102 câu Trắc nghiệm Toán 12 Bài tập nguyên hàm có đáp án (Mới nhất)

Ta có : $T=\int \frac{dx}{\sqrt[n]{{\left(x^n+1\right)}^{n+1}}}=\int \frac{dx}{x^{n+1}.\sqrt[n]{{\left(\frac{1}{x^n}+1\right)}^{n+1}}}=\int \frac{x^{-n-1}}{{\left(\frac{1}{x^n}+1\right)}^{1+\frac{1}{n}}}dx=\int x^{-n-1}{\left(\frac{1}{x^n}+1\right)}^{-1-\frac{1}{n}}dx$

Đặt : $t=\frac{1}{x^n}+1\Rightarrow dt=-\frac{n}{x^{n+1}}=-n{x}^{-n-1}$

$\Rightarrow T=-\frac{1}{n}\int t^{-1-\frac{1}{n}}dt=t^{\frac{-1}{n}}+C={\left(\frac{1}{x^n}+1\right)}^{\frac{-1}{n}}+C$

Vậy đáp án đúng là đáp án A.

Đặt $x=2\cos 2t$ với $t\in \left(0;\frac{\pi }{2}\right)$

Ta có : $\left\{\begin{array}{l}dx=-4\sin 2t.dt\\ \sqrt{\frac{2-x}{2+x}}=\sqrt{\frac{2-2\sin 2t}{2+2\cos 2t}}=\sqrt{\frac{4{\sin }^{2}t}{4{\cos }^{2}t}}=\frac{\sin t}{\cos t}\end{array}\right.$

$\begin{array}{l}\Rightarrow R=-\int \frac{1}{4{\cos }^{2}2t}.\frac{\sin t}{\cos t}.4\sin 2t.dt=-\int \frac{2{\sin }^{2}t}{{\cos }^{2}2t}dt=-\int \frac{1-\cos 2t}{{\cos }^{2}2t}dt\\ \iff R=-\int \frac{1}{{\cos }^{2}2t}dt+\int \frac{1}{\cos 2t}dt=-\frac{\tan 2t}{2}+\frac{1}{4}\ln \left|\frac{1+\sin 2t}{1-\sin 2t}\right|+C\end{array}$

Vậy đáp án đúng là đáp án A .

Lưu ý :  ta luôn có điều sau ${\left[e^{x}f\left(x\right)\right]}^{\text{'}}=e^x.f\left(x\right)+e^x.f^{\text{'}}\left(x\right)+C=e^x\left[f\left(x\right)+f^{\text{'}}\left(x\right)\right]+C$

Hướng dẫn:

$\begin{array}{l}F=\int e^x\left[\left(x^n+n.x^{n-1}\right)-n\left(x^{n-1}+\left(n-1\right)x^{n-2}\right)+n\left(n-1\right)\left(x^{n-2}+\left(n-2\right)x^{n-3}\right)+\mathrm{...}+n!{\left(-1\right)}^{n-1}\left(x+1\right)+n!{\left(-1\right)}^n\right]dx\\ \iff F=e^x\left[x^n-n{x}^{n-1}+n\left(n-1\right)x^{n-2}+\mathrm{...}+n!{\left(-1\right)}^{n-1}x+n!{\left(-1\right)}^n\right]\end{array}$

Vậy đáp án đúng là đáp án B.

Hướng dẫn:

Ta có :

$\begin{array}{l}G=\int \frac{2x^2+\left(1+2\ln x\right).x+{\ln }^{2}x}{{\left(x^2+x\ln x\right)}^2}dx=\int \frac{\left[x^2+2x\ln x+{\ln }^{2}x\right]+x+x^2}{x^2{\left(x+\ln x\right)}^2}dx=\int \frac{{\left(x+\ln x\right)}^2+x\left(x+1\right)}{x^2{\left(x+\ln x\right)}^2}dx\\ \iff G=\int \left(\frac{1}{x^2}+\frac{x+1}{x{\left(x+\ln x\right)}^2}\right)dx=-\frac{1}{x}+\int \frac{x+1}{x{\left(x+\ln x\right)}^2}dx=\frac{-1}{x}+J\left(J=\int \frac{x+1}{x{\left(x+\ln x\right)}^2}dx\right)\end{array}$

Xét nguyên hàm : $J=\int \frac{x+1}{x{\left(x+\ln x\right)}^2}dx$

 + Đặt : $t=x+\ln x\Rightarrow dt=1+\frac{1}{x}=\frac{x+1}{x}$

$\Rightarrow J=\int \frac{1}{t^2}dt=\frac{-1}{t}+C=\frac{-1}{x+\ln x}+C$

Do đó : $G=\frac{-1}{x}+J=\frac{-1}{x}-\frac{1}{x+\ln x}+C$

Vậy đáp án đúng là đáp án A .

Hướng dẫn:

Ta có : $K=\int \frac{{\left(7x-1\right)}^{2017}}{{\left(2x+1\right)}^{2019}}dx=\int {\left(\frac{7x-1}{2x+1}\right)}^{2017}.\frac{1}{{\left(2x+1\right)}^2}dx$

Đặt $t=\frac{7x-1}{2x+1}\Rightarrow dt=\frac{9}{{\left(2x+1\right)}^2}dx\iff \frac{dt}{9}=\frac{1}{{\left(98x+1\right)}^2}dx$

$\Rightarrow K=\frac{1}{9}\int t^{2017}dt=\frac{t^{2018}}{18162}+C=\frac{1}{18162}.{\left(\frac{7x-1}{2x+1}\right)}^{2018}+C$

Vậy đáp án cần chọn là đáp án D.

Hướng dẫn:

Đặt $\left\{\begin{array}{l}u=\ln x\\ dv=\frac{1}{{\left(x+1\right)}^2}dx\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}du=\frac{1}{x}dx\\ v=\frac{-1}{x+1}\end{array}\right.$

$\begin{array}{l}\Rightarrow S=\frac{-\ln x}{x+1}+\int \frac{1}{x\left(x+1\right)}dx=\frac{-\ln x}{x+1}+\int \left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\right)dx=\frac{-\mathrm{lnx}}{x+1}++\int \frac{1}{x}dx-\int \frac{dx}{x+1}A\\ \iff S=\frac{-\ln x}{x+1}+\left(\ln \left|x\right|-\ln \left|x+1\right|\right)+C=\frac{-\ln x}{x+1}+\ln \left|\frac{x}{x+1}\right|+C\end{array}$ .

Vậy đáp án đúng là đáp án A.

Hướng dẫn:

Ta có : $L=\int \frac{1-\ln x}{x^{1-n}.\ln x.\left(x^n+{\ln }^{n}x\right)}dx=\int \frac{1-\ln x}{x^2}.\frac{1}{x^{-n-1}.\ln x.\left(x^n+{\ln }^{n}x\right)}dx=\int \frac{1-\ln x}{x^2}.\frac{1}{\frac{\ln x}{x}\left(1+\frac{{\ln }^{n}x}{x^n}\right)}dx$

Đặt : $t=\frac{\ln x}{x}\Rightarrow dt=\frac{1-\ln x}{x^2}dx$

$\Rightarrow L=\int \frac{dt}{t\left(t^n+1\right)}=\int \frac{t^{n-1}dt}{t^n\left(t^n+1\right)}$

+ Đặt $u=t^n+1\Rightarrow du=n.t^{n-1}dt$

$\begin{array}{l}\Rightarrow L=\frac{1}{n}\int \frac{du}{u\left(u-1\right)}=\frac{1}{n}\int \left(\frac{1}{u-1}-\frac{1}{u}\right)du=\frac{1}{n}.\left[\ln \left|u-1\right|-\ln \left|u\right|\right]+C=\frac{1}{n}.\ln \left|\frac{u-1}{u}\right|+C\\ \iff L=\frac{1}{n}.\ln \left|\frac{t^n}{t^n+1}\right|+C=\frac{1}{n}.\ln \left|\frac{\frac{{\ln }^{n}x}{x^n}}{\frac{{\ln }^{n}x}{x^n}+1}\right|+C=\frac{1}{n}.\ln \left|\frac{{\ln }^{n}x}{{\ln }^{n}x+x^n}\right|+C\end{array}$

Vậy đáp án đúng là đáp án A.

Phân tích:

Ta có:

$\int \left(x^3-x^2+2\sqrt{x}\right)dx=\frac{1}{4}{x}^4-\frac{1}{3}{x}^3+\frac{4}{3}\sqrt{x^3}+C$.

Đáp án đúng là A.

Phân tích:

Ta có:

$\int \left(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{2}{\sqrt[3]{x}}+3\right)dx=\int \left(x^{-\frac{1}{2}}+2x^{-\frac{1}{3}}+3\right)dx=2x^{\frac{1}{2}}+3x^{\frac{2}{3}}+3x+C=2\sqrt{x}+3\sqrt[3]{x^2}+3x+C$.

Đáp án đúng là A.

Phân tích:

Ta có:

$\int \frac{1}{x^2-7x+6}dx=\int \frac{1}{\left(x-1\right)\left(x-6\right)}dx=\frac{1}{5}\int \left(\frac{1}{x-6}-\frac{1}{x-1}\right)dx=\frac{1}{5}\left(\ln \left|x-6\right|-\ln \left|x-1\right|\right)+C=\frac{1}{5}\ln \left|\frac{x-6}{x-1}\right|+C$.

Đáp án đúng là B.

Phân tích:

Ta có:

$\int \frac{2x^3-6x^2+4x+1}{x^2-3x+2}dx=\int \left(2x+\frac{1}{x^2-3x+2}\right)dx=\int \left(2x+\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x-1}\right)dx=x^2+\ln \left|\frac{x-2}{x-1}\right|+C$

Đáp án đúng là D.

Phân tích:

Ta có:

$\int \frac{3x+3}{-x^2-x+2}dx=\int \frac{3x+3}{\left(1-x\right)\left(x+2\right)}dx=$$\int \left(\frac{2}{1-x}-\frac{1}{x+2}\right)dx=-2\ln \left|x-1\right|-\ln \left|x+2\right|+C$.

Đáp án đúng là B.