25 câu Bài tập tổng hợp Trắc nghiệm Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số có đáp án

ĐK:  x≠m

Ta có: y'=m2−m+2x−m2 nhận thấy m2−m+2=m−122+74>0,∀m nên  y'>0∀m

Hay hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định.

Để hàm số đạt GTLN trên 0;4⇒m∉0;4⇔m<0m>4 

Suy ra max0;4y=y4=4−m2−24−m. Theo bài ra ta có:4−m2−24−m=−1⇒−m2+2=m−4⇔m2+m+6=0⇒m=2(ktm)m=−3(tm)

Vậy có một giá trị của m thỏa mãn

Đáp án cần chọn là: C

Ta có:x2+y2−4x+6y+4+y2+6y+10=6+4x−x2

⇔x2+y2−4x+6y+4+y2+6y+10−6+4x−x2=0

⇔x2+y2−4x+6y+4+y2+6y+10−6+4x−x2y2+6y+10+6+4x−x2y2+6y+10+6+4x−x2=0

⇔x2+y2−4x+6y+4+y2+6y+10−6−4x+x2y2+6y+10+6+4x−x2=0

⇔x2+y2−4x+6y+4+x2+y2−4x+6y+4y2+6y+10+6+4x−x2=0

⇔x2+y2−4x+6y+4+1+1y2+6y+10+6+4x−x2=0

⇔x2+y2−4x+6y+4=0

 (vì 1+1y2+6y+10+6+4x−x2>0)

⇔x−22+y+32=9

Phương trình ⇔x−22+y+32=9 là phương trình đường tròn C tâm I2;−3 và bán kính R = 3.

Gọi Nx;y∈C ta suy ra ON=x2+y2 suy ra  T=ON−a

Gọi A, B là giao điểm của đường tròn C và đường thẳng OI.

Khi đó, OA=OI−R=13−3 và OB=OI+R=13+3 

Suy ra  13−3≤x2+y2≤13+3

TH1: nếu 13−3≤a≤13+3 thì  x2+y2−a≥0⇒minT=0⇒M≥2m⇒a∈1;2;3;4;5;6

TH2: Nếu a<13−3⇒a<13 nên 13+3−a>13−3−a, do đó M=13+3−a;m=13−3−a

Vì M≥2m⇒13+3−a≥213−3−a

⇔13−3−a2−213+6−2a2≥0⇔13+1≤a≤13+9⇒a∈5;6;7;8;9;10

Vậy có 10 giá trị của a thỏa mãn đề bài.

Đáp án cần chọn là: B

fx>sinπx2+m,∀x∈−1;3⇔gx=fx−sinπx2>m∀x∈−1;3

⇒m<min−1;3gx

Từ đồ thị hàm số y=f'(x) ta suy ra BBT đồ thị hàm số y=f(x) như sau:

Dựa vào BBT ta thấy  fx≥f1∀x∈−1;3

x∈−1;3⇒πx2∈−π2;3π2⇒−1≤sinπx2≤1

⇔−1≤−sinπx2≤1

⇒f1−1≤fx−sinπx2⇔gx≥f1−1⇒min−1;3gx=f1−1

Vậy  m<f1−1

Đáp án cần chọn là: B

Ta có:fx=1x2−4x+5−x24+x

fx=1x2−4x+5−x2−4x4

Đặt t=x2−4x+5 với x∈0;3 ta có:  t'=2x−4=0⇔x=2∈0;3

Ta có:  t0=5;t2=1;t3=2

⇒ với x∈0;3⇒t∈1;5 khi đó hàm số trở thành ft=1t−t−54 với  t∈1;5

Ta có:  f't=−1t2−14<0∀t∈1;5

⇒ hàm số y=ft nghịch biến trên

 1;5⇒max0;3fx=max1;5ft=f1=2=Mmin0;3fx=min1;5ft=f5=15=m  

Vậy M−m=2−15=95  

Đáp án cần chọn là: D

Ta có:  g'x=2f'x−21−x=2f'x−1−x

Xét g'x=0⇔f'x=1−x, số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số y=f'(x) và đường thẳng  y=1−x

Ta biểu diễn đường thẳng: y=1−x trên hình vẽ:

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy  f'x=1−x⇔x=−4x=−1x=3

Từ đó, ta suy ra bảng xét dấu g'x như sau:

Vậy hàm số đạt GTNN tại x = - 1.

Đáp án cần chọn là: A

Ta có:y=fx−m=fx2−m

⇒y'=2x2x2f'x2−m=xx2f'x2−m

Để hàm đồng biến trên 10;+∞ thì  y'≥0∀x∈10;+∞

⇒xx2f'x2−m≥0∀x∈10;+∞⇒f'x2−m≥0∀x∈10;+∞  (*)

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy hàm số đồng biến trên 1;+∞ và −∞;−1 

Do đó (*)  ⇔x2−m≥1∀x∈10;+∞  (1)x2−m≤−1∀x∈10;+∞  (2)

Xét (1) ta có  m≤x2−1∀x∈10;+∞⇒m≤min10;+∞x2−1

Xét gx=x2−1 trên khoảng 10;+∞ ta có  g'x=xx2>0∀x∈10;+∞, do đó hàm số đồng biến trên  10;+∞⇒min10;+∞x2−1=g10=9⇔m≤9

Xét (2) ta có  m≥x2+1∀x∈10;+∞⇒m≥max10;+∞x2+1

Do limx→+∞x2+1=+∞ nên hàm số đã cho không có GTLN trên 10;+∞, do đó không tồn tại m thỏa mãn (2).

Vậy m≤9 nên giá trị nguyên lớn nhất của m bằng 9.

Đáp án cần chọn là: C

Ta có:  y'=3x2−6mx+3m2−1

Cho  y'=0⇔3x2−6mx+3m2−1=0⇔x2−2mx+m2−1=0

Ta có: Δ'=m2−m2+1=1>0, khi đó phương trình  có 2 nghiệm phân biệt:  x1=m+1x2=m−1

Ta có BBT:

Ta có:

fm−1=m3−3m+2022

fm+1=m3−3m+2018

TH1:  0<m−1⇔m>1

Ta có:  f0=2020

Để hàm số có GTNN trên 0;+∞ thì fm+1≤f0⇔m3−3m+2018≤2020

⇔m3−3m−2≤0

Xét hàm số fm=m3−3m−2 ta có  f'm=3m2−3=0⇔m=±1

BBT:

Dựa vào BBT ta thấy  fm≤0⇔m≤2

Kết hợp điều kiện  ⇒1<m≤2

TH2: m−1≤0<m+1⇔−1<m≤1, khi đó GTNN của hàm số trên 0;+∞ là  fm+1

Kết hợp 2 trường hợp ta có: 1<m≤2−1<m≤1 mà  m∈Z⇒m∈0;1;2

Vậy có 3 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: D

Ta có:2x+y−13x+y+1=3x+3y+1

⇔2x+y3x+y+1=6x+6y+2

⇔6x+y+2x+y=6x+y+2

Đặt x+y=t, phương trình trở thành  6t+2t=6t+2⇔6t+2t−6t−2=0

Xét hàm số ft=6t+2t−6t−2 ta có:

f't=6t.ln6+2t.ln2−6

f''t=6t.ln26+2t.ln22>0∀t∈R

Do đó hàm số y=f't đồng biến trên R, suy ra phương trình f't=0 có nhiều nhất 1 nghiệm

Suy ra phương trình ft=0 có nhiều nhất 2 nghiệm.

Ta lại có f0=60+20−6.0−2=0f1=61+21−6.1−2=0 do đó phương trình ft=0 có đúng 2  nghiệm t = 0, t = 1.

⇒x+y=0x+y=1

TH1: x+y=0⇒y=−x thay vào P ta có:  P=x2+xy+y2=x2≥0

TH2: x+y=1⇒y=1−x thay vào P ta có:

P=x2+x1−x+1−x2=x2−x+1 =x−122+34≥34  

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 0, đạt được khi x + y = 0

Đáp án cần chọn là: D

Ta có:  x2+2y2+2xy=1⇔x+y2+y2=1

Đặt x+y=sinαy=cosα ta có:  Q=fx+y+1x+2y−2=fsinα+1sinα+cosα−2

Đặt t=sinα+1sinα+cosα−2. Ta có:  Q=fsinα+1sinα+cosα−2=ft

⇔t2−2t+1+t2≥4t2+4t+1⇔2t2+6t≤0⇔−3≤t≤0 (*)

Để phương trình (*) tồn tại nghiệm α thì  t−12+t2≥2t+12

⇔t2−2t+1+t2≥4t2+4t+1⇔2t2+6t≤0⇔−3≤t≤0

Xét Q=ft=t4−t2+2 trên đoạn −3;0 có  f't=4t3−2t,f't=0⇔t=0t=±12

Hàm số ft liên tục trên −3;0 có  f−3=74,f−12=74,f0=2

⇒min−3;0ft=74,max−3;0ft=74

⇒M+m=74+74=3034

Đáp án cần chọn là: C

Đặt  Mx;x+1x−1∈C

Khi đó ta có:  dM;Ox=yM=x+1x−1dM;Oy=xM=x

Tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ là  S=x+x+1x−1≥x+x+1x−1

Dấu bằng xảy ra khi  x.x+1x−1≥0⇔x>1−1≤x≤0

Đặt  fx=x+x+1x−1=x2+1x+1

⇒f'x=x2−2x−1x−12=0⇔x=1−2x=1+2

Bảng biến thiên:

Dựa vào BBT ta thấy  x+x+1x−1≥2−22=22−2

Dấu bằng xảy ra khi  x=1−2⇒y=1−2⇒xM+yM=2−22

Đáp án cần chọn là: B