5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 12)

Cho (O) và điểm I bên ngoài (O). Từ I vẽ một cát tuyến IAB với (O). Tiếp tuyến tại A và B cắt nhau tại M. AB cắt OM tại H.

a) Chứng minh: MA² = MH.MO.

b) Từ M kẻ ME vuông góc OI tại E cắt (O) tại D và AB tại K. Chứng minh: IE.IO = IH.IK.

c) Chứng minh: ID là tiếp tuyến (O).

Từ điểm I nằm ngoài đường tròn (O), vẽ cát tuyến cắt đường tròn tại A và B (IA < IB). Các tiếp tuyến tại A và B cắt nhau tại M. OM cắt AB tại K.

a) Chứng minh K là trung điểm của AB.

b) Vẽ MH ⊥ OI tại H. Chứng minh OB² = OH.OI.

c) Gọi N là giao điểm của AB và MH. Chứng minh IA.IB = IK.IN.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A(0; 3), B(2; –1), C(–1; 5). Phép vị tự tâm A tỉ số k biến B thành C. Khi đó giá trị của k là

Trong hệ tọa độ Oxy, cho ba điểm A(0; –3), B(2; 1), D(5; 5). Tìm tọa độ điểm C để tứ giác ABCD là hình bình hành.

Cho tam giác ABC, trên các đường thẳng BC, AC, AB lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho \(\overrightarrow {MB} = 3\overrightarrow {MC} ;\,\overrightarrow {NA} = 3\overrightarrow {CN} ;\,\overrightarrow {PA} + \overrightarrow {PB} = \vec 0\).

a) \(\overrightarrow {PM} ,\,\overrightarrow {PN} \) theo \(\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {AC} \).

b) Chứng minh M, N, P thẳng hàng.

Cho ba điểm A(1; 1); B(4; 3) và C(6; –2).

a) Chứng minh ba điểm A, B, C không thẳng hàng.

b) Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình thang có AB // CD và CD = 2AB.

Cho A(2; 3), B(–1; –1), C(6; 0).

a) Tìm tọa độ các \(\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {AC} \). Từ đó chứng minh ba điểm A, B, C không thẳng hàng.

b) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.

c) Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành.

d) Tìm tọa độ điểm E thỏa mãn \(\overrightarrow {OE} + 3\overrightarrow {EB} - 3\overrightarrow {EA} = \vec 0\).

Cho đường tròn (O; R), đường kính AB và tiếp tuyến Ax. Từ điểm C thuộc Ax, kẻ tiếp tuyến thứ hai CD với đường tròn (O) (D là tiếp điểm). Gọi giao điểm của CO và AD là I.

a) Chứng minh: CO ⊥ AD.

b) Gọi giao điểm của CB và đường tròn (O) là E (E ≠ B). Chứng minh CE.CB = CI.CO.

c) Chứng minh: Trực tâm H của tam giác CAD di động trên đường cố định khi điểm C di chuyển trên Ax.

Cho đường tròn (O), đường kính AB. Trên tia tiếp tuyến Ax của đường tròn lấy điểm M (M ≠ A), từ M vẽ tiếp tuyến thứ hai MC với đường tròn (O) (C là tiếp điểm). Kẻ CH vuông góc với AB (H ∈ AB). MB cắt đường tròn (O) tại điểm Q (Q ≠ B) và cắt CH tại N. Gọi I là giao điểm của MO và AC.

a) Chứng minh AIQM là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh OM // BC.

c) Chứng minh tỉ số \(\frac{{CH}}{{CN}}\) không đổi khi M di động trên tia Ax (M ≠ A).

Cho hàm số \(y = mx + 1\) (1) (với m là tham số, m ≠ 0).

a) Tìm m để đồ thị hàm số (1) đi qua M(–1; –1). Với m vừa tìm được, vẽ đồ thị hàm số (1) trên mặt phẳng tọa độ Oxy.

b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) song song với đường thẳng (d): y = (m² – 2)x + 2m + 3.

c) Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đồ thị hàm số (1) bằng \(\frac{2}{{\sqrt 5 }}\).

Cho hàm số y = (m – 2)x + 5. Tìm m để khoảng cách từ O đến đường thẳng là 1.

Bỏ ngoặc rồi tính:

a) 25 – (–17) + 24 – 12;

b) 235 – (+135) – 100;

c) (13 + 39) – (13 – 135 + 49);

d) (18 + 29) + (158 – 18 – 29).

Chứng minh 2n³ + 3n² + n chia hết cho 6, với mọi số nguyên n.

Chứng minh rằng với mọi n ∈ ℕ*, ta có 2n³ – 3n² + n chia hết cho 6.

Cho lục giác ABCDEF. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA. Chứng minh rằng hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm.

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Kẻ HD vuông góc với AB và HE vuông góc với AC (D trên AB, E trên AC). Gọi O là giao điểm của AH và DE.

a) Chứng minh AH = DE.

b) Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của BH và HC. Chứng minh tứ giác DEQP là hình thang vuông.

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) có đường cao AH. Kẻ HD vuông góc với AB (D thuộc AB), kẻ HE vuông góc với AC (E thuộc AC).

a) Chứng minh tứ giác ADHE là hình chữ nhật.

b) Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng HC. Gọi K là điểm đối xứng với điểm A qua điểm I. Chứng minh rằng AC // HK.

c) Chứng minh tứ giác DECK là hình thang cân.

d) Gọi O là giao điểm của DE và AH. Gọi M là giao điểm của AI và CO. Chứng minh \(AM = \frac{1}{3}AK\).

Cho tam giác ABC có A’, B’, C’ lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB.

a) Chứng minh \(\overrightarrow {BC'} = \overrightarrow {C'A} = \overrightarrow {A'B'} \).

b) Tìm các vectơ bằng \(\overrightarrow {B'C'} ,\,\overrightarrow {C'A'} \).

Cho tam giác ABC có A’, B’, C’ lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB. Khẳng định nào sau đây là sai?

Cho a, b > 0 thỏa mãn a + b = 1. Chứng minh \({\left( {a + \frac{1}{b}} \right)^2} + {\left( {b + \frac{1}{a}} \right)^2} \ge \frac{{25}}{2}\).

Một bồn nước inox có dạng một hình trụ có chiều cao 1,75 m và diện tích đáy là 0,32 m². Hỏi bồn nước này đựng đầy được bao nhiêu mét khối nước? (Bỏ qua bề dày của bồn nước).

Cho x, y là các số dương thỏa mãn 4xy = x + y + 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(x + y + \frac{1}{{x + y}}\).

Cho x, y là hai số thỏa mãn x, y ≥ 1 và 3(x + y) = 4xy. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = {x^3} + {y^3} - 3\left( {\frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{y^2}}}} \right)\).

Cho biểu thức: \(A = \left( {\frac{1}{{\sqrt x - 2}} - \frac{1}{{\sqrt x + 2}}} \right).{\left( {\frac{{\sqrt x + 2}}{2}} \right)^2}\).

a) Rút gọn biểu thức.

b) Tìm giá trị của x để \(A = \frac{3}{2}\).

Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x + y + z = xyz. Chứng minh \(\frac{{1 + \sqrt {1 + {x^2}} }}{x} + \frac{{1 + \sqrt {1 + {y^2}} }}{y} + \frac{{1 + \sqrt {1 + {z^2}} }}{z} \le xyz\).

Cho 3 số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z + 2 = xyz. Chứng minh rằng \(x + y + z + 6 \ge 2\left( {\sqrt {yz} + \sqrt {zx} + \sqrt {xy} } \right)\).

Giải phương trình: \[1 + \sin x + \cos x = 2\cos \left( {\frac{x}{2} - \frac{\pi }{4}} \right)\]

Một chiếc cổng hình parabol bao gồm một cửa chính hình chữ nhật ở giữa và hai cánh cửa phụ hai bên như hình vẽ. Biết chiều cao cổng parabol là 4 m còn kích thước cửa ở giữa là 3 m x 6 m. Hãy tính khoảng cách giữa hai điểm A và B.

\(\frac{2}{3}\) ngày bằng bao nhiêu giờ?

Đổi: 4 giờ 30 phút = … giờ.

Tính nhanh:

a) 4524 – (864 – 999) – (36 + 3999);

b) 1000 – (137 + 572) + (263 – 291);

c) –329 + (15 – 101) – (25 – 440).

Cho tam giác ABC. I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI; F là điểm trên BC sao cho 5FB = 2FC.

a) Tính \(\overrightarrow {AI} ,\,\overrightarrow {AF} \) theo \(\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {AC} \).

b) G là trọng tâm tam giác. Tính \(\overrightarrow {AG} \) theo \(\overrightarrow {AI} ,\,\overrightarrow {AF} \).

Cho tam giác ABC. Gọi H là điểm đối xứng với B qua G với G là trọng tâm tam giác. Chứng minh:

a) \(\overrightarrow {AH} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} ;\,\overrightarrow {CH} = - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \).

b) \(\overrightarrow {MH} = \frac{1}{6}\overrightarrow {AC} - \frac{5}{6}\overrightarrow {AB} \), với M là trung điểm BC.

Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm AB, CD và O là trung điểm EF. Xác định điểm M sao cho \(\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Công thức tính bài toán sản lượng lớp 5.

Một thửa ruộng hình chữ nhật có chiều dài 80 m và chiều dài bằng \[\frac{5}{4}\] chiều rộng. Người ta mở rộng thửa ruộng đó theo chiều dài thêm 25 m, thửa ruộng thành một hình chữ nhật mới và cấy lúa trên đó. Ước tính cứ 100 m² đạt năng suất 50 kg. Tính sản lượng thóc thu được ở thửa ruộng đó.

Tính \(M = \sqrt {1 - \frac{{\sqrt 3 }}{{2 + \sqrt 3 }}} \).

Tính \(A = \frac{{1 + \frac{{\sqrt 3 }}{2}}}{{1 + \sqrt {1 + \frac{{\sqrt 3 }}{2}} }} + \frac{{1 - \frac{{\sqrt 3 }}{2}}}{{1 - \sqrt {1 - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} }}\).

Trên cùng một hệ trục tọa độ, cho ba đường thẳng (d₁), (d₂) và (d₃) lần lượt là đồ thị của các hàm số y = –2x + 2, \[y = \frac{1}{2}x - 3\], y = mx + n.

a) Vẽ hai đồ thị (d₁) và (d₂) trên cùng một hệ trục tọa độ.

b) Tìm m, n để đường thẳng (d₃) song song với (d₁) và cắt (d₂) tại điểm có tung độ bằng –1.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d₁): y = –x + 2 và (d₂): \(y = \frac{1}{4}x\).

1) Vẽ (d₁) và (d₂) trên cùng hệ trục tọa độ Oxy.

2) Lấy điểm B trên (d₂) có hoành độ bằng –4. Viết phương trình đường thẳng (d₃) song song với (d₁) và qua điểm B.

3) Tìm tọa độ giao điểm của (d₁) và (d₂) bằng phép tính.

Giải bất phương trình: \(\frac{{x - 3}}{{2 - x}} \le 0\).

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của A = 2x² – 8x + 1.

b) Tìm giá trị lớn nhất của B = –5x² – 4x + 1.

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(A = \frac{2}{{6x - 5 - 9{x^2}}}\).

Giải phương trình: 2x² – 8x = –1.

Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính độ dài vectơ \(\vec u = 4\overrightarrow {MA} - 3\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} - 2\overrightarrow {MD} \).

Cho hình vuông ABCD cạnh a. Chứng minh rằng \(\vec u = 4\overrightarrow {MA} - 3\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} - 2\overrightarrow {MD} \) không phụ thuộc vào vị trí điểm M.

Cho tam giác ABC có AB = 2, AC = 3, \(\widehat {BAC} = 60^\circ \). Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC. Điểm D thỏa mãn \(\overrightarrow {AD} = \frac{7}{{12}}\overrightarrow {AC} \).

a) Tính \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \).

b) Biểu diễn \(\overrightarrow {AM} ,\,\overrightarrow {BD} \) theo \(\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {AC} \).

c) Chứng minh AM ⊥ BD.

Cho tam giác ABC có AB = 3, AC = 5, \(\widehat {BAC} = 60^\circ \). Gọi M là điểm thuộc đoạn BC sao cho BM = 2MC. Tính độ dài đoạn AM.

Giải hệ phương trình (bằng phương pháp đặt ẩn phụ):

a) \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{x - 2}} + \frac{1}{{y - 1}} = 2\\\frac{2}{{x - 2}} - \frac{3}{{y - 1}} = 1\end{array} \right.\)

b) \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{3}{{2x - 1}} - \frac{6}{{3 - y}} = - 1\\\frac{1}{{2x - 1}} - \frac{3}{{3 - y}} = 0\end{array} \right.\)

c) \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{4}\\\frac{{10}}{x} + \frac{1}{y} = 1\end{array} \right.\)

d) \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{2}{{2x - y}} + \frac{3}{{x - 2y}} = \frac{1}{2}\\\frac{2}{{2x - y}} - \frac{1}{{x - 2y}} = \frac{1}{{18}}\end{array} \right.\)

Cho hai điểm A(3; –5), B(1; 0).

a) Tìm tọa độ điểm C sao cho \[\overrightarrow {OC} = - 3\overrightarrow {AB} \].

b) Tìm điểm D đối xứng của A qua C.

c) Tìm điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k = –3.

Cho hai điểm A(x₁; y₁; z₁) và B(x₂; y₂; z₂). Tìm tọa độ điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k (tức là \(\overrightarrow {MA} = k\overrightarrow {MB} \)), trong đó k ≠ 1.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho 5 điểm có tọa độ là các số nguyên. Chứng minh rằng có ít nhất một trung điểm của đoạn thẳng tạo thành từ 5 điểm đã cho có tọa độ là các số nguyên (Trong mặt phẳng tọa độ Oxy: Tọa độ trung điểm bằng trung bình cộng các tọa độ tương ứng của hai đầu đoạn thẳng).

Tìm m để đường thẳng y = mx + 3m + 2 và đường thẳng y = 2x – 1 cắt nhau tại 1 điểm có tung độ bằng 2.

Cho hình bình hành ABCD, qua C kẻ đường thẳng song song BD cắt AB ở E, cắt AD ở F.

a) Tứ giác BECD là hình gì? Vì sao?

b) Chứng minh 3 đường thẳng AC, BF, DE đồng quy (cùng đi qua 1 điểm).

Cho tam giác ABC, I là giao điểm của 3 đường phân giác. Đường thẳng qua I vuông góc với CI cắt AC và BC theo thứ tự tại M và N. Chứng minh rằng:

a) .

b) \(\frac{{AM}}{{BN}} = {\left( {\frac{{AI}}{{BI}}} \right)^2}\).

Cho tam giác ABC, I là giao điểm của 3 đường phân giác, đường thẳng vuông góc với CI tại I cắt AC và BC tại M và N.

a) Chứng minh AM.BI = AI.IM.

b) Chứng minh BN.AI = BI.NI.

c) Chứng minh \(\frac{{AM}}{{BN}} = {\left( {\frac{{AI}}{{BI}}} \right)^2}\).

Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD, AD, BC. Chứng minh: \(\overrightarrow {MP} = \overrightarrow {QN} \) và \(\overrightarrow {MQ} = \overrightarrow {PN} \).

Cho hàm số y = f(x). Đồ thị của hàm số y = f’(x) như hình bên.

Hàm số g(x) = f(x²) có bao nhiêu điểm cực trị?

1) Tìm hệ số của x¹².y¹³ trong khai triển (2x + 3y)²⁵.

2) Tìm hệ số của x¹².y¹³ trong khai triển (x – y)²⁵.

3) Viết số hạng thứ 9 của khai triển \({\left( {2x - \frac{1}{y}} \right)^{13}}\).

Phân tích đa thức thành nhân tử: 9x² – 6xy + y² – 81.

Cho hàm số bậc nhất y = (m + 3)x + n (d).

Tìm các giá trị của m, n để đường thẳng (d):

a) Đi qua điểm A(1; –3) và B(–2; 3).

b) Cắt đường thẳng 3y – x – 4 = 0.

c) Song song với đường thẳng 2x + 5y = –1.

d) Trùng với đường thẳng y – 3x – 7 = 0.

Cho hàm số bậc nhất y = (1 – 3m)x + m + 3. Đồ thị của hàm số là đường thẳng đi qua gốc tọa độ khi m bằng bao nhiêu?

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, SA = SB = SD = a, \[\widehat {BAD} = 60^\circ \]. Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (SCD) bằng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD cạnh a, có \(\widehat {BAD} = 60^\circ \) và \(SA = SB = SD = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

a) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABCD) và độ dài cạnh SC.

b) Chứng minh mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (ABCD).

c) Chứng minh SB vuông góc với BC.

d) Gọi φ là góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD). Tính tanφ.

Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB và O là 1 điểm tùy ý.

a) Chứng minh rằng: \(\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BN} + \overrightarrow {CP} = \vec 0\).

b) Chứng minh rằng \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OM} + \overrightarrow {ON} + \overrightarrow {OP} \).

Cho tam giác ABC, với M, N, P lần lượt là trung điểm BC, CA, AB. Khẳng định nào sau đây sai?

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử 5x(x – 1) – 3x²(1 – x);

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử x² – y² – 5x + 5y;

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử 3x² – 6xy + 3y² – 12z²;

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử 4x² – y² + 4x + 1;

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử x⁵ – 3x⁴ + 3x³ – x²;

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử –x² – y² + 2xy + 36;

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử x³ – x² – 5x + 125;

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử6x² – 5x + 1;

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử x² – 2x – 9y² + 6y;

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử (x² + 1)² – 4x²;

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử x² + 2x – 15;

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử x² – 4xy + 4y² – z² + 4zt – 4t²;

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử x³ – x + 3x²y + 3xy² – y + y³.