25 câu Trắc nghiệm Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số có đáp án

Đặt $x+1=t$. Khi đó:  $x\in \left[-1;0\right]\Rightarrow t\in \left[0;1\right]$

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy:$\left\{\begin{array}{c}a=\underset{\left[0;1\right]}{\min }f\left(t\right)=0khit=0\Rightarrow x=-1\\ A=\underset{\left[0;1\right]}{\min }f\left(t\right)=3khit=1\Rightarrow x=0\end{array}\right.$

$\Rightarrow a+A=0+3=3$

Đáp án cần chọn là: D

Ta có: $\left|f\left(x\right)+m\right|<2m$

$\iff -2m<f\left(x\right)+m<2m$

$\iff -3m<f\left(x\right)<m$

$\iff \left\{\begin{array}{c}-3m<\underset{\left[-1;4\right]}{\min }f\left(x\right)\\ \underset{\left[-1;4\right]}{\max }f\left(x\right)<m\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}-3m<-2\\ 3<m\end{array}\iff \left\{\begin{array}{c}m>\frac{2}{3}\\ m>3\end{array}\iff m>3\right.\right.$

Kết hợp điều kiện đề bài  $\Rightarrow m\in \left(3;10\right],m\in Z\Rightarrow m\in \left\{4;5;6;7;8;9;10\right\}$

Vậy có 7 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán

Đáp án cần chọn là: C

Hàm số xác định trên  $\left[0;4\right]$

Ta có: $f\left(x\right)=\left|x-3\right|\sqrt{x+1}=\sqrt{\left(x+1\right){\left(x-3\right)}^2}$

Xét hàm số $g\left(x\right)=\left(x+1\right){\left(x-3\right)}^2$ trên đoạn $\left[0;4\right]$ ta có:

$g\text{'}\left(x\right)={\left(x-3\right)}^2+\left(x+1\right).2\left(x-3\right)$

$g\text{'}\left(x\right)=\left(x-3\right)\left(x-3+2x+2\right)$

$g\text{'}\left(x\right)=\left(x-3\right)\left(3x-1\right)$

$g\text{'}\left(x\right)=0\iff \left[\begin{array}{c}x=3\in \left[0;4\right]\\ x=\frac{1}{3}\in \left[0;4\right]\end{array}\right.$

Ta có  $g\left(0\right)=9,g\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{256}{27};g\left(3\right)=0;g\left(4\right)=5$

Vậy $\iff \left\{\begin{array}{c}M=\underset{\left[0;4\right]}{\max }f\left(x\right)=\sqrt{g\left(\frac{1}{3}\right)}=\frac{16\sqrt{3}}{9}\\ N=\underset{\left[0;4\right]}{\min }f\left(x\right)=\sqrt{g\left(0\right)}=0\end{array}\right.\Rightarrow M+2N=\frac{16\sqrt{3}}{9}$

Đáp án cần chọn là: A

TXĐ:$\left\{\begin{array}{c}x-1\ge 0\\ 5-x\ge 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}x\ge 1\\ x\le 5\end{array}\right.\Rightarrow D=\left[1;5\right]$

Ta có:  $f\text{'}\left(x\right)=\frac{1}{2\sqrt{x-1}}-\frac{1}{2\sqrt{5-x}}=\frac{\sqrt{5-x}-\sqrt{x-1}}{2\sqrt{x-1}.\sqrt{5-x}}$

Cho  $f\text{'}\left(x\right)=0\iff \sqrt{5-x}=\sqrt{x-1}\iff 5-x=x-1\iff x=3\in \left[1;5\right]$

Mặt khác  $f\left(1\right)=2,f\left(3\right)=2\sqrt{2},f\left(5\right)=2$

Vậy $\underset{\left[1;5\right]}{\max }f\left(x\right)=f\left(3\right)=2\sqrt{2}$

Đáp án cần chọn là: C

Ta có:  $y=x-\sqrt{4-x^2}$

TXĐ:  $D=\left[-2;2\right]$

$\Rightarrow y\text{'}=1+\frac{x}{\sqrt{4-x^2}}\iff y\text{'}=0$   $\iff x+\sqrt{4-x^2}=0\iff \sqrt{4-x^2}=-x$

$\iff \left\{\begin{array}{c}x\le 0\\ x^2=4-x^2\end{array}\right.\iff \iff \left\{\begin{array}{c}x\le 0\\ x^2=2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}x\le 0\\ \left[\begin{array}{c}x=\sqrt{2}\\ x=-\sqrt{2}\end{array}\right.\end{array}\right.\iff x=-\sqrt{2}$

$\iff \left\{\begin{array}{c}y\left(2\right)=2\\ y\left(-\sqrt{2}\right)=-2\sqrt{2}\\ y\left(-2\right)=-2\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}M=\underset{\left[-2;2\right]}{\max }y=y\left(2\right)=2\\ m=\underset{\left[-2;2\right]}{\max }y=y(-\sqrt{2})=-2\sqrt{2}\end{array}\right.$

$\Rightarrow m+m=2-2\sqrt{2}$

Đáp án cần chọn là: B

Do x là độ dài của đoạn dây cuộn thành hình tròn (0 < x < a). Suy ra chiều dài đoạn còn lại là  $a-x$

Gọi r là bán kính của đường tròn. Chu vi đường tròn:  $2\pi r=x\Rightarrow r=\frac{x}{2\pi }$

Do đó diện tích hình tròn là:  $S_1=\pi .r^2=\frac{x^2}{4\pi }$

Chu vi hình vuông là $a-x\Rightarrow$ cạnh hình vuông là:  $\frac{a-x}{4}$

Do đó diện tích hình vuông : $S_2={\left(\frac{a-x}{4}\right)}^2$ 

Tổng diện tích hai hình:

$S=\frac{x^2}{4\pi }+{\left(\frac{a-x}{4}\right)}^2=\frac{4x^2+\pi {\left(a-x\right)}^2}{16\pi }=\frac{\left(4+\pi \right).x^2-2a\pi x+\pi a^2}{16\pi }$

Xét hàm số $S\left(x\right)=\frac{\left(4+\pi \right).x^2-2a\pi x+\pi a^2}{16\pi }$ ta có  $S\text{'}\left(x\right)=\frac{2\left(4+\pi \right).x-2a\pi }{16\pi }=\frac{\left(4+\pi \right).x-a\pi }{8\pi }$

Cho $S\text{'}\left(x\right)=0\iff \left(4+\pi \right)x-a\pi =0\iff x=\frac{a\pi }{4+\pi }$. Ta có BBT như sau:

Suy ra hàm S chỉ có một cực trị và là một cực tiểu tại  $x=\frac{a\pi }{4+\pi }$

Do đó S đạt giá trị nhỏ nhất tại $x=\frac{a\pi }{4+\pi }$

Đáp án cần chọn là: C

$y=2{\sin }^{2}x-\cos x+1$

$\Rightarrow y=2\left(1-{\cos }^{2}x\right)-\cos x+1$

$\Rightarrow y=-2{\cos }^{2}x-\cos x+3$

Đặt $\cos x=t\left(-1\le t\le 1\right)$, hàm số trở thành  $y=-2t^2-t+3$

Ta có:  $y\text{'}=-4t-1=0\Rightarrow t=-\frac{1}{4}\left(tm\right)$

BBT:

Từ BBT ta suy ra  $M=\frac{25}{8},m=0$

Vậy  $M+m=\frac{25}{8}$

Đáp án cần chọn là: A

Ta có:  $g\left(x\right)=2f\left(x\right)-x^2\Rightarrow g\text{'}\left(x\right)=2f\text{'}\left(x\right)-2x$

Cho $g\text{'}\left(x\right)=0\iff f\text{'}\left(x\right)=x$ (1)

Nghiệm của phương trình (1) là hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số  $y=f\text{'}\left(x\right);y=x$

Vẽ đường thẳng $y=x$ và đồ thị hàm số $y=f\text{'}\left(x\right)$ trên cùng hệ trục tọa độ:

Dựa vào đồ thị ta thấy đồ thị hai hàm số $y=f\text{'}\left(x\right);y=x$ cắt nhau tại 3 điểm có hoành độ là  $-2;2;4$

$\Rightarrow g\text{'}\left(x\right)=0\iff \left[\begin{array}{c}x=-2\\ x=2\\ x=4\end{array}\right.$

Bảng biến thiên đồ thị hàm số $y=g\left(x\right)$ 

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy giá trị lớn nhất của hàm số g (x) trên đoạn $\left[-2;4\right]$ là g(2)

Đáp án cần chọn là: B

Ta có:  $g\text{'}\left(x\right)=\left(3x^2+2\right).f\text{'}\left(x^3+2x\right)$

$g\text{'}\left(x\right)=0\iff \left[\begin{array}{c}3x^2+2=0\\ f\text{'}\left(x^3+2x\right)=0\end{array}\right.\iff f\text{'}\left(x^3+2x\right)=0$ (Do phương trình $3x^2+2=0$ vô nghiệm)

Từ đồ thị hàm số f (x) đã cho ta có:  $f\text{'}\left(x^3+2x\right)=0$

$\iff \left[\begin{array}{c}{x}^3+2x=0\\ x^3+2x=2\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{c}x=0\\ x=x_0\approx 0,77\end{array}\right.$

Hàm số g (x) trên đoạn $\left[0;1\right]$ có:

$g\left(0\right)=f\left(0\right)+m=m+1$

$g\left(x_0\right)=f\left(2\right)+m=m-3$

$g\left(1\right)=f\left(3\right)+m=m+1$

Do đó  $\underset{\left[0;1\right]}{\max }g\left(x\right)=g\left(0\right)=g\left(1\right)=m+1$

Theo giả thiết, giá trị lớn nhất của hàm số g (x) trên $\left[0;1\right]$ bằng 9 nên  $m+1=9\iff m=8$

Vậy m = 8

Đáp án cần chọn là: D