60 câu trắc nghiệm: Hệ tọa độ trong không gian có đáp án (P2)

Đáp án A

Đáp án B

Đáp án D

Đáp án A

Đáp án C

Sử dụng phương trình ${\mathrm{x}}^2 + {\mathrm{y}}^2 + {\mathrm{z}}^2$ - 2ax - 2by - 2cz + d = 0 là phương trình của một mặt cầu khi và chỉ khi ${\mathrm{a}}^2 + {\mathrm{b}}^2 + {\mathrm{c}}^2$ - d > 0

+ Phương án A và B không thỏa mãn điều kiện ${\mathrm{a}}^2 + {\mathrm{b}}^2 + {\mathrm{c}}^2$ - d > 0

+ Phương án C: 3${\mathrm{x}}^2 + 3{\mathrm{y}}^2 + 3{\mathrm{z}}^2$ - 6x - 7y - 8z + 1 = 0

Nên đây có là phương trình mặt cầu.

+ Phương án D: ${(\mathrm{x} - 1)}^2 + {(\mathrm{y} - 2)}^2 + {(\mathrm{z} - 3)}^2$ + 10 = 0

⇔ ${(\mathrm{x} - 1)}^2 + {(\mathrm{y} - 2)}^2 + {(\mathrm{z} - 3)}^2$ = -10 nên không là phương trình mặt cầu.

Đáp án B

Đáp án D

Đáp án C

Ta có: .

Suy ra:

* Bán kính của mặt cầu (S) là R = IM = 3

* Phương trình chính tắc của mặt cầu (S) là:

(x - 1)² + (y - 2)² + (z - 4)² = 9

* Phương trình tổng quát của mặt cầu (S) là:

${\mathrm{x}}^2 + {\mathrm{y}}^2 + {\mathrm{z}}^2$ - 2x - 4y - 8z + 12 = 0

* Thay tọa độ điểm O vào phương trình mặt cầu ta thấy không thỏa mãn nên mặt cầu không đi qua gốc tọa độ O.

Đáp án D

Mặt cầu (S) có tâm I(1; 2; 3), bán kính R = 4.

+) Diện tích của mặt cầu (S) là: 

S = $4\pi R^2=4\pi .4^2=64\pi$

+) Thể tích của khối cầu (S) là:

V = $\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}.\pi .4^3=\frac{256}{3}\pi$

+) Phương trình chính tắc của (S) là:

 ${\left(x-1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2+{\left(z-3\right)}^2=16$

+) Phương trình tổng quát của (S) là: 

$x^2+y^2+z^2-2x-4y-6z-2=0$

Đáp án B

Mặt cầu (S’) đối xứng với mặt cầu (S) qua gốc tọa độ nên mặt cầu (S’) có tâm I’(-1;-2; 1) đối xứng với I qua gốc O và có bán kính R’ = R = 3.

Phương trình mặt cầu (S’) là: ${(\mathrm{x} + 1)}^2 + {(\mathrm{y} + 2)}^2 + {(\mathrm{z} - 1)}^2$ = 9

Đáp án C

Đáp án A

Do mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn có bán kính bằng 5 bằng bán kính mặt cầu nên tâm I thuộc mặt phẳng (P).

Thay tọa độ tâm I vào phương trình mặt phẳng (P) ta được:

4.0 - 4.0 + 1+ m= 0 nên m = -1.

Đáp án D

Đáp án D

Phương trình tổng quát của mặt cầu (S) có dạng ${\mathrm{x}}^2 + {\mathrm{y}}^2 + {\mathrm{z}}^2$ - 2ax - 2by - 2cz + d = 0 với ${\mathrm{a}}^2 + {\mathrm{b}}^2 + {\mathrm{c}}^2$ - d > 0

Ta có: O(0; 0; 0) ∈ (S) ⇔ d = 0

A(-4; 0; 0) ∈ (S) ⇔ $(-4){}^2+ 0^2 + 0^2$ - 2a.(-4) - 0 - 0 + 0 = 0 ⇔ a = -2

B(0; 2; 0) ∈ (S) ⇔ $0^2 + 2^2 + 0^2$ - 0 - 2b.2 - 0 + 0 = 0 ⇔ b = 1

C(0; 0; 4) ∈ (S) ⇔ $0^2 + 0^2 + 4^2$ - 0 - 0 - 2c.4 - 0 = 0 ⇔ c = 2

Vậy phương trình tổng quát của mặt cầu (S) là: ${\mathrm{x}}^2 + {\mathrm{y}}^2 + {\mathrm{z}}^2$ + 4x -2y - 4z = 0

Đáp án A

Do đó, hai mặt cầu đã cho ở ngoài nhau.

Đáp án C

Mặt cầu: ${\mathrm{x}}^2 + {\mathrm{y}}^2 + {\mathrm{z}}^2$ + 2x - 2y – 2z – 7 = 0 có tâm I(-1; 1;1) và R = $\sqrt{10}$

Mặt cầu: ${\mathrm{x}}^2 + {\mathrm{y}}^2 + {\mathrm{z}}^2$ + 2x + 2y + 4z + 5= 0 có tâm I’( -1; -1; -2) và R’ = 1

$II\text{'} = \sqrt{{\left(-1-\left(-1\right)\right)}^2+{\left(-1-1\right)}^2+{\left(-2-1\right)}^2}=\sqrt{13}<\sqrt{10}+1=R+R\text{'}$

Do đó, hai mặt cầu này cắt nhau.

Chọn D

Gọi tọa độ điểm M(x;y;z)

là phương trình của mặt cầu (S), có tâm I (-1;-1;-4) và bán kính R = 3

Đáp án C

Gọi M(x; y; z). Ta có:

${\mathrm{AM}}^2 + 2{\mathrm{BM}}^2 = {\mathrm{x}}^2 + {(\mathrm{y} - 2)}^2 + {(\mathrm{z} + 4)}^2 + 2[{(\mathrm{x} + 3)}^2 + {(\mathrm{y} - 5)}^2 + {(\mathrm{z} - 2)}^2]$

= ${\mathrm{x}}^2 + {\mathrm{y}}^2$- 4y + 4+ ${\mathrm{z}}^2$ +8z+ 16 + 2(${\mathrm{x}}^2$+ 6x + 9 + ${\mathrm{y}}^2$ – 10y + 25 + ${\mathrm{z}}^2$ – 4z + 4)

= 3(x² + y² + z² + 4x - 8y) + 96 = 3[(x + 2)² + (y - 4)² + z²] + 36 ≥ 36

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = -2, y = 4, z = 0 → M(-2; 4; 0).

Vậy đáp án đúng là C

Đáp án A

Ba điểm A, M, B nằm trên mặt cầu (S) thỏa mãn điều kiện $\widehat{AMB}$  = 90°

Nên tam giác AMB vuông tại M.

Ta có: 

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi tam giác MAB vuông cân tại M và AB là một đường kính của mặt cầu (S). Vậy đáp án đúng là A.

Đáp án C

Ta có: II' = 6 = R + R'

Ta có: MN $\le$ MI + II' + I'N = R + 6 + R' = 12

Dấu bằng xảy ra khi M, I, I', N theo thứ tự nằm trên một đường thẳng. Do đó M là giao điểm của tia đối của tia II' với mặt cầu (S), N là giao điểm của tia đối của tia I’I với mặt cầu (S’). Vậy đáp án đúng là C.