19 câu Dạng 2: Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc, chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng và các bài toán liên quan có đáp án

* Ta có $\left.\begin{array}{l}CD\perp BE\\ CD\perp AB\end{array}\right\}\Rightarrow \begin{array}{c}\\ \left.\begin{array}{l}CD\perp \left(ABE\right)\\ CD\subset \left(ADC\right)\end{array}\right\}\Rightarrow \left(ADC\right)\perp \left(ABE\right)\end{array}$.

Vậy “ $\left(ADC\right)\perp \left(ABE\right)$”: ĐÚNG.

* $\left.\begin{array}{l}DF\perp BC\\ DF\perp AB\end{array}\right\}\Rightarrow \left.\begin{array}{l}DF\perp \left(ABC\right)\\ SC\subset \left(ABC\right)\end{array}\right\}\Rightarrow \left.\begin{array}{l}DF\perp AC\\ DK\perp AC\end{array}\right\}\Rightarrow \left.\begin{array}{l}AC\perp \left(DFK\right)\\ AC\subset \left(ADC\right)\end{array}\right\}\Rightarrow \left(ADC\right)\perp \left(DFK\right)$

Vậy “ $\left(ADC\right)\perp \left(DFK\right)$”: ĐÚNG.

* Ta có $\left.\begin{array}{l}CD\perp BE\\ CD\perp AB\end{array}\right\}\Rightarrow \begin{array}{c}\\ \left.\begin{array}{l}CD\perp \left(ABE\right)\\ CD\subset \left(BDC\right)\end{array}\right\}\Rightarrow \left(BDC\right)\perp \left(ABE\right)\end{array}$

Vậy “ $\left(BDC\right)\perp \left(ABE\right)$”: ĐÚNG.

* “ $\left(ADC\right)\perp \left(ABC\right)$”: SAI

Ta có:

$\left\{\begin{array}{l}\left(ABC\right)\perp \left(BCD\right)\\ \left(ABD\right)\perp \left(BCD\right)\\ \left(ABC\right)\cap \left(ABD\right)=AB\end{array}\right.\Rightarrow AB\perp \left(BCD\right)$

Mặt khác: $\left\{\begin{array}{l}CD\perp BE\\ CD\perp AB\end{array}\right.\Rightarrow CD\perp \left(ABE\right)$ nên câu A đúng.

$\left\{\begin{array}{l}\left(ABC\right)\perp \left(BCD\right)\\ \left(ABC\right)\cap \left(BCD\right)=BC\\ DF\perp BC\end{array}\right.\Rightarrow DF\perp \left(ABC\right)$ nên câu C đúng.

Theo trên ta có $DF\perp \left(ABC\right)$ nên $DF\perp AC$

Vậy ta có $\left\{\begin{array}{l}AC\perp DF\\ AC\perp DK\end{array}\right.\Rightarrow AC\perp \left(DKF\right)\Rightarrow \left(ACD\right)\perp \left(DKF\right)$. Do đó câu D đúng.

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}\left(SBC\right)\perp \left(ABC\right)\\ \left(SAC\right)\perp \left(ABC\right)\\ SC=\left(SBC\right)\cap \left(SAC\right)\end{array}\right.\Rightarrow SC\perp \left(ABC\right)$. Do đó câu A và B đúng

C. Sai. vì nếu $A\text{'}\in SB$ thì hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) phải vuông góc với nhau theo giao tuyến SB

D. Ta có: $\left\{\begin{array}{l}SC\perp \left(ABC\right)\\ SC\subset \left(SAC\right)\end{array}\right.\Rightarrow \left(SAC\right)\perp \left(ABC\right)$ theo giao tuyến AC

Mà BK là đường cao của $\Delta ABC\Rightarrow BK\perp AC\Rightarrow BK\perp \left(SAC\right)$. Vậy D đúng

Ta có $BC\perp \left(A’AH\right)$ nên $BC\perp BB’$, nếu $\left(AA’B’B\right) \perp \left(BB’C’C\right)$ thì $BC\perp AB$ vô lý vì H trùng A.

Gọi I là trung điểm của BC$\Rightarrow AI\perp BC$ mà $BC\perp SA\Rightarrow BC\perp \left(SAI\right)$

Ta có: 

$\left\{\begin{array}{c}\left(SAC\right)\cap \left(SBC\right)=SC\\ \left(SAC\right)\perp \left(ABC\right)\\ \left(SBC\right)\perp \left(ABC\right)\end{array}\Rightarrow SC\right.\perp \left(ABC\right)$

Gọi A' là hình chiếu vuông góc của A lên (SBC), khi đó $A{A}^{\text{'}}\perp \left(SBC\right)\Rightarrow A{A}^{\text{'}}\perp BC\Rightarrow A^{\text{'}}\in BC$

Suy ra đáp án B sai

Ta có:

$\left\{\begin{array}{c}\left(SAB\right)\cap \left(SAC\right)=SA\\ \left(SAC\right)\perp \left(ABC\right)\\ \left(SAB\right)\perp \left(ABC\right)\end{array}\Rightarrow SA\right.\perp \left(ABC\right)$

Gọi H là trung điểm của BC

$\Rightarrow AH\perp BC$

mà $BC\perp SA\Rightarrow BC\perp \left(SAH\right)\Rightarrow \left(SBC\right)\perp \left(SAH\right)$

Khi đó O  là hình chiếu vuông góc của A lên (SBC)

Thì suy ra $O\in SI$ và $\widehat{\left(\left(SBC\right),\left(ABC\right)\right)}=\widehat{SHA}$

Vậy đáp án B đúng.

Vì ABC là tam giác vuông cân ở A

$\Rightarrow AB=AC\ne BC$

nên các mặt bên của lăng trụ không bằng nhau.

Vậy đáp án A sai.

Ta có: ABCD là hình chữ nhật nên AC không vuông góc với BD

Suy ra hai mặt (ACC'A') và (BDD'B') không vuông góc với nhau.

Vậy đáp án B sai

* Gọi $I=A{B}_1\cap A_{1}B$

Tam giác $A_{1}BD$ đều có  là đường trung tuyến nên $DI\perp A_{1}B$

$DA\perp \left(A{A}_1{B}_{1}B\right)\Rightarrow DA\perp A_{1}B$

* Ta có $\left.\begin{array}{l}BD\perp AC\\ BD\perp A{A}_1\end{array}\right\}\Rightarrow BD\perp \left(AC{C}_1{A}_1\right)\Rightarrow \left(A_{1}BD\right)\perp \left(AC{C}_1{A}_1\right)$ nên B đúng.

* Gọi $J=A{D}_1\cap A_{1}D$

Tam giác $A_{1}BD$ đều có BJ là đường trung tuyến nên $BJ\perp A_{1}D$

$BA\perp \left(A{A}_1{D}_{1}D\right)\Rightarrow BA\perp A_{1}D$

$\left.\begin{array}{l}{A}_{1}D\perp BJ\\ A_{1}D\perp BA\end{array}\right\}\Rightarrow A_{1}B\perp \left(AB{D}_1\right)$ nên C đúng. Chọn D.

+ Cách 1: Chứng minh trực tiếp chỉ ra C là đáp án sai.

Từ giả thiết dễ dàng tính được $AC=a\sqrt{2}$

Mặt khác vì ABCD.A'B'C'D' là hình lập phương nên suy ra $\widehat{A{A}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=90°$

Xét tứ giác ACC'A' có $\left\{\begin{array}{l}A{A}^{\text{'}}//C{C}^{\text{'}}\\ A{A}^{\text{'}}=C{C}^{\text{'}}=a\\ \widehat{A{A}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=90°\end{array}\right.$=> ACC'A' là hình chữ nhật có các cạnh a và $a\sqrt{2}$

Diện tích hình chữ nhật ACC'A' là : $S=a.a\sqrt{2}=a^2\sqrt{2}$(đvdt)

=> đáp án C sai.

+ Cách 2: Chứng minh 3 đáp án A, B, D đều đúng và suy ra đáp án C sai.

Vì theo giả thiết ABCD.A'B'C'D' ta dễ dàng chỉ ra được:

+ $\left\{\begin{array}{l}AC\perp BD\\ AC\perp B{B}^{\text{'}}\end{array}\right.$ và BD cắt BB' cùng nằm trong $\left(B{B}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}D\right)\Rightarrow AC\perp \left(B{B}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}D\right)$

Mà $B{D}^{\text{'}}\subset \left(B{B}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}D\right)\Rightarrow \Rightarrow AC\perp B{D}^{\text{'}}\Rightarrow$ đáp án D đúng.

+ $\left\{\begin{array}{l}AC\subset \left(AC{C}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}\right)\\ AC\perp \left(B{B}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}D\right)\end{array}\right.\Rightarrow \left(AC{C}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}\right)\perp \left(B{B}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}D\right)$ => đáp án A đúng.

+ Áp dụng đình lý Pytago trong tam giác B'A'D' vuông tại A' ta có:

$B^{\text{'}}{D^{\text{'}}}^2=B^{\text{'}}{A^{\text{'}}}^2+A^{\text{'}}{D^{\text{'}}}^2=a^2+a^2=2a^2$

Áp dụng định lý Pytago trong tam giác BB'D' vuông tại B' ta có: $B{D^{\text{'}}}^2=B{B^{\text{'}}}^2+B^{\text{'}}{D^{\text{'}}}^2=a^2+2a^2=3a^2$

Hoàn toàn tương tự ta tính được độ dài các đường chéo còn lại của hình lập phương đều bằng nhau và bằng $a\sqrt{3}$ => đáp án B đúng.

+ Xét tứ giác ACC'A' có $\left\{\begin{array}{l}AC//A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}\\ AC=A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}=a\sqrt{3}\\ A{A}^{\text{'}}=C{C}^{\text{'}}=a\\ \widehat{AC{C}^{\text{'}}}=90°\end{array}\right.\Rightarrow AC{C}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}$ là hình chữ nhật. hoàn toàn tương tự ta cũng chỉ ra BDD'B' cũng là hình chữ nhật có các cạnh là a và $a\sqrt{3}$

=> Hai mặt ACC'A'  và BDD'B' là hai hình vuông bằng nhau => đáp án C sai.

Gọi K là hình chiếu vuông góc của A lên BC

$\Rightarrow H\in AK,BC\perp AK,BC\perp A^{\text{'}}H\Rightarrow BC\perp \left(A{A}^{\text{'}}H\right)$

Chọn D.

Ta có: $\left(ABCD\right)\cap \left(AB{C}^{\text{'}}\right)=AB$

Từ giả thiết ta dễ dàng chứng minh được: $AB\perp \left(B{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}C\right)$ mà $C^{\text{'}}B\subset \left(B{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}C\right)\Rightarrow AB\perp C^{\text{'}}B$

Mặt khác: $CB\perp AB$

$\Rightarrow \left(\left(ABCD\right),\left(AB{C}^{\text{'}}\right)\right)=\left(CB,C^{\text{'}}B\right)=\widehat{CB{C}^{\text{'}}}=60°$

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác BCC' vuông tại C ta có:

$\tan \widehat{CB{C}^{\text{'}}}=\frac{C{C}^{\text{'}}}{CB}\Rightarrow C{C}^{\text{'}}=CB.\tan \widehat{CB{C}^{\text{'}}}=a.\tan 60°=a\sqrt{3}$

Gọi I là trung điểm của BC. Vì tam giác ABC vuông cân tại A nên $AI\perp BC$

Ta có: 

$$\begin{gathered} \left.\begin{array}{l}\left(P\right)\perp \left(Q\right)\\ \left(P\right)\cap \left(Q\right)=d\\ \left(Q\right)\supset BD\perp d\end{array}\right\}\Rightarrow BD\perp \left(P\right)\Rightarrow BD\perp AI \\ \left.\begin{array}{l}AI\perp BC\\ AI\perp BD\end{array}\right\}\Rightarrow AI\perp \left(BCD\right)\Rightarrow AI\perp CD \end{gathered}$$

Trong (ACD), dựng đường thẳng đi qua A và vuông góc với CD cắt CD tại H

Thiết diện của tứ diện ABCD khi cắt bởi mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ là tam giác AHI

$YCBT\iff \Delta CJD$ vuông cân tại J

$\iff IJ=IC=ID=\frac{AB}{2}\iff 4x^2=2A{I}^2=2(\frac{a^2+a^2}{2}-x^2)\iff x=\frac{a\sqrt{3}}{3}$

( Với I là trung điểm CD; J là trung điểm AB)