38 câu Dạng 1: Góc giữa hai mặt phẳng có đáp án

Chọn A

Tam giác BCD cân tại B có I trung điểm đáy CD => CD⊥BI (1)

Tam giác ACD cân tại A có I trung điểm đáy CD => CD⊥AI (2)

(1) và (2) => CD⊥ABI Vậy A: sai

Chọn C

Ta có CH=CS.CACS2+CA2=a; ( CA=2AI=a3); IK=12CH=12a=IB=ID

với H là hình chiếu của C lên SA, K là hình chiếu của I lên SA.

Đặt AB = a. Gọi I là trung điểm của AB

Tam giác ABC đều cạnh a nên CI ⊥ AB và  CI=a32

Tam giác ABD đều nên DI ⊥ AB và DI=a32

Do đó, ABC,ABD^=CI,DI^=CID^=α

Tam giác CID có cosα=IC2+ID2−CD22.IC.ID=3a24+3a24−a22.a32.a32=13

Vậy ta chọn đáp án A.

Chọn C

Giả sử gọi hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a là S.ABCD có đường cao SH

Ta có: SCD∩ABCD=CD. Gọi M là trung điểm CD

Dễ chứng minh được SM⊥CD và HM⊥CD

⇒SCD,ABCD=SM,HM=SMH^=α

Từ giả thiết suy ra tam giác SCD là tam giác đều cạnh a có SM là đường trung tuyến .

⇒SM=a32⇒cosα=HMSM=a2a32=13

Chọn D

Ta có SAB⊥ABCSAC⊥ABCSAB∩SAC=SA⇒SA⊥ABC⇒SA⊥BC

BC⊥AHBC⊥SA⇒BC⊥SAH⇒BC⊥SH

Mặt khác, AH⊥BC nên SBC,ABC=SH,AH=SHA^

Chọn A

Tam giác BCD đều nên DE⊥BC . Mặt khác OF//DE⇒BC⊥OF (1).

Do SO⊥ABCD⇒BC⊥SO (2).

Từ (1) và (2), suy ra BC⊥SOF⇒SBC⊥SOF.

Vậy, góc giữa (SOF) và (SBC) bằng 90o.

Chọn B

Gọi H là chân đường vuông góc của S xuống mặt phẳng đáy (ABCD) (SH⊥ABCD)

SA=SB=SC=a => các hình chiếu: HA=HB=HC => H là tâm đường tròn (ABC)

Mà tam giác ABC cân tại B (vì BA = BC = a ) => tâm H  phải nằm trên BH => SH⊂SBD

Vậy có SH⊥ABCDSH⊂SBD⇒SBD⊥ABCD nên góc SBD,ABCD=90o

Chọn C

Gọi M' là trung điểm OC. Có:

SΔMBD=12MO.BD=12.a2.a2=a224SΔBM'D=12M'O.BD=12.14.a2.a2=a24

Do đó cosα=SΔBM'DSΔBMD=22⇒α=450

Chọn C

Gọi H  là hình chiếu vuông góc của C  lên mặt phẳng (P)

Khi đó, AC,P=AC,AH=CAH^=600 và BC,P=BC,AH=CBH^=α

Tam giác AHC  vuông tại H  nên sinCAH^=CHAC⇒CH=AC.sinCAH^=a2.sin600=a62

Tam giác CHB  vuông tại H  nên sinα=CHBC=a62a2+a22=a22⇒α=450

Chọn D

Ta có SA⊥ABC⇒SAB⊥ABC nên đáp án A đúng.

AB⊥AC,AB⊥SA⇒AB⊥SAC⇒SAB⊥SAC. Nên đáp án B đúng

AH⊥BC;BC⊥SA⇒BC⊥SAH⇒SH⊥BC⇒SBC,ABC^=SHA^. Nên đáp án C đúng.

Ta có: SBC∩SAC=SC nên đáp án D sai.

Chọn C

Ta có: ABC∩ABD=ABBC⊥ABBD⊥AB

⇒ABD,ABC^≠CBD^

Nên đáp án C sai

Chọn A

Ta có: BC⊥SA,BC⊥AB⇒BC⊥SB⇒SBC∩ABC=BCAB⊥BC,AB⊂ABCSB⊥BC,SB⊂SBC⇒SBC,ABC^=SBA^

Chọn C

Ta có: 

SAD∩ABCD=ADAB⊥AD,AB⊂ABCDSA⊥AD,SA⊂SAD⇒SAD,ABCD^=SAB^

Chọn D

Gọi M là trung điểm của CD

Khi đó CD⊥OMCD⊥SO

⇒CD⊥SM⇒SCD,ABCD^=SMO^=α

Ta có: R=OA=a⇒AC=2a⇒AB=AD=a2

⇒OM=a22⇒tanα=SOOM=6

Chọn B

Gọi O là tâm của tam giác đều ABC

Gọi CO∩AB=H suy ra H là trung điểm AB(vì tam giác ABC đều)

⇒OH⊥AB và OH=13CH=13.AB32=AB36

Tìm góc giữa (SAB) và (ABC)

SAB∩ABC=ABOH⊥ABSO⊥AB     SO⊥(ABC)    

⇒SH⊥AB   (1)

Ta có

SAB∩ABC=ABOH⊥AB, OH⊂(ABC)SH⊥AB,SH⊂(SAB)    ⇒(SAB);(ABC)^=SH;OH^=SHO^=α

Từ (1) suy ra SH=SA2−AH2=2AB2−AB22=152AB

Từ đó ta có : cosα=OHSH=36AB152AB=135

Chọn D

Ta có

Do đó:

Mặt khác, tam giác A'BC vuông tại A' nên

Ta có

Chọn B

Ta có: S∈SAB∩SCD

Gọi d=SAB∩SCD với d∈S;d∥AB∥CD

Do đó: d=SAB∩SCD

Mặt khác: SAB⊥ABCD; mà HK⊥ABhv⇒HK⊥SAB

Vì  là trung điểm của AB ⇒SH⊥AB⇒SH⊥d (vì d // AB)

⇒d⊥SK (theo định lí ba đường vuông góc)

Do đó: KSH^=α là góc giữa (SAB)  và (SCD)

Mà SH  là đường cao trong ΔSAB đều cạnh a⇒SH=a32

Xét  vuông tại có: tanα=HKSH=aa32=233

Chọn D

Gọi AK  là khoảng cách từ A  đến BD  

Khi đó AK=2a5 và BD⊥AK, BD⊥SA 

SBD,ABCD^=SKA^=α⇒tanα=SAAK=5.

 

Chọn B

Ta có: các cạnh bên vuông góc với đáy, đáy là hình thoi nên các mặt bên của hình lăng trụ là các hình chữ nhật.

Hai mặt bên (AA'C)  và (BB'D)  vuông góc với hai đáy.

Hai hai mặt bên (AA'B'B)  và (AA'D'D)  bằng nhau.

suy ra đáp án A,C,D đúng.

Mặt khác hai đáy ABCD  và A'B'C'D' là các hình thoi nên AA'C'C⊥BB'D'D. Suy ra đáp án B sai.

Chọn A

α là góc giữa hai mặt phẳng (A₁D₁CB) và (ABCD) là α=MNP^

Ta có tanα=MPNP=1⇒α=450

Chọn D

Ta có: SBC∩ABCD=CD

AB⊥BC, AB⊂ABCDSB⊥BC, SB⊂SBC

⇒(SBC);ABCD^=ABS^. Vậy A đúng

Ta có: BD⊥ACBD⊥SA⇒BD⊥SAC

Mà BD⊂SBD⇒SAC⊥SBD. Vậy B đúng

Ta có: SBD∩ABCD=BD

AO⊥BD, AB⊂ABCDSO⊥BD, SO⊂SBD

⇒(SBD);ABCD^=SOA^. Vậy C đúng

Ta có: SAD∩ABCD=BD

AB⊥AD, AB⊂ABCDSA⊥AD, SA⊂SAD

⇒(SAD);ABCD^=SAB^=900. Vậy D sai.

Chọn A

Gọi H là trung điểm của AC khi đó BH⊥AC; DH⊥AC

Góc giữa hai mặt của tứ diện bằng BHD^

Ta có BH=DH=a32

Trong tam giác BHD có :

Chọn A

Gọi độ dài cạnh của hình chóp đều S.ABCD  là a . Gọi I  là trung điểm của SB  ta có DI⊥SB  (vì tam giác SBD  đều) và AI⊥SB (vì tam giác SAB  đều). Vậy, góc giữa hai mặt phẳng (SAB)  và (SAD)  chính là góc .

Ta có : AD=a2 (đường chéo hình vuông), AI=DI=a32(đường cao tam giác đều)

Áp dụng định lý cosin cho góc I trong tam giác AID ta có : 

cos(AID^)=AI2+DI2−AD22AD.DI=a322+a322−a222.a32.a32=−13

Vậy cosα=−13

Chọn C

Ta có: BC⊥SABC⊥AB⇒BC⊥SAB

Mà BC⊂SBC⇒SBC⊥SAC (A đúng)

SAD∩SAB=SAB//CDAB⊂SABCD⊂SCD⇒SAD∩SAB=Sx//AB

B đúng

SCD∩BCD=CD

Ta có: AD⊥CD,AD⊂BCDSD⊥CD,SD⊂SCD

Suy ra góc giữa (SDC) và (BCD) là SDA^

tanSDA^=SAAD=2⇒SDA^=54044' (C sai)

Chọn B

Từ giả thiết ta suy ra: AA'⊥ABCD⇒AC là hình chiếu vuông góc của A'C lên mặt phẳng (ABCD)

⇒A'C,ABCD=A'C,AC=A'CA^=α

Áp dụng định lý Pytago trong tam giác ABC  vuông tại B  ta có:

AC2=AB2+BC2=a2+4a2=5a2⇒AC=a5

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác AA'C vuông tại A  ta có:

tanα=AA'AC=aa5=15⇒α≈24°5'

Chọn D

ABCD.A'B'C'D' là hình lặp phương nên hình chiếu của tam giác A'BD lên các mặt chứa các cạnh của hình lặp phương là các tam giác bằng nhau. Gọi S₁ là diện tích các tam giác này

Lại có S1=SAB'D.cosα

Chọn C

+ Vì SH⊥ABC và AN⊂ABC⇒SH⊥AN hay ⇒SH⊥AH⇒AH là hình chiếu vuông góc của SA lên ABC

SA,ABC=SA,AH=SAH^

+ Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC, BC

Vì ABC là tam giác đều cạnh  nên dễ tính được : AN=a32

Từ giả thiết suy ra H là trọng tậm ΔABC ⇒AH=23AN=23.a32=a33

+ Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác SHA vuông tại H ta có:

tanSAH^=SHAH=aa33=3

Chọn B

Giả sử hình chóp đã cho là S.ABCD có đường cao SH

Ta có: ABCD∩SCD=CD

Gọi M là trung điểm của CD => dễ chứng minh được SM⊥CD và HM⊥CD

⇒ABCD,SCD=HM,SM=SMH^

Mặt khác: HM=12AD=a22

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác SHM vuông tại H, ta có :

tanSMH^=SHHM=a22.2a2=1⇒SMH^=45°

Giả sử tứ diện đều đã cho là ABCD  có cạnh a .

Ta có: (ABC) ∩ (BCD) = BC

Gọi E  là trung điểm BC nên BE=CE=a2

Vì tam giác ABC đều có AE là trung tuyến nên AE là đường cao

Hay AE ⊥ BC

Vì tam giác DBC đều có DE là trung tuyến nên DE là đường cao

Hay DE ⊥ BC

Khi đó ABC;BCD^=AE,DE^=AED^

Xét tam giác ECD có DE=DC2−EC2=a2−a22=a32

Xét tam giác ECA có AE=AC2−EC2=a2−a22=a32

Áp dụng hệ quả của định lý cosin trong tam giác AED có

cosAED^=AE2+DE2−AD22AE.DE=3a24+3a24−a22.a32.a32=a223a22=13

Vậy ta chọn đáp án D.

Chọn C

Ta có SB = SD = 2a

Vì ΔSCD=ΔSCB (c.c.c) nên chân đường cao hạ từ B và D đến SC của hai tam giác đó trùng nhau và độ dài đường cao bằng nhau ⇒BH=DH

Do đó (SBC),(SCD)^=DHB^=φ

Ta có

OB=OD=BD2=a221BH2=1SB2+1BC2=14a2+1a2=54a2⇒BH=DH=255a

Lại có BH = DH và O là trung điểm BD nên HO⊥BDhay ΔHOB vuông tại O

OH=BH2−OB2=25a52−a222=3010a

Ta có sinφ2=OHBH=3010255=64;sinφ2=OBBH=22255=104

Chọn D

Ta có: SC⊥BD (vì BD⊥AC,BD⊥SA)

Trong mặt phẳng (SAC), kẻ OI⊥SC thì ta có SC⊥(BID)

Khi đó (SBC),(SCD)^=BID^

Trong tam giác SAC , kẻ đường cao AH  thì AH=a23

Mà O là trung điểm AC và OI // AH nên OI=a6

Tam giác IOD vuông tại O có tanOID^=3⇒OID^=600

Vậy hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) hợp với nhau một góc  60^o

Chọn D

Gọi O  là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Khi đó, A'O⊥ABC

Trong mặt phẳng (ABC) , dựng AH⊥BC. Vì tam giác ABCD  đều nên AH=a32

Ta có BC⊥AHBC⊥A'O⇒BC⊥A'HA⇒BC⊥MH

Do đó, MBC,ABC=MH,AH=MHA^=α

Tam giác MAH vuông tại A  nên tanα=AMAH=3a4a32=32

Chọn C

* Trong (SAB) dựng AI⊥SB ta chứng minh được AI⊥SBC   (1)

Trong (SAD) dựng AJ⊥SD ta chứng minh được AJ⊥SCD   (2)

Từ (1) và (2) => góc (SBC),(SCD)=AI,AJ=IAJ^o

* Ta chứng minh được AI = AJ. Do đó, nếu góc IAJ^=60o thì ΔAIJ đều ⇒AI=AJ=IJ

 vuông tại  có  là đường cao ⇒AI.SB=SA.AB⇒AI=SA.ABSB(3)

Và có SA2=SI.SB⇒SI=SA2SB (4)

Ta chứng minh được IJ//BD⇒IJBD=SISB⇒IJ=SI.BDSB=SA2.BDSB2(5)

Thế (3) và (5) vào AI=IJ⇒AB=SA.BDSB⇔AB.SB=SA.BD⇔a.x2+a2=x.a2⇔x2+a2=2x2⇔x=a

Chọn C

Ta có SO⊥(ABCD) và OM, ON, OP, OQ lần lượt vuông góc với AB, BC, CD, DA

Theo định lí ba đường vuông góc ta có SM⊥AB,SN⊥BC,SP⊥CD,SQ⊥DA

Từ đó suy ra SMO^=SNO^=SPO^=SQO^

Xét tam giác SMO vuông tại O ta có tanSMO^=3⇒SMO^=600

Vậy mỗi mặt bên hợp với đáy các góc bằng nhau và bằng 60^o

Chọn C

Ta có:

=> Góc giữa hai mặt phẳng (SEF) và (SBC) là : BSE^

Chọn B

Gọi φ=ABC,ADE

Ta có: SABC=a234

Mặt khác, ta có:

AD=AB2+BD2=a2+3a24=a72AE=AC2+CE2=a2+3a2=2a

Gọi F là trung điểm EC, ta có DF = BC = a

Do đó DE=DF2+FE2=a2+3a24=a72

Suy ra tam giác ADE cân tại D

Gọi H là trung điểm AE, ta có DH=AD2−AH2=7a24−a2=a32

Suy ra SADE=12DH.AE=12.a32.2a=a232

Vậy cosφ=SABCSADE=a234a232=12⇒φ=60o

Chọn B

Áp dụng định lí Côsin trong tam giác SAB, ta có AB=a3

Tam giác SAC vuông cân tại S nên AC=a2; tam giác SBC đều nên BC = a

Vì AC2+BC2=AB2 nên tam giác ABCvuông tại C

Gọi H là trung điểm AB thì ta có

HA=HB=HCSA=SB=SC⇒SH⊥(ABC)

Mà SH⊂(SAB) nên (SAB)⊥(ABC)

Vậy (SAB),(ABC)^=900

Chọn A

Ta có: SABC=SADE.cosα với α=ABC,ADE=600

Do đó SADE=SABCcosα=a234cos600=a232

Mặt khác, SADE=12AD.AE.sinφ⇔a232=12.a62.a3.sinφ⇒sinφ=26