) – 16 = 0

⇔ (x + 2)² – 4² = 0

⇔ (x + 2 + 4)(x + 2 – 4) = 0

⇔ (x + 6)(x – 2) = 0

⇔ $\left[\begin{array}{l}x=-6\\ x=2\end{array}\right.$

Vậy x = 2 hoặc x = -6.

x² + 5x + 6 = 0

⇔ x² + 2x + 3x + 6 = 0

⇔ x(x + 2) + 3(x + 2) = 0

⇔ (x + 2)(x + 3) = 0

⇔ $\left[\begin{array}{l}x=-2\\ x=-3\end{array}\right.$

Vậy x = -2 hoặc x = -3.

x² + 5y² – 4xy + 2x – 6y + 3

= (x² + 4y² + 1 – 4xy + 2x – 4y) + (y² – 2y + 1) + 1

= (x – 2y + 1)² + (y – 1)² + 1

Ta thấy (x – 2y + 1)² + (y – 1)² ≥ 0 với mọi x, y

Suy ra: x – 2y + 1)² + (y – 1)² + 1 ≥ 1 > 0 với mọi x, y

Vậy x² + 5y² – 4xy + 2x – 6y + 3 > 0 với mọi x, y.

Vì x và y nguyên không âm nên x ≥ 9

+) Với x = 9 thì ta tìm được y = 0

+) Xét x > 9. Khi đó x chia cho 5 có 5 loại số dư là 0, 1, 2, 3, 4

TH1: x chia hết cho 5 hay x có dạng 5k với k là số tự nhiên.

Ta có: x² + x - 89 = 25k² + 5k - 89

Dễ thấy 25k² + 5k chia hết cho 5 còn 89 không chia hết cho 5 nên vế trái không chia hết cho 5 ⇒ không có cặp (x, y) thỏa mãn

TH2: x chia 5 dư 1 hay x = 5k + 1 (k ∈ ℕ)

Ta có: x² + x - 89 = 25k² + 10k + 1 + 5k + 1 – 89 = 25k² + 15k – 87

Dễ thấy 25k² + 15k chia hết cho 5 còn 87 không chia hết cho 5 nên vế trái không chia hết cho 5 ⇒ không có cặp (x, y) thỏa mãn

TH3: x chia 5 dư 2 hay x = 5k + 2 (k ∈ ℕ)

Ta có: x² + x - 89 = 25k² + 20k + 4 + 5k + 2 – 89 = 25k² + 25k – 83

Dễ thấy 25k² + 25k chia hết cho 5 còn 83 không chia hết cho 5 nên vế trái không chia hết cho 5 ⇒ không có cặp (x, y) thỏa mãn

TH4: x chia 5 dư 3 hay x = 5k + 3 (k ∈ ℕ)

Ta có: x² + x - 89 = 25k² + 30k + 9 + 5k + 3 – 89 = 25k² + 35k – 77

Dễ thấy 25k² + 15k chia hết cho 5 còn 87 không chia hết cho 5 nên vế trái không chia hết cho 5 ⇒ không có cặp (x, y) thỏa mãn

TH2: x chia 5 dư 4 hay x = 5k + 4 (k ∈ ℕ)

Ta có: x² + x - 89 = 25k² + 40k + 16 + 5k + 14 – 89 = 25k² + 45k – 59

Dễ thấy 25k² + 45k chia hết cho 5 còn 59 không chia hết cho 5 nên vế trái không chia hết cho 5 ⇒ không có cặp (x, y) thỏa mãn

Vậy (x;y) = (9;0).

x² + y² + z² = xy + yz + zx

⇔ 2x² + 2y² + 2z² = 2xy + 2yz + 2zx

⇔ (x² – 2xy + y²) + (y² – 2yz + z²) + (z² – 2xz + x²) = 0

⇔ (x – y)² + (y – z)² + (z – x)² = 0 (*)

Vì (x – y)² + (y – z)² + (z – x)² ≥ 0 với mọi x, y, z nên để (*) xảy ra thì (x – y)² = (y – z)² = (z – x)² = 0

Tức là: $\left\{\begin{array}{l}x=y\\ y=z\\ z=x\end{array}\right.\iff x=y=z$.

A = x² + y² + z² – yz – 4x – 3y + 2030

2A = 2x² + 2y² + 2z² – 2yz – 8x – 6y + 4060

2A = 2(x – 2)² + (y – 3)² + (y – z)² + z² + 4043

Vì 2(x – 2)² + (y – 3)² + (y – z)² + z² ≥ 0 với mọi x, y, z

Nên 2(x – 2)² + (y – 3)² + (y – z)² + z² + 4043 ≥ 4043

Suy ra: $A\ge \frac{4043}{2}$

Vậy GTNN của A là $\frac{4043}{2}$

Dấu ‘=” xảy ra khi $\left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=z=3\end{array}\right.$.

a) Phương trình có 2 nghiệm phân biệt ∀ m khi :

Δ > 0 ⇔ [- (3m + 1)]² - 4 (2m² + m - 1) > 0

⇔ Δ = 9m² + 6m + 1 - 8m² - 4m + 4

= m² + 2m + 5

= (m + 1)² + 4 ≥ 4 > 0 ∀m

Vậy (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m

x²(2x – 3) – 12 + 8x = 0

⇔ x²(2x – 3) + 4(2x – 3) = 0

⇔ (2x – 3)(x² + 4) = 0

⇔ 2x – 3 = 0 (vì x² + 4 > 4)

⇔ $x=\frac{3}{2}$

Vậy $x=\frac{3}{2}$.

x²⁰ – 32x¹⁵ = 0

⇔ x²⁰ – 2⁵.x¹⁵ = 0

⇔x¹⁵(x⁵ – 2⁵) = 0

⇔ $\left[\begin{array}{l}{x}^{15}=0\\ x^5-2^5=0\end{array}\right.$

⇔ $\left[\begin{array}{l}x=0\\ x=2\end{array}\right.$

Vậy x = 0 hoặc x = 2.

36 – x² – 25y² + 10xy

= 36 – (x² + 25y² – 10xy)

= 6² – (x – 5y)²

= (6 – x + 5y)(6 + x – 5y).

x² – y² – 4x + 4

= (x² – 4x + 4) – y²

= (x – 2)² – y²

= (x – 2 + y)(x – 2 – y).