16 câu Dạng 3: Tính độ dài đoạn thẳng, diện tích hình chiếu, chu vi và diện tích đa giác có đáp án

Chọn A

Từ sách giáo khoa, đường chéo hình hộp chữ nhật $AC\text{'}=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$

AC' = BD' => hình bình hành ABC'D' là hình chữ nhật

BD' = B'D => hình bình hành BDD'B' là hình chữ nhật

AC' = B'D => hình bình hành ADC'B' là hình chữ nhật

Ta có

$\left.\begin{array}{l}\left(P\right)\perp \left(Q\right)\\ \left(P\right)\cap \left(Q\right)=d\\ \left(Q\right)\supset BD\perp d\end{array}\right\}\Rightarrow BD\perp \left(P\right)\Rightarrow BD\perp BC$

Tam giác BCD vuông tại B nên $CD=\sqrt{B{D}^2+B{C}^2}=\sqrt{{24}^2+{10}^2}=26$

Chọn C.

+ Áp dụng định lý Pytago trong tam giác OAB vuông tại O ta có:

$A{B}^2=O{A}^2+O{B}^2=a^2+a^2=2a^2\Rightarrow AB=a\sqrt{2}$

Hoàn toàn tương tự ta tính được $BC=AC=a\sqrt{2}$

$\Rightarrow \Delta ABC$ là tam giác đều. Mặt khác theo giả thiết OA = OB = OC = a => các mặt bên của hình chóp O.ABC là các tam giác cân tại O => O.ABC là hình chóp đều => đáp án A đúng.

+ Chu vi $\Delta ABC$là: $2p=AB+AC+BC=a\sqrt{2}+a\sqrt{2}+a\sqrt{2}=3a\sqrt{2}\Rightarrow$đáp án C sai.

+ Nửa chu vi Diện tích $\Delta ABC$ là: $p=\frac{3a\sqrt{2}}{2}$. Diện tích $\Delta ABC$là:

$S=\sqrt{\frac{3a\sqrt{2}}{2}{\left(\frac{3a\sqrt{2}}{2}-a\sqrt{2}\right)}^3}=\sqrt{\frac{3a\sqrt{2}}{2}{\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)}^3}=\sqrt{\frac{3a\sqrt{2}}{2}.\frac{2a^3\sqrt{2}}{8}}=\sqrt{\frac{3a^4}{4}}=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}$ (đvdt).

=> đáp án B đúng.

+ Dễ chứng minh được $\left\{\begin{array}{l}OA\perp \left(OBC\right)\\ OA\subset \left(OAB\right)\\ OA\subset \left(OAC\right)\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\left(OAB\right)\perp \left(OBC\right)\\ \left(OAC\right)\perp \left(OBC\right)\end{array}\right., \left\{\begin{array}{l}OB\perp \left(OAC\right)\\ OB\subset \left(OAB\right)\end{array}\right.\Rightarrow \left(OAB\right)\perp \left(OAC\right)$

 => đáp án D đúng.

Xét $\Delta ABD$ có $\widehat{A}=60°, AB=AD=a\Rightarrow \Delta ABD$ là tam giác đều cạnh a.

Vì O là tâm của ABCD nên suy ra AO là đường trung tuyến trong $\Delta ABD$ đều cạnh a nên dễ tính được $AO=\frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow AC=2AO=a\sqrt{3}$.

Mặt khác theo giả thiết SAC là tam giác đều $\Rightarrow SA=SC=AC=a\sqrt{3}\Rightarrow SO=a\sqrt{3}.\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3a}{2}$

Chọn B.

+ Đáp án A đúng.
+ Gọi I là trung điểm của BC

Từ giả thiết dễ dàng chỉ ra được .

Mặt khác tam giác ABC là tam giác đều cạnh a, có AI là đường trung tuyến

Áp dụng định lý Pytago trong tam giác SOA vuông tại O ta có:

+ Ta có: . Vì tam giác SBC cân tại S và I là trung điểm của BC nên suy ra . Mặt khác là tam giác đều có I là trung điểm của BC =>

=> đáp án C đúng.

+ Ta có:

=> đáp án D đúng.

Ta có => O'D' là hình chiếu vuông góc của SD' lên (A'B'C'D')

Từ giả thiết dễ dàng chỉ ra được

Vì tam giác A'D'C' là tam giác vuông cân tại D' có D'O' là đường cao nên ta có:

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác SD'O' vuông tại O' ta có:

 Chọn B.

Tổng số đo các góc của hình lục giác là 4.180^o = 720^o. Vì ABCDEF là hình lục giác đều nên mỗi góc của hình lục giác đều ABCDEF là . Vì ABCDEF là hình lục giác đều nên ta suy ra:

+ AD là tia phân giác của góc và

+ Tam giác AFD vuông tại F.

Xét tam giác AFD vuông tại F có và  ta suy ra:

Từ giả thiết ta suy ra tam giác ABC vuông cân tại B =>

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ABC vuông cân tại B có và cạnh AC = a, ta có:

Gọi M là trung điểm BC. Khi đó ta dễ dàng tính được :

Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên:

Gọi H là trung điểm của CD. Vì tam giác ACD cân tại A và tam giác BCD cân tại B nên

Ta có .

Ta có:

Vậy tam giác ABJ vuông tại J

Ta có:

Do đó tam giác ABJ vuông cân tại J.

Suy ra

Chọn D.

+ Cách 1: Chứng minh trực tiếp chỉ ra D là đáp án sai.

Từ giả thiết dễ dàng suy ra CC' = AA' = a.

Áp dụng định lý Pytago trong tam giác ACC' vuông tại C ta có:

=> đáp án D sai.

+ Cách 2: Chứng minh 3 đáp án A, B, C đều đúng

=> ra đáp án D sai.

Tam giác AKI đồng dạng tam giác ACS

Tam giác BCD và tam giác ABD đều cạnh a

Tam giác SAC vuông tại C

Vậy