48 câu Trắc nghiệm Nguyên hàm có đáp án (P2) (Vận dụng- Vận dụng cao)
10 câu hỏi
Cho hàm số f(x) liên tục trên R. Biết x2+2x−3 là một nguyên hàm của hàm số f(x).5x2. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f'(x).5x2 là
2+x+1ln5+C
−ln5+C
2x−x22+xln5+C
2x+x22+xln5+C
Đáp án C
x2+2x−3 là một nguyên hàm của hàm số f(x).5x2
⇒x2+2x−3'=fx.5x2⇔2x+2=fx.5x2⇔fx=2x+25x2
⇒f'x=2x+25x2'=2.5x2−2x+212.5x2.ln55x22=2−x+1ln55x2⇒f'x.5x2=2−x+1ln5
⇒∫f'x.5x2dx=∫2−x+1ln5dx=2x−x22+xln5+C.
Cho hàm số thỏa mãn f'xsin x = fxcosx + 2sin2x.co s3x ; ∀x ∈ 0 ; π ; fπ4 = 13. Tìm ∫fxdx
112(sin 2x − sin 4x) + C
112(2sin 2x + sin 4x) + C
112(sin 4x − 2sin 2x) + C
112(2sin 2x − sin 4x) + C
Đáp án D
Tacó:
f'xsin x = fx cosx + 2sin2x.cos3x ; ∀x ∈ 0 ; π
⇔ f'xsin x −fxcosx sin2x= 2cos3x
⇒fxsinx' = 2cos3x⇒ fxsinx = ∫2co s3x dx
⇒fxsinx = 23sin3x + C1
fπ4 = 13 ⇒ C1 = 0 ⇒ fx = 23 sin x.sin3x
⇒∫fxdx = ∫23 sin x.sin3x dx = 13 ∫co s2x − cos4xdx
= 112(2sin 2x − sin 4x) + C
Cho hàm số f(x) liên tục trên R . Biết x+sinx là một nguyên hàm của hàm số fx.ex , họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f'(x)ex là
cosx−sinx+x+C
−cosx+sinx+x+C
cosx−sinx−x+C
−cosx−sinx−x+C
Đáp án C
Ta có ∫fxexdx=x+sinx+C⇒fx.ex=1+cosx1
Lấy đạo hàm hai vế của ta được
f'x.ex+fx.ex=−sinx⇔f'x.ex=−sinx−cosx−1
Vậy ta có ∫f'x.exdx=−∫sinx+cosx+1dx=cosx−sinx−x+C
Cho hàm số f(x) có đạo hàm f'x=ex khi x≥0e−x khi x<0 và f4=e . Đặt S=f−ln3+fln3+f−ln2+fln2+200 . Mệnh đề nào sau đây đúng?
0<S<1
−3<S<−2
−2<S<−1
−4<S<−3
Đáp án A
Ta có: fx=ex+C1 khi x≥0−e−x+C2 khi x<0 với C1 và C2 là các hằng số thực.
f4=e⇒C1=e−e4
limx→0+fx=1+e−e4
limx→0−fx=−1+C2
Do hàm số có đạo hàm ∀x∈ℝ⇒ Hàm số liên tục trên ℝ.
⇒−1+C2=1+e−e4=f0⇒C2=2+e−e4
Vậy fx=ex+e−e4 khi x≥0−e−x+2+e−e4 khi x<0
S=f−ln3+fln3+f−ln2+fln2+200=496+4e−4e4+200≈0,6
Tìm nguyên hàm I=∫x2002x+22005 dx
14 . xx+22003−14 . xx+22004+C
18012 . xx+22003+18016 . xx+22004+C
18008 . xx+22002−18012 . xx+22003+C
18012 . xx+22003−18016 . xx+22004+C
Đáp án D
I=∫x2002x+22005 dx=∫xx+22002. 1x+2 . 1x+22 dx
Đặt t=xx+2⇒dt=2.dxx+22
I=∫t2002 . 1−t2 . dt2=14∫t2002−t2003 . dt=18012 . t2003−18016 . t2004+C
⇒I=18012 . xx+22003−18016 . xx+22004+C
Cho hàm số f(x) liên tục trên R thỏa mãn điều kiện f0=22, fx>0, ∀x∈ℝ và fx.f'x=2x+11+f2x, ∀x∈ℝ . Tính giá trị f1 .
15
26
23
26
Đáp án B
Ta có fx.f'x=2x+11+f2x, ∀x∈ℝ
⇔fx.f'x1+f2x=2x+1
⇔∫fx.f'x1+f2xdx=∫2x+1dx
⇔1+f2x=x2+x+C
Vì f0=22 nên C=3 .
⇒fx=x2+x+32−1⇒f1=26
Cho hàm số f(x) có f2=−2 và f'x=x6−x2,∀x∈−6;6
Khi đó ∫03fxdx bằng
−3π4
3π+64
π+24
−3π+64
Đáp án D
Ta có fx=∫f'xdx=∫x6−x2dx=−12∫d6−x26−x2=−6−x2+C
f2=−2 ⇒C=0 ⇒fx=−6−x2
∫03fxdx=∫03−6−x2dx=−3π+64
Tính ∫xlnx+1x+12 dx .
∫xlnx+1x+12 dx=−xlnx+1x+1+x22+C
∫xlnx+1x+12 dx=−xlnx+1x+1+lnx+1+1x+1+C
∫xlnx+1x+12 dx=xlnx+1x+1−12ln2x+1−lnx+1−1x+1+C
∫xlnx+1x+12 dx=−xlnx+1x+1+12ln2x+1+lnx+1+1x+1+C
Đáp án D
Đặt u=x.lnx+1dv=1x+12dx⇒du=lnx+1+xx+1dxv=−1x+1
Ta được:
∫xlnx+1x+12 dx=−xlnx+1x+1+∫lnx+1x+1+xx+12 dx
=−xlnx+1x+1+∫lnx+1x+1+x+1−1x+12 dx
=−xlnx+1x+1+∫lnx+1x+1+1x+1−1x+12 dx
=−xlnx+1x+1+12ln2x+1+lnx+1+1x+1+C
Gọi F(x) là một nguyên hàm trên R của hàm fx=x2eαx α≠0 sao cho F1α=F0+1 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
1<α<2
α<−2
α≥3
0<α≤1
Đáp án D
Ta có Fx=∫x2eαxdx=1α∫x2deαx=1αx2eαx−∫eαx2xdx
=1αx2eαx−2α∫xdeαx=1αx2eαx−2αxeαx−∫eαxdx
=1αx2eαx−2αxeαx+2α2eαx+C
F1α=1α1α2e−2α2e+2α2e+C=1α3e+C
F0=1α.2α2+C
Theo giả thiết F1α−F0=e−2α3=1⇒α3=e−2⇒α=e−23⇒0<α≤1
Cho hàm số f(x) có đạo hàm và liên tục trên R, thỏa mãn f'(x)+xf(x)=2xe−x2 và f(0)=−2. Tính f(1)
f(1)=e
f(1)=1e
f(1)=2e
f(1)=−2e
Đáp án D
Ta có f'(x)+xf(x)=2xe−x2⇔f'(x).ex22+x.ex22.f(x)=2xe−x22
⇔f(x).ex22'=2xe−x22⇒f(x).ex22=−2∫e−x22d(−x22)
⇒f(x).ex22=−2e−x22+C
Mà f(0)=−2⇒C=0
⇒e12f(1)=−2e−12⇒f(1)=−2e
