16 câu Dạng 3: Tính độ dài đoạn thẳng, diện tích hình chiếu, chu vi và diện tích đa giác có đáp án
16 câu hỏi
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D có AB = a, BC = b, CC' = a. Độ dài đường chéo AC' là
AC'=a2+b2+c2
AC'=−a2+b2+c2
AC'=a2+b2−c2
AC'=a2−b2+c2
Chọn A
Từ sách giáo khoa, đường chéo hình hộp chữ nhật AC'=a2+b2+c2
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có AB = a, BC = b, CC' = c. Nếu AC' = BD' = B'D = a2+b2+c2 thì hình hộp là
Hình lập phương.
Hình hộp chữ nhật
Hình hộp thoi.
Hình hộp đứng.
Chọn B
AC' = BD' => hình bình hành ABC'D' là hình chữ nhật
BD' = B'D => hình bình hành BDD'B' là hình chữ nhật
AC' = B'D => hình bình hành ADC'B' là hình chữ nhật
Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau. Người ta lấy trên giao tuyến d của hai mặt phẳng đó hai điểm A và B sao cho AB = 8. Gọi C là một điểm trên (P) , D là một điểm trên (Q) sao cho AC, BD cùng vuông góc với giao tuyến d và AC = 6, BD = 24. Độ dài CD là:
20
22
30
26
Chọn D
Tam giác ABC vuông tại A nên BC=AB2+AC2=82+62=10
Ta có
P⊥QP∩Q=dQ⊃BD⊥d⇒BD⊥P⇒BD⊥BC
Tam giác BCD vuông tại B nên CD=BD2+BC2=242+102=26
Cho ba tia Ox, Oy, Oz vuông góc nhau từng đôi một. Trên Ox, Oy, Oz lần lượt lấy các điểm A, B, C sao cho OA = OB = OC = a. Khẳng định nào sau đây sai?
O.ABC là hình chóp đều.
Tam giác ABC có diện tích S=a232
Tam giác ABC có chu vi 2p=3a22
Ba mặt phẳng (OAB), (OBC), (OCA) vuông góc với nhau từng đôi một.
Chọn C.
+ Áp dụng định lý Pytago trong tam giác OAB vuông tại O ta có:
AB2=OA2+OB2=a2+a2=2a2⇒AB=a2
Hoàn toàn tương tự ta tính được BC=AC=a2
⇒ΔABC là tam giác đều. Mặt khác theo giả thiết OA = OB = OC = a => các mặt bên của hình chóp O.ABC là các tam giác cân tại O => O.ABC là hình chóp đều => đáp án A đúng.
+ Chu vi ΔABClà: 2p=AB+AC+BC=a2+a2+a2=3a2⇒đáp án C sai.
+ Nửa chu vi Diện tích ΔABC là: p=3a22. Diện tích ΔABClà:
S=3a223a22−a23=3a22a223=3a22.2a328=3a44=a232 (đvdt).
=> đáp án B đúng.
+ Dễ chứng minh được OA⊥OBCOA⊂OABOA⊂OAC⇒OAB⊥OBCOAC⊥OBC, OB⊥OACOB⊂OAB⇒OAB⊥OAC
=> đáp án D đúng.
Cho hình thoi ABCD có cạnh bằng a và A^=60°. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại O (O là tâm của ABCD), lấy điểm S sao cho tam giác SAC là tam giác đều. Khẳng định nào sau đây đúng?
S.ABCD là hình chóp đều.
Hình chóp S.ABCD có các mặt bên là các tam giác cân.
SO=3a2
SAvà SBhợp với mặt phẳng (ABCD)những góc bằng nhau.
Chọn C
Xét ΔABD có A^=60°, AB=AD=a⇒ΔABD là tam giác đều cạnh a.
Vì O là tâm của ABCD nên suy ra AO là đường trung tuyến trong ΔABD đều cạnh a nên dễ tính được AO=a32⇒AC=2AO=a3.
Mặt khác theo giả thiết SAC là tam giác đều ⇒SA=SC=AC=a3⇒SO=a3.32=3a2
Cho hình chóp cụt đều ABC. A'B'C' với đáy lớn ABC có cạnh bằng a. Đáy nhỏ A'B'C' có cạnh bằng a2, chiều cao OO'=a2. Khẳng định nào sau đây sai?
Ba đường cao AA', BB', CC'đồng qui tại S.
AA'=BB'=CC'=a2
Góc giữa mặt bên mặt đáy là góc SIO(I là trung điểm BC)
Đáy lớn ABC có diện tích gấp 4lần diện tích đáy nhỏ A'B'C'
Chọn B.
+ Đáp án A đúng.
+ Gọi I là trung điểm của BC
Từ giả thiết dễ dàng chỉ ra được 
.
Mặt khác tam giác ABC là tam giác đều cạnh a, có AI là đường trung tuyến
Áp dụng định lý Pytago trong tam giác SOA vuông tại O ta có:
Vì ABC.A'B'C' là hình chóp cụt đều nên AA' = BB' = CC' = a33=> đáp án B sai.
+ Ta có: 
. Vì tam giác SBC cân tại S và I là trung điểm của BC nên suy ra 
. Mặt khác 
là tam giác đều có I là trung điểm của BC => 
=> đáp án C đúng.
+ Ta có: 
=> đáp án D đúng.
Cho hình chóp cụt tứ giác đều ABCD.A'B'C'D' cạnh của đáy nhỏ ABCD bằng a3 và cạnh của đáy lớn A'B'C'D' bằng a. Góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 60o. Tính chiều cao OO' của hình chóp cụt đã cho.
Chọn A
Ta có 
=> O'D' là hình chiếu vuông góc của SD' lên (A'B'C'D')
Từ giả thiết dễ dàng chỉ ra được 
Vì tam giác A'D'C' là tam giác vuông cân tại D' có D'O' là đường cao nên ta có:
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác SD'O' vuông tại O' ta có:
Cho hình lăng trụ lục giác đều ABCDEF.A'B'C'D'E'F' có cạnh bên bằng a và ADD'A' là hình vuông. Cạnh đáy của lăng trụ bằng:
a
Chọn B.
Tổng số đo các góc của hình lục giác là 4.180o = 720o. Vì ABCDEF là hình lục giác đều nên mỗi góc của hình lục giác đều ABCDEF là 
. Vì ABCDEF là hình lục giác đều nên ta suy ra:
+ AD là tia phân giác của góc 
và 
+ Tam giác AFD vuông tại F.
Xét tam giác AFD vuông tại F có 
và ta suy ra:
Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A'B'C'D' có ACC'A' là hình vuông, cạnh bằng a. Cạnh đáy của hình lăng trụ bằng:
Chọn A
Từ giả thiết ta suy ra tam giác ABC vuông cân tại B => 
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ABC vuông cân tại B có 
và cạnh AC = a, ta có:
Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có cạnh đáy bằng 2a3 và cạnh bên bằng 2a. Gọi G và G' lần lượt là trọng tâm của hai đáy ABC và A'B'C' . Khẳng định nào sau đây đúng khi nói về AA'G'G ?
AA'G'Glà hình chữ nhật có hai kích thước là 2avà 3a
AA'G'Glà hình vuông có cạnh bằng 2a
AA'G'Glà hình chữ nhật có diện tích bằng 6a2
AA'G'Glà hình vuông có diện tích bằng 8a2
Chọn B
Gọi M là trung điểm BC. Khi đó ta dễ dàng tính được : 
Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên:
=> AA'G'G là hình vuông có cạnh bằng 2a.
Cho hai tam giác ACD và BCD nằm trên hai mặt phẳng vuông góc với nhau và AC = AD = BC = BD = a, CD = 2x. Tính AB theo a và x?
Chọn C
Gọi H là trung điểm của CD. Vì tam giác ACD cân tại A và tam giác BCD cân tại B nên 
Ta có .
Tam giác AHB vuông tại H nên
Cho hai tam giác ACD và BCD nằm trên hai mặt phẳng vuông góc với nhau và AC = AD = BC = BD = a, CD = 2x. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD . Tính IJ theo a và x ?
Chọn C
Ta có:
Vậy tam giác ABJ vuông tại J
Ta có:
Do đó tam giác ABJ vuông cân tại J.
Suy ra 
Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, góc giữa một mặt bên và mặt đáy bằng 60o. Tính độ dài đường cao SH.
Chọn A.
Ta có: 
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và AC
Dễ chứng minh được 
và 
Ta dễ tính được: 
Vì H là chân đường cao của hình chóp đều S.ABC nên H trùng với trọng tâm của tam giác ABC
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác SHM vuông tại H ta có :
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có AB = AA' = a, BC = 2a, CA = a5. Khẳng định nào sau đây sai?
Đáy ABC là tam giác vuông.
Góc giữa hai mặt phẳng (AA'B'B) và (BB'C') có số đo bằng .
Góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (A'BC) có số đo bằng 45o
Chọn D.
+ Cách 1: Chứng minh trực tiếp chỉ ra D là đáp án sai.
Từ giả thiết dễ dàng suy ra CC' = AA' = a.
Áp dụng định lý Pytago trong tam giác ACC' vuông tại C ta có:
=> đáp án D sai.
+ Cách 2: Chứng minh 3 đáp án A, B, C đều đúng
=> ra đáp án D sai.
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, có đáy ABCD là hình thoi tâm I cạnh bằng a và góc A⏜=60∘, cạnh SC = a62 và SC vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Trong tam giác SCA kẻ IK⊥SA tại K. Tính độ dài IK được
Chọn A
Tam giác AKI đồng dạng tam giác ACS
Tam giác BCD và tam giác ABD đều cạnh a
Tam giác SAC vuông tại C
Vậy 
Cho tam giác ABC và mặt phẳng (P). Biết góc giữa mặt phẳng (P) và mặt phẳng (ABC) là φ. Hình chiếu của tam giác ABC trên mặt phẳng (P) là tam giác A'B'C'. Tìm hệ thức liên hệ giữa diện tích tam giác ABC và diện tích tam giác A'B'C'.
Chọn D
Qua B kẻ mặt phẳng (Q) // (P) cắt AA', CC' lần lượt tại A1 ; C1 khi đó 
Góc giữa mặt phẳng (P) và mặt phẳng (ABC) bằng góc giữa mặt phẳng (ABC) và (BA1C1) và bằng φ
Kẻ 
Vậy 
