40 câu Trắc nghiệm Toán 12 Bài 3: Giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của hàm số có đáp án (Mới nhất)

Đạo hàm  $f\text{'}\left(x\right)=3x^2-4x-4\stackrel{}{\to }f\text{'}\left(x\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}x=2\in \left[1;3\right]\\ x=-\frac{2}{3}\notin \left[1;3\right]\end{array}\right..$

Ta có  $\left\{\begin{array}{l}f\left(1\right)=-4\\ f\left(2\right)=-7\\ f\left(3\right)=-2\end{array}\right.\stackrel{}{\to }\underset{\left[1;3\right]}{\max }f\left(x\right)=-2.$ Chọn B.

Đạo hàm  $f\text{'}\left(x\right)=6x^2+6x-12\stackrel{}{\to }f\text{'}\left(x\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}x=1\in \left[-1;2\right]\\ x=-2\notin \left[-1;2\right]\end{array}\right..$

Ta có  $\left\{\begin{array}{l}f\left(-1\right)=15\\ f\left(1\right)=-5\\ f\left(2\right)=6\end{array}\right.\stackrel{}{\to }\underset{\left[-1;2\right]}{\max }f\left(x\right)=15.$ Chọn C.

Đạo hàm  $f\text{'}\left(x\right)=6x^2+6x\stackrel{}{\to }f\text{'}\left(x\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\notin \left[-2;-\frac{1}{2}\right]\\ x=-1\in \left[-2;-\frac{1}{2}\right]\end{array}\right..$

Ta có   $\left\{\begin{array}{l}f\left(-2\right)=-5\\ f\left(-1\right)=0\\ f\left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{2}\end{array}\right.\stackrel{}{\to }\left\{\begin{array}{l}m=\underset{\left[-2;-\frac{1}{2}\right]}{\min }f\left(x\right)=-5\\ M=\underset{\left[-2;-\frac{1}{2}\right]}{\max }f\left(x\right)=0\end{array}\right.\stackrel{}{\to }P=M-m=5.$ Chọn D.

Đạo hàm  $f\text{'}\left(x\right)=3x^2-6x-9\stackrel{}{\to }f\text{'}\left(x\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}x=-1\notin \left[0;4\right]\\ x=3\in \left[0;4\right]\end{array}\right..$

Ta có  $\left\{\begin{array}{l}f\left(0\right)=28\\ f\left(3\right)=1\\ f\left(4\right)=8\end{array}\right.\stackrel{}{\to }\underset{\left[0;4\right]}{\min }f\left(x\right)=1$ khi  $x=3=x_0\stackrel{}{\to }P=2021.$ Chọn C.

Đạo hàm  $f\text{'}\left(x\right)=-4x^2-4x-1=-{\left(2x+1\right)}^2\le 0,\forall x\in ℝ.$

Suy ra hàm số  $f\left(x\right)$ nghịch biến trên đoạn  $\left[-1;1\right]$ nên có giá trị nhỏ nhất tại x=1 và giá trị lớn nhất tại x=-1. Chọn B.

Đạo hàm  $f\text{'}\left(x\right)=4x^3-4x\stackrel{}{\to }f\text{'}\left(x\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\in \left[-2;2\right]\\ x=1\in \left[-2;2\right]\\ x=-1\in \left[-2;2\right]\end{array}\right..$

Ta có  $\left\{\begin{array}{l}f\left(-2\right)=f\left(2\right)=13\\ f\left(-1\right)=f\left(1\right)=4\\ f\left(0\right)=5\end{array}\right.\stackrel{}{\to }\underset{\left[-2;2\right]}{\max }f\left(x\right)=13.$ Chọn B.

Đạo hàm  $f\text{'}\left(x\right)=-8x^3+8x\stackrel{}{\to }f\text{'}\left(x\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\in \left[0;2\right]\\ x=1\in \left[0;2\right]\\ x=-1\notin \left[0;2\right]\end{array}\right..$

Ta có  $\left\{\begin{array}{l}f\left(0\right)=10\\ f\left(1\right)=12\\ f\left(2\right)=-6\end{array}\right.\stackrel{}{\to }M=\underset{\left[0;2\right]}{\max }f\left(x\right)=12;m=\underset{\left[0;2\right]}{\min }f\left(x\right)=-6.$ Chọn B.

 X          f(X)

Đạo hàm  $f\text{'}\left(x\right)=1-\frac{9}{x^2}=\frac{x^2-9}{x^2}\to f\text{'}\left(x\right)=0\iff x^2-9=0\iff \left[\begin{array}{l}x=3\in \left[2;4\right]\\ x=-3\notin \left[2;4\right]\end{array}\right..$

Ta có  $\left\{\begin{array}{l}f\left(2\right)=\frac{13}{2}\\ f\left(3\right)=6\\ f\left(4\right)=\frac{25}{4}\end{array}\right.\stackrel{}{\to }\underset{\left[2;4\right]}{\min }f\left(x\right)=6;\underset{\left[2;4\right]}{\max }f\left(x\right)=\frac{13}{2}$

 $\stackrel{}{\to }\left[a;b\right]=\left[6;\frac{13}{2}\right]\stackrel{}{\to }P=b-a=\frac{13}{2}-6=\frac{1}{2}.$ Chọn D.

Đạo hàm  $f\text{'}\left(x\right)=\frac{2x^2+4x}{{\left(x+1\right)}^2}$. Ta có  $\left\{\begin{array}{l}f\text{'}\left(x\right)\ge 0,\forall x\in \left[0;1\right]\\ f\text{'}\left(x\right)=0\iff x=0\end{array}\right.$.

Suy ra hàm số  $f\left(x\right)$ đồng biến trên đoạn  $\left[0;1\right]$.

Vậy  $\left\{\begin{array}{l}M=\underset{\left[0;1\right]}{\max }f\left(x\right)=f\left(1\right)=2\\ m=\underset{\left[0;1\right]}{\min }f\left(x\right)=f\left(0\right)=1\end{array}\right..$ Chọn B.

Đạo hàm  $f\text{'}\left(x\right)=\frac{-8}{{\left(x-3\right)}^2}$. Ta có  $f\text{'}\left(x\right)<0,\forall x\in \left(0;2\right)$.

Suy ra hàm số  $f\left(x\right)$ nghịch biến trên đoạn  $\left[0;2\right]$.

Vậy  $\left\{\begin{array}{l}M=\underset{\left[0;2\right]}{\max }f\left(x\right)=f\left(0\right)=\frac{1}{3}\\ m=\underset{\left[0;2\right]}{\min }f\left(x\right)=f\left(2\right)=-5\end{array}\right..$ Chọn C.

Đạo hàm  $f\text{'}\left(x\right)=2x-\frac{2}{x^2}=\frac{2\left(x^3-1\right)}{x^2}>0,\forall x\in \left(3;5\right)$.

Suy ra hàm số đồng biến trên  $\left[3;5\right]$ nên  $\underset{\left[3;5\right]}{\min }f\left(x\right)=f\left(3\right)=\frac{29}{3};\underset{\left[3;5\right]}{\max }f\left(x\right)=f\left(5\right)=\frac{127}{5}$.

Vậy tập giá trị của hàm số là đoạn  $\left[\frac{29}{3};\frac{127}{5}\right].$ Chọn C.

Vì  $0\in \left[-1;2\right]$ và  $\left\{\begin{array}{l}\underset{x\to 0^{-}}{\lim }y=+\infty \\ \underset{x\to 0^{+}}{\lim }y=-\infty \end{array}\right.$ nên hàm số không có giá trị lớn nhất và không có giá trị nhỏ nhất. Chọn D.

Nhận thấy hàm số  $y=\frac{x-1}{x+1}$ không xác định tại  $x=-1\in \left[-2;2\right].$ 

Lại có  $\underset{x\to -1^{+}}{\lim }\frac{x-1}{x+1}=-\infty ;\underset{x\to -1^{-}}{\lim }\frac{x-1}{x+1}=+\infty$.

Do đó hàm số này không có giá trị nhỏ nhất và lớn nhất trên  $\left[-2;2\right]$.Chọn C.

TXĐ:  $\text{D}=\left[2;4\right]$.

Đạo hàm  $f\left(x\right)=\frac{1}{2\sqrt{x-2}}-\frac{1}{2\sqrt{4-x}}\stackrel{}{\to }f\text{'}\left(x\right)=0\iff x=3\in \left[2;4\right].$

Ta có  $\left\{\begin{array}{l}f\left(2\right)=\sqrt{2}\\ f\left(3\right)=2\\ f\left(4\right)=\sqrt{2}\end{array}\right.\stackrel{}{\to }M=2.$ Chọn B.

TXĐ:  $\text{D}=\left[-7;5\right]$.

Đạo hàm  $f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2x+14}}-\frac{1}{2\sqrt{5-x}}\stackrel{}{\to }f\text{'}\left(x\right)=0\iff x=1\in \left[-7;5\right].$

Ta có  $\left\{\begin{array}{l}f\left(-7\right)=2\sqrt{3}\\ f\left(5\right)=2\sqrt{6}\\ f\left(1\right)=6\end{array}\right.\stackrel{}{\to }\underset{\left[-7;5\right]}{\min }f\left(x\right)=f\left(-7\right)=2\sqrt{3}.$ Chọn D.

TXĐ:  $\text{D}=\left[-2;2\right].$ Đạo hàm  $f\text{'}\left(x\right)=\sqrt{4-x^2}-\frac{x^2}{\sqrt{4-x^2}}=\frac{4-2x^2}{\sqrt{4-x^2}}$

 $\stackrel{}{\to }f\text{'}\left(x\right)=0\iff 4-2x^2=0\iff \left[\begin{array}{l}x=\sqrt{2}\in \left[-2;2\right]\\ x=-\sqrt{2}\in \left[-2;2\right]\end{array}\right..$

Ta có  $\left\{\begin{array}{l}f\left(-2\right)=0\\ f\left(-\sqrt{2}\right)=-2\\ f\left(\sqrt{2}\right)=2\\ f\left(2\right)=0\end{array}\right.\stackrel{}{\to }M=2;m=-2.$ Chọn C.

TXĐ:  $\text{D}=\left[-\sqrt{2};\sqrt{2}\right].$ Đạo hàm  $f^{\text{'}}\left(x\right)=1-\frac{x}{\sqrt{2-x^2}}$

 $\stackrel{}{\to }{f}^{\text{'}}\left(x\right)=0\iff \frac{x}{\sqrt{2-x^2}}=1\iff \sqrt{2-x^2}=x\iff \left\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ 2-x^2=x^2\end{array}\right.\iff x=1\in \left[-\sqrt{2};\sqrt{2}\right].$

Ta có  $\left\{\begin{array}{l}f\left(-\sqrt{2}\right)=-\sqrt{2}\\ f\left(1\right)=2\\ f\left(\sqrt{2}\right)=\sqrt{2}\end{array}\right.\stackrel{}{\to }m=-\sqrt{2}.$ Chọn A.

Bình luận: Sau khi đọc xong lời giải trên sẽ có nhiều bạn đọc thắc mắc là tại sao biết được  $t\in \left[\sqrt{2};2\right]$.

Từ phép đặt ẩn phụ  $t=\sqrt{x-1}+\sqrt{3-x}=h\left(x\right)$.

Đạo hàm  $h^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{1}{2\sqrt{x-1}}-\frac{1}{2\sqrt{3-x}}\stackrel{}{\to }{h}^{\text{'}}\left(x\right)=0\iff x=2\in \left[1;3\right].$

Ta có  $\left\{\begin{array}{l}h\left(1\right)=\sqrt{2}\\ h\left(2\right)=2\\ h\left(3\right)=\sqrt{2}\end{array}\right.\stackrel{}{\to }\left\{\begin{array}{l}\underset{\left[1;3\right]}{\min }h\left(x\right)=\sqrt{2}\\ \underset{\left[1;3\right]}{\max }h\left(x\right)=2\end{array}\right.\stackrel{}{\to }\sqrt{2}\le h\left(x\right)\le 2\stackrel{}{\to }\sqrt{2}\le t\le 2.$

TXĐ:  $\text{D}=\left[0;2\right].$Đặt  $t=\sqrt{x}+\sqrt{2-x}\left(\sqrt{2}\le t\le 2\right).$

 $\stackrel{}{\to }{t}^2=x+2\sqrt{x}\sqrt{2-x}+2-x\stackrel{}{\to }2\sqrt{2x-x^2}=t^2-2.$

Khi đó, bài toán trở thành Tìm giá trị lớn nhất của hàm số  $g\left(t\right)=t^2+t-2$ trên đoạn  $\left[\sqrt{2};2\right]\text{'}$.

Xét hàm số  $g\left(t\right)=t^2+t-2$ xác định và liên tục trên  $\left[\sqrt{2};2\right].$

Đạo hàm  $g^{\text{'}}\left(t\right)=2t+1>0,\forall t\in \left(\sqrt{2};2\right)$.

Suy ra hàm số  $g\left(t\right)$ đồng biến trên đoạn  $\left[\sqrt{2};2\right].$

Do đó  $\underset{\left[\sqrt{2};2\right]}{\max }g\left(t\right)=g\left(2\right)=4\stackrel{}{\to }\underset{\left[0;2\right]}{\max }f\left(x\right)=4.$ Chọn B.

Đặt  $t=\cos x\left(-1\le t\le 1\right).$

Khi đó, bài toán trở thành Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số  $g\left(t\right)=2t^3-\frac{9}{2}{t}^2+3t+\frac{1}{2}$ trên đoạn  $\left[-1;1\right]\text{'}\text{'}$.

Đạo hàm  $g\text{'}\left(t\right)=6t^2-9t+3\stackrel{}{\to }g\text{'}\left(t\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}t=1\in \left[-1;1\right]\\ t=\frac{1}{2}\in \left[-1;1\right]\end{array}\right..$

Ta có  $\left\{\begin{array}{l}g\left(-1\right)=-9\\ g\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{9}{8}\\ g\left(1\right)=1\end{array}\right.\stackrel{}{\to }\underset{\left[-1;1\right]}{\min }g\left(t\right)=g\left(-1\right)=-9\stackrel{}{\to }\underset{x\in ℝ}{\min }f\left(x\right)=-9.$

 Chọn C.

Đặt  $t=\sin x\left(-1\le t\le 1\right).$

Khi đó, bài toán trở thành Tìm giá trị lớn nhất của hàm số  $g\left(t\right)=\frac{t+1}{t^2+t+1}$ trên đoạn  $\left[-1;1\right]\text{'}\text{'}$.

Đạo hàm  $g\text{'}\left(t\right)=\frac{-t^2-2t}{{\left(t^2+t+1\right)}^2}\stackrel{}{\to }g\text{'}\left(t\right)=0\iff -t^2-2t=0\iff \left[\begin{array}{l}t=0\in \left[-1;1\right]\\ t=-2\notin \left[-1;1\right]\end{array}\right..$

Ta có  $\left\{\begin{array}{l}g\left(-1\right)=0\\ g\left(0\right)=1\\ g\left(1\right)=\frac{2}{3}\end{array}\right.\stackrel{}{\to }\underset{\left[-1;1\right]}{\max }g\left(t\right)=g\left(0\right)=1\stackrel{}{\to }\underset{x\in ℝ}{\max }f\left(x\right)=1.$ Chọn A.

Ta có $f\left(x\right)={\sin }^{3}x+\cos 2x+\sin x+3={\sin }^{3}x-2{\sin }^{2}x+\sin x+4$.

Đặt  $t=\sin x\left(-1\le t\le 1\right).$

Khi đó, bài toán trở thành Tìm giá trị lớn nhất của hàm số  $g\left(t\right)=t^3-2t^2+t+4$ trên đoạn  $\left[-1;1\right]\text{'}\text{'}$.

Đạo hàm  $g\text{'}\left(t\right)=3t^2-4t+1\stackrel{}{\to }g\text{'}\left(t\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}t=1\in \left[-1;1\right]\\ t=\frac{1}{3}\in \left[-1;1\right]\end{array}\right..$

Ta có  $\left\{\begin{array}{l}g\left(-1\right)=0\\ g\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{112}{27}\\ g\left(1\right)=4\end{array}\right.\stackrel{}{\to }\underset{\left[-1;1\right]}{\max }g\left(t\right)=g\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{112}{27}\stackrel{}{\to }\underset{x\in ℝ}{\max }f\left(x\right)=\frac{112}{27}.$ Chọn D.

Ta có  $f\text{'}\left(x\right)=3x^2+1+\sin x>0,\forall x\in ℝ$.

Suy ra hàm số  $f\left(x\right)$ đồng biến trên  $\left[0;+\infty \right)$.

Khi đó hàm số không có giá trị lớn nhất nhưng có giá trị nhỏ nhất là   $\underset{\left[0;+\infty \right)}{\min }f\left(x\right)=f\left(0\right)=-5$.

Chọn B.

Hàm số $f\left(x\right)$ xác định và liên tục trên đoạn  $\left[-4;4\right]$.

● Nếu  $x\in \left[1;2\right]$ thì  $x^2-3x+2\le 0$ nên suy ra  $f\left(x\right)=-x^2+2x-2$.

Đạo hàm  $f\text{'}\left(x\right)=-2x+2\stackrel{}{\to }f\text{'}\left(x\right)=0\iff x=1\in \left[1;2\right].$ Ta có  $\left\{\begin{array}{l}f\left(1\right)=-1\\ f\left(2\right)=-2\end{array}\right..$

● Nếu  $x\in \left[-4;1\right]\cup \left[2;4\right]$ thì  $x^2-3x+2\ge 0$ nên suy ra   $f\left(x\right)=x^2-4x+2$.

Đạo hàm  $f\text{'}\left(x\right)=2x-4\stackrel{}{\to }f\text{'}\left(x\right)=0\iff x=2\in \left[-4;1\right]\cup \left[2;4\right].$Ta có  $\left\{\begin{array}{l}f\left(-4\right)=34\\ f\left(1\right)=-1\\ f\left(2\right)=-2\\ f\left(4\right)=2\end{array}\right.$.

So sánh hai trường hợp, ta được  $\underset{\left[-4;4\right]}{\max }f\left(x\right)=f\left(-4\right)=34.$ Chọn C.

Dựa vào bảng biến thiên nhận thấy:

●   $f\left(x\right)\le 2,\forall x\in ℝ$ và  $f\left(0\right)=2$ nên GTLN của hàm số bằng

●  $f\left(x\right)\ge -1,\forall x\in ℝ$ và vì  $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=-1$ nên không tồn tại  $x_0\in ℝ$ sao cho  $f\left(x_0\right)=1$, do đó hàm số không có GTNN.

Chọn A.

Chọn D.

A sai vì hàm số có 2 điểm cực trị.

B sai vì hàm số có giá trị cực tiểu bằng -1.

C sai vì hàm số không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên R.

D Đúng.

Chọn B.

A sai vì hàm số có ba điểm cực trị là  $x=-1;x=0;x=1.$

C sai vì hàm số không có giá trị lớn nhất.

D sai vì hàm số có hai điểm cực tiểu là  $x=-1$ và  $x=1.$ 

Dựa vào bảng biến thiên, ta nhận thấy:

● Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng 2, đạt tại  $x=1\in \left[-5;7\right)$.

● Ta có  $\left\{\begin{array}{l}f\left(x\right)\le 9,\forall x\in \left[-5;7\right)\\ \underset{x\to 7^{-}}{\lim }f\left(x\right)=9\end{array}\right.$. Mà  $7\cancel{\in }\left[-5;7\right)$ nên không tồn tại  $x_0\in \left[-5;7\right)$ sao cho  $f\left(x_0\right)=9$. Do đó hàm số không đạt GTLN trên  $\left[-5;7\right).$

Vậy  $\underset{\left[-5;7\right)}{\min }f\left(x\right)=2$ và hàm số không đạt giá trị lớn nhất trên  $\left[-5;7\right)$. Chọn A.

Từ đồ thị hàm số  $y=f\left(x\right)$ trên đoạn  $\left[-2;4\right]$ ta suy ra đồ thị hàm số  $\left|f\left(x\right)\right|$ trên  $\left[-2;4\right]$ như hình vẽ.

Do đó  $\underset{\left[-2;4\right]}{\max }\left|f\left(x\right)\right|=3$ tại  $x=-1.$

Chọn C.

Nhận thấy trên đoạn  $\left[-2;3\right]$  đồ thị hàm số có điểm cao nhất có tọa độ  $\left(3;4\right).$

=> giá trị lớn nhất của hàm số này trên đoạn  $\left[-2;3\right]$ bằng 4

 Chọn C.

Nhận thấy trên đoạn  $\left[-2;2\right]$ 

● Đồ thị hàm số có điểm thấp nhất có tọa độ  $\left(-2;-5\right)$ và  $\left(1;-5\right)$

giá trị nhỏ nhất của hàm số này trên đoạn  $\left[-2;2\right]$ bằng -5  

● Đồ thị hàm số có điểm cao nhất có tọa độ  $\left(-1;-1\right)$ và  $\left(2;-1\right)$

giá trị lớn nhất của hàm số này trên đoạn  $\left[-2;2\right]$ bằng  $-1.$

Chọn B.

Chọn C.

Dựa vào đồ thị suy ra hàm số không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.

Chú ý. Học sinh thường nhầm tưởng giá trị cực đại là giá trị lớn nhất, giá trị cực tiểu là giá trị nhỏ nhất nên chọn B.

 Chọn B.

Xét trên  $\left(0;1\right)$ ta thấy đồ thị đi xuống (từ trái sang phải) nên hàm số nghịch biến. Do đó (I) đúng

Xét trên  $\left(-1;2\right)$ ta thấy đồ thị đi lên, rồi đi xuống, rồi đi lên. Do đó (II) sai.